上海交通大学线性代数第一二章深刻复知识题附答案解析Word文档格式.docx
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a3
b3
C3
d3
A2B=54
3印30&
2d〔
a1bc12d1
A2B
=
3a?
3dC22d2
32
a2dc22d2
3a33b;
jC32d3
a3bsC32d3
bi
ai
2d1
C2
2d2
ba
2d3
9[421]54;
Aj0A0
a1b1
a1b2
ab
azd
a2b2
a2bn
6•设A=
,其中ai
0,b
i0,i1,2,,n,
and
anb2
anbn
则
r(A)=1;
7、设A,B,C都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式
D1!
27
(-A)2C
Q由于
(1)9|B|(3A)1;
B3A1B(3)3A127
&
已知A为三阶方阵,且|A|4,A2E8,则
AA1=2
J?
111
110
121
10、设A为n阶可逆矩阵,B是将A中的第i行与第j行元素对调后的矩
阵,则
1AB=_pij__。
11•设A为5阶方阵,且|A=-4,则行列式AA46
a11
a12
a13
5a〔1
3a〔2
12如果D
a21
a22
a23
3,则D1
5a?
3a?
2
=-45
a31
a32
a33
5331
3a32
、选择题
an
4an
2an
3a12
1、如果D
1,则D1
4a21
2a21
3a22
4a31
2a31
(A)
4、
当ad
be时,
c
;
d
=(
)
e
(B)
ad
be
b
a
(C)
(D)
be<
ade
5、
下列矩阵中,不是初等矩阵的是
(
10
00
01
3a31
a〔23a
3a33
6、
若
P
[23
,则
P=
CBAE
i
100
(D)010
031
(aia2bib2)(a3a4bsbq)
A2Ai(B)A
ii
2E(C)A-A(D)
、设A、
B都是n阶非零矩阵,且
AB0,则A和B的秩(B)
必有一个等于零
(B)都小于n
一个小于n,—个等于n
(D)都等于0
8、设n阶方阵A满足A2E,其中E是n阶单位阵,则必有()
0,其中
E为n阶单位矩阵,
io•设n阶矩阵
A满足
则必有
A2E
计算题
t017
T0143
AB1413
171310
310
法二
142
BT720
131
21
At03
12
017
1413
310
14221
ABTBTAT72003
13112
(1)
X
y
(2)
(3)
2、求行列式;
Xn
Xx2xnm
(4)
11n
3、设A020,已知AXEAX,求矩阵X。
4.已知矩阵
11
解:
由于
(A,E)1
A1
5、设A是n阶矩阵,满足aA
010
001
211
333
112
33
J1
E,A
6、设3阶方阵A的伴随矩阵为A,且A
7、如果可逆矩阵
A的各行元素之和为
0,求行列式AE的值
—,求(4A)12A。
计算A的各行元素之和等于什
么?
1A
a11
Aa
1A
aA
1a
耳1
8、设实矩阵A=
a23满足条件:
(1)aijAij,
(i,j
1,2,3),其中Aj是aij的代数余子式;
(2)an1
求行列式
9、设A=
1,
B=
0,求矩阵
X使其满足矩阵方程
AXB
。
10•设A,B
为5阶〕
方阵,
|A|=
一1,
|B|=-2,求
2AtB1
3A1B
解2ATB125AT|B1=25
(1)(冷)=16
11.利用初等变换求矩阵A的秩
(1)、A
02
20
:
r(A)=3
(2)、A
「1
(1)…
「2
「3
2$2仪
r(A)
14
(3)、A
6
r(A)3
165
0016
000
12
.已知
,求A19
1n
191
19
解
由
于An
因
此A19
类似地
n1
n10
Bn
;
C
Cn
n
a1
na1
2x1x2
4x3
3x44
X1
X3
x43
11.
解线性方程组
3x1x2
7x1
7x3
3x43
将增广阵化为规范的阶梯阵:
「22「1
r1
4r33r1
4r47r1
7
3o
r42r3
r3r2
(1)r2
2-r3
10
24
103
r2
r3
r
204
*3
(A0,0)
0-
16
得同解方程组AoXo为
Xi
X33
x22x34移项添项即得
x22x34
x46
X3X3
因此方程组通解为:
Xx3
(X3是任意数)
四.
证明题
•设
方阵
A满
足
A40
试
证明EA可逆,且
(E
A)1
EA
A2
A3
A)(E
A3)
=E
AAA
(A
A2A
3A4)
=E-
AE
2.设A为可逆矩
巨阵,
|A|E,
证明:
AA
由于A为可逆矩阵,且AA|A|E,又由已知A2AE故A2AA两边左乘A1得AA
3、设n阶方阵A,B满足ABAB,
求证
(1)AE可逆;
(2)AB=BA
4、设n阶方阵A满足A2AE0,证明:
矩阵A可逆
证明由于A22AE0,有A22AEA(A2E)E故矩阵A可逆,且A1A2E。
5、若A为方阵,证明AAT,AAT,ATA是对称阵。
证明(AAT)TAT(AT)TAAT,AAT是对称阵。
(AAT)T(At)tataat,aat是对称阵
(AtA)tat(at)tata,ata是对称阵
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