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线性代数复习资料
篇一:
大学线性代数必过复习资料
复习重点:
第一部分行列式
1.排列的逆序数(P.5例4;P.26第2、4题)
2.行列式按行(列)展开法则(P.21例13;P.28第9题)3.行列式的性质及行列式的计算(P.27第8题)
第二部分矩阵1.矩阵的运算性质
2.矩阵求逆及矩阵方程的求解(P.56第17、18题;P.78第5题)3.伴随阵的性质(P.41例9;P.56第23、24题;P.109第25题)、正交阵的性质(P.116)4.矩阵的秩的性质(P.69至71;P.100例13、14、15)
第三部分线性方程组
1.线性方程组的解的判定(P.71定理3;P.77定理4、5、6、7),带参数的方程组的解的
判定(P.75例13;P.80第16、17、18题)
2.齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)3.非齐次线性方程组的解的结构(通解)
第四部分向量组(矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换)1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩
第五部分方阵的特征值及特征向量1.施密特正交化过程
2.特征值、特征向量的性质及计算(P.120例8、9、10;P.135第7至13题)
3.矩阵的相似对角化,尤其是对称阵的相似对角化(P.135第15、16、19、23题)
要注意的知识点:
线性代数
1、行列式
1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!
项,可分解为2n行列式;2.代数余子式的性质:
①、Aij和aij的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:
Mij?
(?
1)i?
jAij4.行列式的重要公式:
①、主对角行列式:
主对角元素的乘积;
Aij?
(?
1)i?
jMij
n(n?
1)2
②、副对角行列式:
副对角元素的乘积?
?
(?
1);
③、上、下三角行列式(?
◥?
?
?
◣?
):
主对角元素的乘积;④、?
◤?
和?
◢?
:
副对角元素的乘积?
?
(?
1)⑤、拉普拉斯展开式:
n(n?
1)2
;
AOACCAOA
?
?
AB、?
?
(?
1)m?
nABCBOBBOBC
⑥、范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值5.证明A?
0的方法:
①、A?
?
A;②、反证法;
③、构造齐次方程组Ax?
0,证明其有非零解;④、利用秩,证明r(A)?
n;⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵:
?
A?
0(是非奇异矩阵);
?
r(A)?
n(是满秩矩阵)?
A的行(列)向量组线性无关;?
齐次方程组Ax?
0有非零解;?
?
b?
Rn,Ax?
b总有唯一解;?
A与E等价;
?
A可表示成若干个初等矩阵的乘积;?
A的特征值全不为0;?
ATA是正定矩阵;
?
A的行(列)向量组是Rn的一组基;?
A是Rn中某两组基的过渡矩阵;
2.对于n阶矩阵A:
AA*?
A*A?
AE无条件恒成立;3.
(A?
1)*?
(A*)?
1(AB)T?
BTAT
(A?
1)T?
(AT)?
1(AB)*?
B*A*
(A*)T?
(AT)*(AB)?
1?
B?
1A?
1
4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:
?
A1?
若A?
?
?
?
?
A2
?
?
?
,则:
?
?
?
As?
Ⅰ、A?
A1A2?
As;
?
A1?
1?
Ⅱ、A?
1?
?
?
?
?
?
?
1
?
1A2
?
?
?
;?
?
?
As?
1?
?
O?
?
B?
1?
B?
1?
?
O?
?
A?
1CB?
1?
?
B?
1?
O?
?
B?
1?
?
A?
1?
AO?
②、?
?
?
?
OB?
?
?
O?
O?
OA?
③、?
?
?
?
1?
?
BO?
?
A?
A?
1?
AC?
④、?
?
?
?
OB?
?
?
O
?
1?
1?
1
?
A?
1?
AO?
⑤、?
?
?
?
?
1?
1
CB?
?
?
?
BCA
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.一个m?
n矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:
?
EF?
?
r
?
O
O?
?
;O?
m?
n
等价类:
所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵A、B,若r(A)?
r(B)?
?
?
?
?
A?
B;2.行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3.初等行变换的应用:
(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
①、若(A?
?
E)?
?
?
(E?
?
X),则A可逆,且X?
A?
1;
②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A?
1B,即:
(A,B)?
?
?
(E,A?
1B);③、求解线形方程组:
对于n个未知数n个方程Ax?
b,如果(A,b)?
(E,x),则A可逆,且x?
A?
1b;
4.初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
?
?
1?
②、?
?
?
?
?
?
?
?
?
,左乘矩阵A,?
乘A的各行元素;右乘,?
乘A的各列元
ii
?
?
?
?
n?
r
r
c
?
2
素;
?
1
?
1?
?
1?
?
?
?
1?
1③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)?
1?
E(i,j),例如:
?
?
?
?
?
;?
?
1?
1?
?
?
?
?
1
④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))?
1?
E(i()),例如:
k
?
1?
1
?
1?
?
1?
?
?
k?
?
?
?
k?
?
1?
?
?
?
?
?
?
(k?
0);?
1?
?
⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))?
1?
E(ij(?
k)),如:
k?
?
k?
?
1?
1
?
?
?
?
1?
1?
?
?
?
(k?
0);?
?
1?
1?
?
?
?
?
?
1
5.矩阵秩的基本性质:
①、0?
r(Am?
n)?
min(m,n);
②、r(AT)?
r(A);
③、若A?
B,则r(A)?
r(B);
④、若P、Q可逆,则r(A)?
r(PA)?
r(AQ)?
r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max(r(A),r(B))?
r(A,B)?
r(A)?
r(B);(※)⑥、r(A?
B)?
r(A)?
r(B);(※)⑦、r(AB)?
min(r(A),r(B));(※)
⑧、如果A是m?
n矩阵,B是n?
s矩阵,且AB?
0,则:
(※)
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?
0解(转置运算后的结论);Ⅱ、r(A)?
r(B)?
n
⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)?
r(A)?
r(B)?
n;
6.三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:
一定可以分解为列矩阵(向量)?
行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
?
1ac?
?
?
②、型如?
01b?
的矩阵:
利用二项展开式
?
001?
?
?
③、利用特征值和相似对角化:
7.伴随矩阵:
?
n
?
①、伴随矩阵的秩:
r(A*)?
?
1
?
0?
r(A)?
n?
?
?
?
?
r(A)?
n?
1;r(A)?
n?
1
②、伴随矩阵的特征值:
③、A*?
AA?
1、A*?
A8.关于A矩阵秩的描述:
A
?
?
?
(AX?
?
X,A*?
AA?
1?
?
?
A*X?
A
?
X);
n?
1
①、r(A)?
n,A中有n阶子式不为0,n?
1阶子式全部为0;(两句话)②、r(A)?
n,A中有n阶子式全部为0;③、r(A)?
n,A中有n阶子式不为0;
9.线性方程组:
Ax?
b,其中A为m?
n矩阵,则:
①、m与方程的个数相同,即方程组Ax?
b有m个方程;
②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax?
b为n元方程;10.线性方程组Ax?
b的求解:
①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;③、特解:
自由变量赋初值后求得;
11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
?
a11x1?
a12x2?
?
?
a1nxn?
b1?
?
?
?
ax?
ax?
?
?
ax?
b?
?
?
2112222nn2①、?
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?
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?
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am1x1?
am2x2?
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bn
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②、?
a21
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am1
a12a22?
am2
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a1n?
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x1?
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b1?
?
?
?
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a2n?
?
x2?
?
b2?
(向量方程,A为m?
n矩阵,m个方程,n个?
?
Ax?
b?
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?
?
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?
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?
?
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?
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?
amn?
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xm?
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bm?
未知数)
③、?
a
?
b1?
?
x1?
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?
?
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bx2(全部按列分块,其中?
?
?
2?
);?
an?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
bn?
?
xn?
1
a2
④、a1x1?
a2x2?
?
?
anxn?
?
(线性表出)
⑤、有解的充要条件:
r(A)?
r(A,?
)?
n(n为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A:
?
1,?
2,?
?
m构成n?
m矩阵A?
(?
1,?
2,?
?
m);?
?
1T?
?
T?
?
TTT
m个n维行向量所组成的向量组B:
?
1,?
2,?
?
m构成m?
n矩阵B?
?
2?
;
?
?
?
?
?
?
T?
?
?
m?
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2.①、向量组的线性相关、无关?
Ax?
0有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出?
Ax?
b是否有解;(线性方程组)③、向量组的相互线性表示?
AX?
B是否有解;(矩阵方程)
3.矩阵Am?
n与Bl?
n行向量组等价的充分必要条件是:
齐次方程组Ax?
0和Bx?
0同解;
(P101例14)4.5.
r(ATA)?
r(A);(P101例15)
n维向量线性相关的几何意义:
篇二:
线性代数复习重点
复习重点:
第一部分行列式
1.排列的逆序数(P.5例4;P.26第2、4题)
2.行列式按行(列)展开法则(P.21例13;P.28第9题)3.行列式的性质及行列式的计算(P.27第8题)
第二部分矩阵1.矩阵的运算性质
2.矩阵求逆及矩阵方程的求解(P.56第17、18题;P.78第5题)3.伴随阵的性质(P.41例9;P.56第23、24题;P.109第25题)、正交阵的性质(P.116)4.矩阵的秩的性质(P.69至71;P.100例13、14、15)
第三部分线性方程组
1.线性方程组的解的判定(P.71定理3;P.77定理4、5、6、7),带参数的方程组的解的
判定(P.75例13;P.80第16、17、18题)
2.齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)3.非齐次线性方程组的解的结构(通解)
第四部分向量组(矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换)1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩
第五部分方阵的特征值及特征向量1.施密特正交化过程
2.特征值、特征向量的性质及计算(P.120例8、9、10;P.135第7至13题)
3.矩阵的相似对角化,尤其是对称阵的相似对角化(P.135第15、16、19、23题)
要注意的知识点:
线性代数
1、行列式
1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!
项,可分解为2n行列式;2.代数余子式的性质:
①、Aij和aij的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:
Mij?
(?
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