数量关系笔记Word文档格式.docx

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A.329B.350C.371D.504

【4】有一批汽车零件由a和b负责加工,a每天比b少做三个零件,如果a和b两人合作需要18天才能完成，现在让a先做12天，然后b再做17天，还剩这批零件的六分之一没有完成，这批零件共有多少个？

A240B250C270D300

【5】某公司三名销售人员销售业绩如下。

甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍,，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万，问甲的销售额是：

A140B144C98D112

【6】某单位招录了十名新员工。

按其应聘成绩排名一到十并用十个连续的四位自然数依次作为他们的工号。

凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？

A12B9C15D18

二、奇、偶、质、合性

1、奇偶性

奇数：

不能被2整除的整数

偶数：

能被2整除的整数（0是偶数）

2、奇数和偶数的运算规律

奇数±

奇数=偶数；

偶数±

偶数=偶数

偶数=奇数；

奇数×

奇数=奇数

偶数×

偶数=偶数；

3、质合性

质数：

一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称为素数），如2、5、7、11、13

合数：

一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数

1既不是质数也不是合数

4、方法技巧及规律

（1）两个连续的自然数之和（或差）必为奇数。

（2）两个连续自然数之积必为偶数。

（3）乘方运算后，数字的奇偶性不变。

（4）2是唯一一个为偶数的质数

如果两个质数的和（或差）是奇数，那么其中必有一个是2

如果两个质数的积是偶数，那么其中必有一个是2

【1】小王参加了五门百分制的测验,每门成绩都是整数。

其中语文94分。

数学的得分最高。

外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分。

化学的得分比外语多两分，并且是五门中第二高的得分，问小王的物理得了多少分？

A94B.95C.96D.97

【2】已知三个质数的倒数和为671/1022,则这三个质数的和为：

A.80B.82C.84D.86

【3】某儿童艺术培训中心有五名钢琴教师和六名拉丁舞教师。

培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人平均地分给各个老师带领。

刚好能够分完。

且每位老师所带的学生数量都是质数。

后来由于学生人数减少。

培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师但每名教师所带的学生数量不变那么目前培训中心还剩下学员多少人？

A36B37C39D41

三、公倍数、公约数（往往考察周期性问题）

【1】有甲、乙、丙三辆公交车于上午8：

00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。

假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会是几点?

（）

A.11点20分

B.11点整

C.11点40分

D.12点整

【2】甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为4,5,6棵，三个办公室植树总数彼此相等。

问这三个办公室总共至少有多少职工？

A.37B.53C.74D.106

【3】甲、乙、丙三人从星期一开始上班，甲每工作3天就休息一天，乙每工作5天休息一天，丙每工作7天才休息一天，那么三人第一次同时休息是在星期（）。

A.一B.二C.三D.四

四、余数问题

基本形式：

被除数=除数×

商＋余数（都是正整数）

1、同余定义

两个整数a、b除以自然数m（m＞1），所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余。

2、四种常考形式：

余同取余、和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。

（1）余同取余，公倍数做周期：

一个数除以几个不同的数，余数相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。

（2）和同加和，公倍数做周期：

一个数除以几个不同的数，除数与余数之和相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和相加的形式。

（3）差同减差，公倍数做周期：

一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差相减的形式。

（4）如果三个不符合口诀，先两个结合，再跟第三结合

【1】一批武警战士平均分成若干小组执勤。

如果每4人一组，恰好余1人。

如果每5人一组，恰好也余1人。

如果每6人一组，恰好还是余1人。

这批武警战士至少有（）人。

A.121B.101C.81D.61

【2】有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人，如果按每横行排4人编队，最后少3人，如果按每横排3人编队，最后少2人；

如果按每横排2人编队，最后少1人。

请问，这支队伍最少有多少人？

A.1045B.1125C.1235D.1345

【3】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（）。

A.5个B.6个C.7个D.8个

五、尾数乘方问题

尾数变化规律：

底数留个位，指数除4留余数，余数为0转成4

六、数的拆分与重排

数的拆分是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等

解答数字的重排问题时，经常需要借助于尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解。

【1】4个相邻质数积为17017，他们的和为（）

A.48B.52C.68D.72

【2】张大伯卖白菜，开始定价每千克5角，一点也卖不出去，后来每千克降低了几分钱，都卖掉了。

一共收入22.26元，则每千克降低几分钱？

A.3B.4C.6D.8

七、不定方程

未知数个数多于方程个数叫做不定方程。

通常只考虑他的整数解或正整数解。

常用解法有：

综合利用整数的奇偶性，质合性、整除特性、尾数法、余数特性、特殊之法、代入排除法等多种数学知识得到答案。

【1】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。

已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。

问他们中最多有几人买了水饺？

A.1B.2C.3D.4

【2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。

问两种包装盒相差多少个?

A.3B.4C.7D.13

【3】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。

如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

A.21元B.11元C.10元D.17元

八、数列（等差与等比）

（1）等差数列：

求和公式（上底＋下底×

高÷

2）、中位数求和公式（重点）。

（2）等比数列：

an=a1q（n-1）

第二课终极比例法

比例就是数量之间的对比关系，或指一种事物在整体中所占的分量，运用比例法是将繁琐的数值简化为简单的数值进行分析。

比例问题的重点在于找出两种相关联的量，并明确两者间的比例关系。

比和比例的性质

1.正比：

a÷

b=k（k=常数），则称a、b成正比

2.反比：

a×

b=k（k=常数），则称a、b成反比

采用比例法的一个重要条件是含有一个固定的乘除等式关系，及1、2所述的正反比例，实际应用中的路程=速度×

时间，总量=效率×

时间，溶剂=溶液×

浓度，利润=成本×

利润率。

需特别注意：

三个量中必须有一个量是固定的，另外两个量才有相对关系。

差值比例：

一、常规比例

【1】某公司计划采购一批电脑，正好赶上促销期，电脑打9折出售，同样的预算可以比平时多买10台电脑。

问该公司的预算在平时能买多少台电脑？

（）

A.60B.70C.80D.90

【2】盒子里有红、黄、绿三种颜色的大小相等的球，其中红球有7个，黄球有5个，从盒中任意拿出一个球，拿到黄球的可能性为1/3，问拿到绿球的可能性是多少？

A.1/3B.1/4C.1/7D.1/5

【3】某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600吨。

问该公司镍的产量为多少吨？

A.800B.600C.1000D.1200

【4】某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝每小时为52名男员工35名女员工量体。

几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还有24名男员工没有量体。

若男女员工的比例为11:

7，则该企业共有多少名员工（）

A.720B.810C.900D.1080

二、工程问题

工程问题是重点

一、工程问题的本质：

将一般的工作问题分数化，就是研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系问题。

二、常用的数量关系式为：

工作总量=工作效率×

工作时间

三、工程问题的两大利器

1、比例法

2、特殊值法

四、核心要点：

方程问题，用比例不用方程，用份数不用分数

五、题型分类：

单人完成工程问题、全程合作问题、分阶工程问题、轮流合作型、水管问题、时间效率转化

【1】一项工程，工作效率提高四分之一，完成这项工程的时间将由原来的十小时缩短到几小时？

A.4B.8C.12D.16

【2】王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。

当抄完2/5时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。

问这份报告共有多少字？

A.6025B.7200C.7250D.5250

【3】某项工程计划300天完工，开工100天后，由于施工人员减少，工作效率下降了20%，问完成该项工程比原计划推迟了多少天？

A.40B.50C.60D.70

【4】甲乙两个工程队修建一条乡村公路，甲工程修了500米以后，乙工程队来修，根据以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的2倍，乙工程队修600米公路所用的时间比甲工程队修500米公路的时间还少20天。

甲工程队的效率是（a）。

A.10米/天B.15米/天C.20米/天D.25米/天

【5】）一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天，甲、乙、丙三人共同完成该工程需：

a

A.10天B.12天C.8天D.9天

【6】一口水井，在不渗水的情况下，甲抽水机用4小时可将水抽完，乙抽水机用6小时可将水抽完。

现用甲、乙两台抽水机同时抽水，但由于渗水，结果用了3小时才将水抽完。

问在渗水的情况下，用乙抽水机单独抽，需要几小时抽完？

（a）

A.12小时B.13小时C.14小时D.15小时

【7】一条隧道，甲用20天的时间可以挖完，乙用10天的时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖一天…如此循环，挖完整个隧道需要多少天?

（a）

A.14B.16C.15D.13

【8】某工程由小张、小王两人合作刚好可在规定的时间内完成。

如果小张的工作效率提高20％，那么两人只需要规定时间的9/10就可完成工程；

如果小王的工作效率降低25％，那么两人就需延迟2.5小时完成工程。

问规定的时间是（a）。

A.20小时B.24小时C.26小时D.30小时

【9】同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米。

若单独打开A管，加满水需2小时40分钟。

则B管每分钟进水多少立方米？

b

A.6B.7C.8D.9

【10】甲、乙两辆型号不同的挖掘机同时挖掘一个土堆，连续挖掘8小时即可将土堆挖平。

现在先由甲单独挖，5小时后乙也加入挖掘队伍，又过了5小时土堆被挖平。

已知甲每小时比乙能多挖35吨土，则如果土堆单独让乙挖，需要多少个小时？

A.10B.12C.15D.20

三、和差比例法

【1】甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%，如果一个人坐公交从甲地到乙地，再从乙地步行回甲地一共用了1个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间？

A.10分钟B.20分钟C.30分钟D.40分钟

【2】三个容积相同的瓶子装满酒精溶液，酒精与水的比分别是3：

2，3：

1，1：

1。

当把三瓶酒精溶液混合时，酒精与水的比是：

A.7:

4B.8:

5C.4:

3D.37:

23

四、三量比例法

遇到三个量或者多个量，建立比例关系，需要通过某一个量的统一，比如①甲：

乙=2：

3，②乙：

丙=4:

5，需要对乙进行搭桥统一成12。

【1】甲乙丙三人进行100米赛跑，如果甲和乙比赛，甲领先10米到达终点，如果乙和丙比赛，则乙领先10米到达终点，那么甲和丙比赛，甲领先多少米到达终点？

A.19B.20C.21D.22.3

五、恒值比例法

恒值比例法，在研究比例问题的时候，有一个量是恒定不变的，在题干所述的情况下，从头到尾没有发生变化，那么我们可以利用这样的一个对象所代表的比例点来求解。

一般情况下，这种恒量对象在不同的情况下代表的比例点不同，这个时候，需要把不同的比例点化为相同的数值来代替。

【1】甲、乙两种商品的价格比是3∶5。

如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（）。

A.300元500元B.375元625元

C.450元750元D.525元875元

【2】千禧锻造厂要制造一批一定比例的锡铁金属合金，第一次加入适量的金属铁后，此时，金属锡的含量占总重量的4%。

第二次加入同样多的金属铁后金属锡的含量占总重量的3%，如果第三次再加入同样多的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的百分比是。

（）

A.2.5B.2.4C.2.7D.2.8

【3】某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；

如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。

问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人?

A.16B.20C.24D.28

第三课行程问题

基础模型之一、相遇追击

1.基本公式：

距离=速度×

时间

2.相遇及追及问题：

相遇距离=（大速度+小速度）×

相遇时间…………………………………………相向

追及距离=（大速度-小速度）×

相遇时间…………………………………………同向

3.核心方法：

比例、公式、画图法

4.解决要点：

用比例不用方程、用份数不用分数

【1】经技术改进，A、B两城间列车的运行速度由150千米/小时提升到250千米/小时，行车时间因此缩短了48分钟，则A、B两城间的距离为：

A.291千米

B.300千米

C.310千米

D.320千米

【2】甲乙两辆车从A地驶往90公里外B地，两车进度比为5：

6，甲车于上午10半出发，乙车于10点40出发，最终乙比甲早2分种到达B地，问两车时速相差多少千米/小时？

A.10B.12C.12.5D.15

【3】）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，问A、B两地相距多少米?

A.1350米B.1080米C.900米D.720米

【4】一辆车从甲地开往乙地，如果提速20%，可以比原定时间提前1小时到达，如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。

问甲乙两地相距多少千米？

（ 

）

A.300B.270

C.250

D.240

【5】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。

甲车单独清扫需要6小时，乙车单独清扫需要9小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米，问东、西两城相距多少千米？

A.60千米

B.75千米

C.90千米

D.135千米

基础模型之二、顺流逆流

1、基本行船问题：

顺水速度=船速＋水速

逆水速度=船速－水速

船速=（顺水速度＋逆水速度）÷

2

水速=（顺水速度－逆水速度）÷

2、顺水漂流问题:

漂流速度=水速

漂流时间

【1】一艘船往返于甲乙两港口之间，已知水速为8千米/时，该船从甲到乙需要6小时，从乙返回甲需9小时，问甲乙两港口的距离为多少千米？

A.216

B.256

C.288

D.196

【2】一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要5个小时，以同样的功率从乙地开往甲地需要6个小时。

如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间?

A.5小时

B.15小时

C.30小时

D.60小时

基础模型之三、上下扶梯

1、顺行扶梯长度=（人速+电梯速度）×

顺行时间

2、逆行扶梯长度=（人速－电梯速度）×

逆行时间

3、顺行扶梯级数=人走过的梯级数+扶梯运行梯级数

4、逆行扶梯级数=人走过的梯级数－扶梯运行梯级数

【1】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。

结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有（）。

A.80级

B.100级

C.120级

D.140级

基础模型之四、环形运动

1、同向运动：

环形周长=（大速度-小速度）×

2、反向运动：

环形周长=（大速度+小速度）×

【1】环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别慢走.跑步和骑自行车。

已知三人的速度分别是1米/秒、3米/秒和6米/秒，问小王第3次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次?

A.3

B.4

C.5

D.6

【2】甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；

如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？

A.600

B.800

C.1000

D.1200

基础模型之五、等距离平均速度公式

【1】等距离平均速度=2v1v2/（v1+v2）

某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60公里的速度前进；

而在后一半的路程中，以每小时120公里的速度前进。

则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少公里？

A.60B.80C.90D.100

【2】小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。

如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。

问小王跑步从A城去B城需要多少分钟？

A.45B..48C.56D.60

基础模型之六、公车模型（双向数车）

1、题型特征：

人按一定速度出行，每隔一段时间迎面遇到一辆公交车，每隔一段时间从背后超出一辆公交车，求发车间隔或撤人速度

2、经典公式：

发车间隔时间=

，

【1】某人沿电车线路匀速行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。

假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔.

A.2分钟

B.4分钟

C.6分钟

D.8分钟

基础模型之七、队首队尾

1.队尾→队首：

队伍长度=（人的速度-队伍速度）×

2.队首→队尾：

队伍长度=（人的速度+队伍速度）×

3.从队尾赶到队首，可看做该人与队首的追击过程

4.从队首赶到队尾，可看做该人与队尾的相遇过程

【1】一对部队排成长度为800米的列队行军，速度为80米/分钟。

在队首的通讯员以3倍与行军的速度跑步到队尾，花一分钟传达首长命令后，立即以同样的速度跑回到队首。

求在这往返全过程中通讯员所花费的时间？

A.7.5分钟B.8分钟C.8.5分钟D.10分钟

基础模型之八、火车过桥

1、核心思维：

火车本身长度也是路程的一部分，以火车的头或为作为运动点，按相遇或追击问题考虑

【1】某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需35秒，而轿车过桥的时间是动车的3倍，已知该动车的速度是每秒70米，轿车的速度是每秒21米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）（）。

A.120米B122.5米C240米D245米

基础模型之九、往返相遇

1、题目特征：

题目表述为两个运动体从一条线段的两端或一端出发，在两端点之间不断往返，求一定时间后相遇次数或第N次相遇时间等。

2、核心知识：

（1）两运动体从两端同时出发，相向而行，不断往返：

第N次迎面相遇，路程和=全程×

（2n-1）

第N次追上相遇，路程差=全程×

（2）两运动体从一端同时出发，同向而行，不断往返：

2n

（3）单人的路程

第N次迎面相遇，路程=第一次相遇时所走的路程×

2n（或2n-1）

第N次追上相遇，路程=第一次相遇时所走的路程×

【1】）a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a.b两校之间，现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇，问a.b两校相距多少米？

A.1140米B.980米C.840米D.760米

【2】小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。

小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？

A.1.5