学年高中数学苏教版选修22教学案第1章 14 导数在实际生活中的应用.docx
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学年高中数学苏教版选修22教学案第1章14导数在实际生活中的应用
_1.4导数在实际生活中的应用
面积、体积最大问题
[例1] 用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
[思路点拨] 不妨设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为h==(4.5-3x)m.建立长方体的体积函数模型,再求最值.
[精解详析] 设长方体的宽为xm,
则长为2xm,
高为h==(4.5-3x)m.
故长方体的体积为
V(x)=2x2(4.5-3x)=(9x2-6x3)m3.
从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x).
令V′(x)=0,解得x=0(舍去),或x=1,因此x=1.
当0
当1 从而最大体积V=V (1)=9×12-6×13=3(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m. 故当长方体的长为2m,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3. [一点通] 在求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数的最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点. 1.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为________cm. 解析: 设该漏斗的高为xcm,则底面半径为cm,其体积为V=πx(202-x2)=π(400x-x3)(0 令V′=0,解得x1=,x2=-(舍去). 当0 当 所以当x=时,V取得最大值. 答案: 2.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形,然后把四边翻折90°,再焊接而成.问该容器的高为多少时,容器的容积最大? 最大容积是多少? 解: 设容器的高为xcm,容积为V(x)cm3,则 V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4320x(0 故V′(x)=12x2-552x+4320 =12(x-10)(x-36). 令V′(x)=0,得x=10,或x=36(舍去). 当0 当10 因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为V(10)=19600(cm3). 因此当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积为19600cm3. 成本最低(费用最省)问题 [例2] 如图,某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16m,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖). (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域; (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低? 并求出最低总造价. [思路点拨] →→→→→ [精解详析] (1)污水处理池长为xm,则宽为m. 据题意 解得≤x≤16, y=×400+×248+16000 =800x++16000, (2)由 (1)知y′=800-=0, 解得x=18, 当x∈(0,18)时,函数y为减函数; 当x∈(18,+∞)时,函数y为增函数. 又∵≤x≤16, ∴当x=16时,ymin=45000. ∴当且仅当长为16m、宽为12.5m时, 总造价y最低为45000元. [一点通] (1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f′(x)=0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点),若函数在该点附近满足左减右增,则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值. (2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”,从而多求了一个底面积.实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积,但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等. 3.做一个容积为256升的方底无盖水箱,它的高为________分米时最省材料. 解析: 设水箱底面边长为x分米,则高为分米,用料总面积S=x2+4··x=x2+, S′=2x-,令S′=0得x=8, 当0<x<8时,S′<0,当x>8时,S′>0, 所以当x=8时,S取得最小值,则高为4分米. 答案: 4 4.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小? 解: (1)设需新建n个桥墩, 则(n+1)x=m,即n=-1. 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x =256+(2+)x =+m+2m-256. (2)由 (1)知, f′(x)=-+mx-=(x-512). 令f′(x)=0,得x=512,所以x=64. 当0<x<64时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当64<x<640时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数. 所以f(x)在x=64处取得最小值. 此时n=-1=-1=9. 故需新建9个桥墩才能使y最小. 利润最大问题 [例3] 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为P=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x(元).问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 最大利润是多少? (利润=收入-成本) [思路点拨] 根据利润与生产量以及价格之间的关系,建立满足题意的函数关系式,然后利用导数求解. [精解详析] 每月生产x吨时的利润为 f(x)=x-(50000+200x) =-x3+24000x-50000(x≥0). 由f′(x)=-x2+24000=0, 解得x1=200,x2=-200(舍去). 因为f(x)在[0,+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0,且0<x<200时,f′(x)>0;x>200时,f′(x)<0;故x=200就是最大值点,且最大值为f(200)=-×2003+24000×200-50000=3150000(元). 所以每月生产200吨产品时,利润达到最大,最大利润为315万元. [一点通] 利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润=收入-成本”建立函数关系式,再利用导数求最大值.求解时要注意: ①价格要大于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利. 5.某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,当每件商品的定价为________元时,利润最大. 解析: 利润为S(x)=(x-30)(200-x) =-x2+230x-6000(30≤x≤200), S′(x)=-2x+230,由S′(x)=0得x=115, 当30≤x<115时,S′(x)>0; 当115 所以当x=115时利润最大. 答案: 115 6.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位: kg)与销售价格x(单位: 元/kg)满足关系式y=+10(x-6)2.其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/kg时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解: (1)因为x=5时,y=11, 所以+10=11,a=2. (2)由 (1)可知,该商品每日的销售量 y=+10(x-6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) 极大值42 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答: 当销售价格为4元/kg时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 1.解决实际生活问题的基本思路: 2.求实际问题中的最大(小)值,主要步骤如下: (1)抽象出实际问题的数学模型,列出变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求出函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点处的取值大小,最大者为最大值,最小者为最小值. [对应课时跟踪训练(九)] 一、填空题 1.已知某生产厂家的年利润y(单元: 万元)与年产量x(单位: 万件)之间的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件. 解析: y′=-x2+81,令y′=0,得x=9(x=-9舍),且经讨论知x=9是函数取极大值的点,所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件. 答案: 9 2.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器的底面的一边比高长0.5m,则当高为________m时,容器的容积最大. 解析: 设高为x米,则V=x(x+0.5),令V′=-6x2+4.4x+1.6=0, 解得x=1. 答案: 1 3.如图,将直径为d的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k,k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽x应为________. 解析: 设断面高为h,则h2=d2-x2.设横梁的强度函数为f(x),则f(x)=kxh2=kx(d2-x2),0 当d 所以函数f(x)在定义域(0,d)内只有一个极大值点x=d.所以x=d时,f(x)有最大值. 答案: d 4.如图,已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250mL,则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示),可使所用的材料最省. 解析: 设圆柱的高为h,表面积为S,容积为V,底面半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2,而V=250=πr2h,得h=,则S=2πr·+2πr2=+2πr2,S′=-+4πr,令S′=0得r=,因为S只有一个极值,所以当r=时,S取得最小值,即此时所用的材料最省. 答案: 5.如图,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A、B在抛物线上运动,C、D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是________. 解析: 设
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