江苏省徐州市学年高一上学期期末考试数学试题.docx
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江苏省徐州市学年高一上学期期末考试数学试题
江苏省徐州市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、填空题
1.已知集合,,则______.
2.的值为______.
3.若幂函数的图象过点,则实数的值为_____.
4.已知角的终边经过点,则.
5.函数的定义域为______.
6.圆心角为,半径为的扇形的面积为______.
7.求值:
______.
8.已知函数若,则实数的值为___.
9.已知点,,,,若,则的值为_____.
10.若,,则的值为______.
11.将函数的图象先向左平移个单位长度,再将所得到的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),那么所得图象的函数解析式为______.
12.若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是_____.
13.已知定义在上的偶函数的图象关于点对称,且当时,,若关于的方程恰好有个不同的实数根,则实数的取值范围是______.
14.已知函数,若存在实数,使得对任意的都成立,则的取值范围是______.
二、解答题
15.已知函数,且的图象过点.
(1)求函数的最小正周期及的值;
(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量的集合;
(3)求函数的单调增区间.
16.已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)若,求及的值.
17.如图,在中,,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
18.如图,某学校有一块直角三角形空地,其中,,,该校欲在此空地上建造一平行四边形生物实践基地,点分别在上.
(1)若四边形为菱形,求基地边的长;
(2)求生物实践基地的最大占地面积.
19.集合由满足以下性质的函数组成:
①在上是增函数;②对于任意的,.已知函数,.
(1)试判断,是否属于集合,并说明理由;
(2)将
(1)中你认为属于集合的函数记为.
(ⅰ)试用列举法表示集合;
(ⅱ)若函数在区间上的值域为,求实数的取值范围.
20.已知函数.
(1)当时,求证:
函数是偶函数;
(2)若对任意的,都有,求实数的取值范围;
(3)若函数有且仅有个零点,求实数的取值范围.
参考答案
1.
【解析】
即答案为.
2.
【解析】
即答案为.
3.
【解析】
由幂函数的图象过点,即
即答案为.
4.
【详解】
试题分析:
由三角函数定义可得:
,由二倍角公式可得:
考点:
1.三角函数定义;2.二倍角公式
5.
【解析】
函数的定义域应满足,即函数的定义域为.
即答案为
6.9cm2
【解析】
扇形的圆心角为2,半径为,扇形的弧长为:
,
所以扇形的面积为
故答案为.
7.7
【解析】
原式
即答案为7.
8.6
【解析】
由分段函数的意义,可知
即答案为6.
9.1
【解析】
由题,由得
即答案为1.
10.
【解析】
,
即答案为.
11.
【解析】
将函数的图象先向左平移个单位,得到
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到
故答案为.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.
12.
【解析】
∵函数是上的单调函数,则,或,解得.
故答案为
13.
【解析】
由题定义在上的偶函数的图象关于点对称,可得即为即为即为周期为4的函数,
又当时可得当时,当时,当时,
作出在上的图象,以及的图象,
关于的方程恰好有8个不同的实数根,
即为与的图象恰好有8个交点,
由图象可得,即,解得此时与的图象恰好有8个交点,
故答案为
14.
【解析】
由题即对任意的都成立,函数关于直线对称,则首先成立,可得,,观察可知当时.可知
即答案为.
15.
(1);
(2)最大值是,;(3).
【详解】
(1)函数的最小正周期为.
因为的图象过点,所以,即,
又,所以.
(2)由
(1)知,,所以函数的最大值是.
由,得,
所以取得最大值时的集合是.
(3)由
(1)知,.
由,,得,,
所以函数的单调增区间为.
16.
(1)2;(3).
【解析】
试题分析:
因为,所以,即,
由可求的值;
(2)因为,所以,所以.进而可求的值.
试题解析:
(1)因为,所以,即,
所以
(2)因为,所以,所以.
所以.
17.
(1)12;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)在平行四边形中,,则,计算即可;
(2)由
(1)知,,
又,利用向量夹角公式即可得到的值.
试题解析:
(1)在平行四边形中,,
所以
.
(2)由
(1)知,,
又
,
所以.
18.
(1)基地边的长为m;
(2)生物实践基地的最大占地面积为.
【解析】
试题分析:
(1)在中,由相似三角形可得,所以,
所以,所以,又四边形为菱形,所以,可求基地边的长;
(2)设,,则,表示出四边形为菱形,利用二次函数的最值求解即可.
试题解析:
(1)在中,,所以,
所以,所以,
又四边形为菱形,所以,
所以(),即基地边的长为m.
(2)设,,则,
所以生物实践基地的面积
,
所以当时,.
答:
生物实践基地的最大占地面积为.
【点睛】本题考查函数的实际应用,表示出函数的表达式是解题的关键,考查分析问题解决问题的能力.
19.
(1)见解析;
(2)(i);(ii)实数的取值范围是.
【解析】
试题分析:
(1)通过特例,判断不在集合中,判断的单调性,求出的值域,即可判断是否在集合中;
(2)(ⅰ)利用
(1)在集合中,解指数方程,即可得到集合.
试题解析:
(1)因为,不满足②,所以不属于集合.
(ii)由
(1)知,在上单调增,所以
所以方程在内有两个不等的实根,解之即可得到实数的取值范围.
在内任取两个数,,设,
则,
因为是单调增函数,且,所以,,
所以,即,
故在上是增函数,满足①;
所以在上的值域为,满足②.
故函数属于集合.
(2)(i)由
(1)知,,所以,
即,解得或,
所以或,故.
(ii)由
(1)知,在上单调增,所以
所以方程在内有两个不等的实根,
所以解得.
故实数的取值范围是.
20.
(1)见解析;
(2)的取值范围为;(3)的取值范围为.
【解析】
试题分析:
(1)当时,,定义域为.判断即可证明;
(2)由题意知,在上恒成立,
即在上恒成立.分当时,当时,当时,三种情况讨论可得实数的取值范围;
(3)当时,,有唯一零点,不符合题意;
当时,
①若,则,因此在内无零点,可判断在内最多有两个零点,不符合题意;
②若,则,所以在上单调增,
在上单调减,而,,
所以在内有两个零点,再分,和两种情况讨论,可得实数的取值范围.
试题解析:
(1)当时,,定义域为.
因为对任意的,都有,
所以函数是偶函数.
(2)由题意知,在上恒成立,
即在上恒成立.
①当时,,
因为当时,取得最小值,所以;
②当时,恒成立;
③当时,,
因为,所以的值域为,所以.
综上所述,的取值范围为.
(3)当时,,有唯一零点,不符合题意;
当时,
①若,则,所以在上单调增,则,
因此在内无零点,
而在内最多有两个零点,不符合题意;
②若,则,所以在上单调增,
在上单调减,而,,
所以在内有两个零点,
若,则,所以在上单调减,又,
此时在内无零点,不符合题意;
若,则,所以在上单调增,
在上单调减,
要使在内有两个零点,则,
即,故.
综上所述,的取值范围为.
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