小升初专项训练比例百分数篇教师版Word文档下载推荐.docx
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100×
(1-99%)=(1-98%)X,解得X=50。
方法二:
做蒸发的题目,要改变思考角度,本题就应该考虑成“98%的干蘑菇加水后得到99%的湿蘑菇”,这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份,就又转变成“混合配比”的问题了。
但要注意,10千克的标注应该是含水量为99%的重量。
将100千克按1∶1分配,如下图:
所以蒸发了100×
1/2=50升水。
3【解】此题的关键是抓住不变量:
差不变。
这样原来两桶水差13-8=5升,往两个桶中加进同样多的水后,后来还是差5升,所以后来一桶为5÷
(7-5)×
5=,所以加入水量为4.5升。
4【解】从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12×
2=24吨,这样乙堆运12吨给甲堆,说明现在甲乙相差就是24+24=48吨,而甲堆煤就是乙堆煤的2倍,说明相差1份,所以现在甲重48×
2=96吨,总共重量为48×
3=144吨。
5【解】第二次拿走45枚黑棋,黑子与白子的个数之比由2:
1(=10:
5)变为1:
5,而其中白棋的数目是不变的,这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份,减少了9份。
这样原来黑棋=45÷
9×
10=50,白棋=45÷
5+15=40。
第九讲小升初专项训练比例百分数篇
这一讲主要涉及比例的意义和性质,按比例分配,正反比例等几个知识。
在应用题的各种类型中,有一类与数量之间的(正、反)比例关系有关.在解答这类应用题时,我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断.
成正比或反比的量中都有两种相关联的量.一种量(记作x)变化时另一种量(记作y)也随着变化.与这两个量联系着,有一个不变的量(记为k)。
在判断变量x与y是否成正、反比例时,我们要紧紧抓住这个不变量k.如:
成正比例;
如果k是y与x的积,即在x变化时,y与x的积不变:
xy=k,那么y与x成反比例.如果这两个关系式都不成立,那么y与x不成(正和反)比例.
经济浓度问题
这一节的内容与生活实际联系很紧密,在浓度问题中要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系。
而经济问题中,则要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系。
四、典型例题解析
1分数百分数应用题
【例1】
(★★)某班有学生48人,女生占全班的%,后来又转来女生若干人,这时人数恰好是占全班人数的40%,问转来几名女生?
【解】这是一道变换单位“1”的分数应用题,需抓住男生人数这个不变量,如果按浓度问题做,就简单多了。
浓度差之比1∶24 重量之比24∶1 48÷
24×
1=2人
男生原来有48×
(%)=30,来了女生后男生的人数书不变的,所以后来全班的总人数就是30÷
(1-40%)=50,所以增加的2人就是转来的女生人数。
【例2】
(★★)把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少?
【解】设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等,一边减少了20%,另一边将增加
所以正方形的边长是 2÷
25%=8(米).
正方形的面积是 8×
8=64(平方米).
【例3】
(★★★)学校男生人数占45%,会游泳的学生占54%。
男生中会游泳的占72%,问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几?
【解1】在全体学生中,不会游泳的女生占%.在全体学生中,会游泳的男生占 45%×
72%=%.在会游泳的学生中,男生占 %÷
54%×
100%=60%在全体学生中,不会游泳的女生占(100%-45%)-54%×
(1-60%)=%.
【解2】画一个图非常清楚。
【例4】某校四年级原有2个班,现在要重新编为3个班,将原一班的1/3与原二班的1/4组成新一班,将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班,余下的30人组成新三班。
如果新一班的人数比新二班的人数多10%,那么原一班有多少人?
【解】:
原一班的1/3与原二班的1/4+原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数,
余下1-7/12=5/12,是30人,所以总人数=30/(5/12)=72人;
72-30=42人,新一班与新二班的人数和为42人,新一班的人数比新二班的人数多10%,新一班人数:
新二班人数=11:
10,即原一班的(1/3-1/4)=1/12比原二班的1/12多2人,原一班比原二班共多12×
2=24人,所以,原一班有24+(72-24)/2=48人。
答:
原一班有48人。
2比和比例
【例5】
(★★★)一个长方形长与宽的比是14:
5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米,那么原长方形面积是多少平方厘米?
画出图便于解题:
【解1】:
BC的长:
182÷
13=14(厘米),
BD的长:
14+13=27(厘米),
从图中看出AB长就是原长方形的宽,AD与AB的比是14∶5,
AB与BD的比是5∶(14-5)=5∶9,
原长方形面积是42×
15=630(平方厘米)。
答:
原长方形面积是630平方厘米。
【解2】:
设原长方形长为14x,宽为5x.由图分析得方程
(14x-13)×
13-5x×
13=182,
9x=27,
x=3。
则原长方形面积
(14×
3)×
(5×
3)=630(平方厘米)。
【拓展】已知长方形的周长为346米,若边长分别增加2米,则面积增加多少平方米?
设两边长分别为a、b,这样增加的面积我们可以分为一个2×
2的正方形,一个2×
a的长方形,一个2×
b的长方形,所以增加的面积就是2×
(a+b)+2×
2=350平方米。
【例6】
(★★★)有正方形和长方形两种不同的纸板,正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2∶5。
现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒,其中竖式盒由一块正方形纸板做底面,四块长方形纸板做侧面(左下图),横式盒由一块长方形纸板做底面,两块长方形和两块正方形纸板做侧面(右下图),那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少?
【解】4∶3。
设竖式纸盒有a个,横式纸盒有b个,则共用长方形纸板(4a+3b)块,正方形纸板(a+2b)块。
根据题意有:
(a+2b)∶(4a+3b)=2∶5,即5(a+2b)=2(4a+3b),解得a∶b=4∶3。
【例7】
(★★★)某学校入学考试,参加的男生与女生人数之比是4∶3.结果录取91人,其中男生与女生人数之比是8∶5.未被录取的学生中,男生与女生人数之比是3∶4.问报考的共有多少人?
【解1】报考人数是119人,
录取学生中男生:
91×
=56人,女:
91-56=35(人).
先将未录取的人数之比3:
4变成4:
4×
,又有56×
=42(人)
未录取男生4×
3=12(人),女生16(人)。
报考人数是(56+12)+(35+16)=119(人)。
【解2】
(56+3x):
(35+4x)=4:
3得:
X=4
未录取男生4×
报考人数是(56+12)+(35+16)=119(人)。
【例8】
(★★★)幼儿园大班和中班共有32名男生,18名女生。
已知大班男生数与女生数的比为5:
3,中班中男生数与女生数的比为2:
1,那么大班有女生多少名?
【解】[方法一]:
鸡兔同笼
[思路]:
由于男女生有比例关系,而且知道总数,所以我们可以用鸡兔同笼。
解:
假设18名女生全部是大班,则
大班男生数:
女生数=5:
3=30:
18,即男生应有30人,
实际男生有32人,32-30=2,相差2个人;
中班男生数:
女生数=2:
1=6:
3,
以3个中班女生换3个大班女生,每换一组可增加1个男生,需要换2组;
所以,大班女生有18-3×
2=12个。
大班有女生12名。
[方法二]:
份数
[思路]:
可以把中班女生数看作“1”份,那么中班男生数为2份.从而大班中的男生数为32—2份,大班里的女生人数是18—1份.根据题意有(32—2份):
(18—1份)=5:
3,只要求出1份的数目即可。
设中班女生数看作“1”,(32—2份):
3,求出一份是6人
所以大班的女生则有18—6=12人.
3经济浓度问题
【例9】
(★★)某商店进了一批笔记本,按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后,为了尽早销完,商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少?
【解】设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×
(1+30%)=.其中 80%的卖价是×
80%, 20%的卖价是÷
2×
20%. 因此全部卖价是 ×
80%+÷
2×
20%=. 实际获得利润的百分数是 -1==17%.
【例10】
(★★★)A,B,C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。
把某种浓度的盐水10克倒入A中,混合后取出10克倒入B中,混合后又从B中取出10克倒入C中。
现在C中盐水浓度是%。
问最早倒入A中的盐水浓度是多少?
【解】最早倒入A中的盐水浓度为12%。
B中盐水的浓度是(30+10)×
%÷
10×
100%=2%。
现在A中盐水的浓度是(20+10)×
2%÷
100%=6%。
最早倒入A中的盐水浓度为(10+10)×
6%÷
10=12%。
【例11】
(★★★)小明到商店买红、黑两种笔共66支。
红笔每支定价5元,黑笔每支定价9元。
由于买的数量较多,商店就给予优惠,红笔按定价85%付钱,黑笔按定价80%付钱,如果他付的钱比按定价少付了18%,那么他买了红笔多少支?
【来源】北京市第14届迎春杯数学竞赛初赛试题
【解】浓度倒三角的妙用:
红笔按85%优惠,黑笔按80%优惠,结果少付18%,相当于按82%优惠,可按浓度问题进行配比。
与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同,要把这个因素考虑进去。
然后就可以按比例分配这66支笔了。
【例12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次,生产最低档次(即第1档次)的皮鞋每双利润为24元。
每提高一个档次,每双皮鞋利润增加6元。
最低档次的皮鞋每天可生产180双,提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。
按天计算,生产哪个档次的皮鞋所获利润最大?
最大利润是多少元?
【解】第9档次;
7776元。
由题意,生产第n(n=1,2,…,10)档次的皮鞋,每天生产的双数为189-9n=9×
(21-n)双,每双利润为18+6n=6×
(3+n)(元),所以每天获利润[6×
(3+n)]×
[9×
[(21-n)]=54×
(3+n)×
(21-n)元。
两个数的和一定时,这两个数越接近,这两个数的乘积越大。
上式中,因为(3+n)与(21-n)的和是24,而n=9时,(3+n)与(21-n)都等于12,所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大,最大利润是54×
(3+9)×
(21-9)=7776(元)。
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型:
1)分数百分数应用题参见例1,2,3,4
2)比和比例参见例5,6,7,8
3)经济浓度问题参见例9,10,11,12
(注:
作业题--例题类型对照表,供参考)
题1—类型1;
题2,4,5,6,8—类型4;
题3,7—类型5
1、(★★★)某中学,上年度高中男、女生共290人.这一年度高中男生增加4%,女生增加5%,共增加13人.本年度该校有男、女生各多少人?
【解】男生156人,女生147人。
如果女生也是增加4%,这样增加的人数是290×
4%=(人).比13人少人.因此上年度是÷
(5%-4%)=140(人).本年度女生有
140×
(1+5%)=147(人).
2、(★★★)在下图中AB,AC的长度是15,BC的长度是9.把BC折过去与AC重合,B点落在E点上,求三角形ADE与三角形ABC面积之比.
【解】1∶4. 三角形ADE与三角形EDC面积之比是 (15-9)∶9.
3、(★★★)成本元的练习本1200本,按40%的利润定价出售。
当销掉80%后,剩下的练习本打折扣出售,结果获得的利润是预定的86%,问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣?
【解】打了8折.
先销掉80%,可以获得利润×
40%×
1200×
80%=96.按86%获得利润×
86%=.因此,出售剩下的20%,要获得利润
=(元),
每本需要获得利润
÷
(1200×
20%)=(元)。
现在售价是+=(元),定价是
×
(1+40%)=(元)。
售价是定价的÷
=80%。
4、(★★★)甲乙两人各有一些书,甲比乙多的数量恰好是两人总数的
,如果甲给乙20本,那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的
。
那么他们共有多少本书?
【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的
,把差1份,和4份,用和差问题来算一下,大数为:
(4+1)/2=,小数:
(4-1)/2=,,得甲是份,乙是份,甲与乙的比是5:
3.
同理,甲给乙20本后,甲与乙的比是5:
7,思考一下为什么是5:
7,不要把前后项颠倒了。
因为甲给乙20本书,甲减少多少,乙就增加多少,甲乙两人共有书的总数不变,我们就把和的份数统一一下,在这里8与12的最小公倍数是24份:
5:
3=15:
9
7=10:
14
观察比较甲从15份变为10份,是因为少了20本书,因此每份是4本,共有书就为4×
(15+9)=96本。
5、(★★★)甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本,乙与丙的图书数之比是5∶4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比.
【解】3∶5∶4.
(108+18)÷
(5+5+4)=9
甲、乙、丙三人图书数之比是
(9×
5-18)∶(9×
5)∶(9×
4)=3∶5∶4。
6、(★★★)一个容器内已注满水,有大、中、小三个球。
第一次把小球沉入水中;
第二次把小球取出,把中球沉入水中;
第三次取出中球,把小球和大球一起
,第三次是第一次的倍,求三个球的体积之比。
【解】三种球体积之比是2∶8∶11.
设小球体积是1.当容器水满时,放一个球,就要溢出同样体积的水,因此可以用小球体积来计算溢出的水量.
小球时,容器中已经空出体积1,因此中球的体积是3+1=4.
未取出中球时,水是满的,取出中球后,容器空出体积4.再沉入小球和大球溢出水量是,小球和大球的沉入,水又是满了,因此小球和大球的体积是4+=,而大球的体积是=.
三个球的体积之比是
1∶4∶=2∶8∶11.
7、(★★)某种密瓜每天减价20%.第一天妈妈按定价减价20%买了3个密瓜,第二天妈妈又买了5个密瓜,两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买,问要花多少钱?
【解】第三天买,只要元.
每个密瓜原来定价是
42÷
[()×
3+()×
()×
5)]=(元).
第三天买每个价格是
×
×
=(元).
8=(元).
8.(★★★★)袋子里红球与白球数量之比是19:
13。
放入若干只红球后,红球与白球数量之比变为5:
3;
再放入若干只白球后,红球与白球数量之比变为13:
11。
已知放入的红球比白球少80只,那么原先袋子里共有多少只球?
【解】放入若干只红球前后比较,那白球的数量不变,也就是后项不变;
再把放入若干只白球的前后比较,红球的数量不变,因此可以根据两次变化前后的不变量来统一,然后比较。
红白
原来19:
13=57:
39
加红5:
3=65:
加白13:
11=65:
55
原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39,再把加红与加白的前项统一为65与13的最小公倍数65。
观察比较得出加红球从57份变为65份,共多了8份,加白球从39份变为55份,共多了16份,可见红球比白球少加了8份,也就是少加了80只,每份为10只,总数为(57+39)×
10=960只。
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