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电磁学
第八章电磁感应与似稳电路
§1电磁感应定律和感生电场
1.法拉第电磁感应定律
1.电磁感应现象
1831年法拉第发现电磁感应现象并确定了闭合回路感应电动势——法拉第电磁感应定律
总结:
闭合回路磁通m改变回路I
回路上感、EK
2.闭合回路感应电动势—法拉第电磁感应定律
(1)闭合回路感应电动势的大小——法拉第定律
=d/dt
(2)闭合回路感应电流的方向——楞次定律
楞次定律:
感应电流的磁通,总力图阻碍引起感应电流的磁通的变化.
或:
导体在磁场中运动时,感应电流引起的安培力总是阻碍导体的运动
(3)法拉第定律的符号
规定:
L正方向为、I正方向
=
——法拉第电磁感应定律or通量法则
例:
矩形线圈以v匀速运动,求:
此刻线圈的
解:
取L方向
=BdS=ln(1+a/r)
=d/dt=0Iabv/2r(r+a)>0
3.两种感应电动势
感应电动势:
动生电动势——B不变,导体运动产生
感生电动势——导体不动,B变化产生
2.动生电动势
1.动生电动势来自洛仑兹力
非静电力(洛仑兹力)FK=Fm=qvB
EK=FK/q=vB
ab=(vB)dl
闭合回路=∮(vB)dl
若v为常矢、B均匀
ab=(vB)r
=∮(vB)dl=0
2.动生电动势与法拉第定律
d=∮B(vdtdl)
=d/dt=∮(vB)dl
3.例
例1.用积分法求
解:
正方向如图
=∮(vB)dl=∮vBdl
=vb/(r+a)+b/r
=0Iabv/2r(r+a)
例2.匀强磁场中,金属杆(长l)匀角速度转动.求ab
解:
ab=(vB)dl
=Bvdr=Bl2/2
3.机械能与电能的转换
洛仑兹力不做功,但促使能量转换
1.安培力、动生电动势做功
v=常数感应电流I
FI=F外=BIa
=Bav
P外=-FIv=BIva
P=I=BIva=P外
2.微观解释
电子运动:
v1—I;v2—导线
f1=qv1B安培力P安培
f2=qv2B非静电力P
pm=fmv=0=f1v1+f2v2
4.感生电场引起感生电动势
磁场变化引起感生电流、感生电动势,非静电力是电场力
感、EKE感来自变化磁场,与回路无关
麦克斯韦假设:
感生电场E感引起感生电动势.即:
变化的B感应电场E感
推广电场力:
一切作用于静止电荷的由于其带电引起的力
L上感生电动势=LE感dl;
闭合回路上感生电动势=∮E感dl
是继库仑定律之后的又一个重要的电磁学实验定律
5.感生电场性质
1.变化磁场产生的感应电场存在于整个空间
不在于是否有感生电流、回路、导线、磁通
2.E库与E感感
E=E总=E库+E感
E库由电荷激发,类似静电场:
∮E库dl=0∮E库dS=q/0
麦克斯韦设:
∮E总dS=q/0
3.E感的场方程
∮E感dl=d/dt=dS
∮E感dS=0
E感是无源有旋场——E感线无头无尾,闭合
E感类似B,-B/t类似j
B/t对称性E感对称性
4.E感对称性∮E感dl=-dSE感
符号:
B正方向有向曲面S正方向回路L正方向,即E感正方向
例:
圆柱形无限长均匀磁场随时间线性变化,B/t=常数K.求:
E感
解:
B:
C(z);T(z);()反对称
E感轴对称E感=E感(r)
取回路L
∮E感dl=2rE感=dS=KS内
E感=-(d/dt)/2r=-KS内/2r
r r>R2rE感=-KR2E感=-KR2/2r 6.感生电场的验证与应用 1.电子感应加速器 磁场变化——电子加速运动 适当设计,在速度改变时保持轨道不变 相对论动力学 设电子在半径为a固定圆轨道上 E感(a)=-(d/dt)/2a 对电子 dp/dt=F=-e(E感+vB轨)=p+(dp/dt) dp=-eE感dt=ed/(2a) 设: P(t=0)=0(t=0)=0则 p=e/(2a) p=evB轨=evB(a) B轨=/(2a2)=<>/2 2.涡电流 ——感生电场在金属中引起的涡旋电流 (1)热效应 应用: 感应电炉 自动弯管机 危害: 热损失 (2)趋肤效应 导线交流电变化磁场涡旋电流导线中部电流减少,表面电流增加——趋肤效应 (3)电磁阻尼 金属板摆动产生涡流安培力阻碍运动 由楞次定律知: 安培力必然阻碍运动 §2自感和互感 为解决电路问题中电磁感应的影响引入自感和互感 1.自感 1.线圈自身电流变化,引起线圈内感应电动势——自感 I自感=d/dt=自 2.自感系数 (1)单匝形状不变自BI 定义: 自=LI L>0自感系数(亨利) 单自=L (2)N匝密绕线圈 N匝产生总磁场B,每匝磁通=BdS N匝“全磁通”——自感磁链自=NI 定义: 自=LI 自=L L>0自感系数(电惯性) 3.计算自感系数L (1)理论上设通入I自L=自/I (2)实验上测自、dI/dtL=自/ 例: 长直螺线管,已知n和体积.求: L 解: 通电流I.B内=0nI 自=NB内S=N0nIS=0n2I L=自/I=0n2 2.互感 统一选正方向l1、l2 1.互感电动势 (1)线圈1对线圈2 线圈1磁场B1对线圈2互感磁通 N2匝互感磁链: 12=N212I1 定义: 12=MI1 M=12/I1>0互感系数 I1变化12变化线圈2中产生12 线圈1对整个线圈2的互感电动势 12=d12/dt=M1 (2)线圈2对线圈1 线圈2磁场B2对线圈1互感磁链 21=MI2 线圈2对整个线圈1的互感电动势 21=M2 2.互感系数M M=12/I1=21/I2 完全耦合(无漏磁): 线圈1产生的磁场,通过线圈1的磁通全部通过线圈2,11=12 线圈2产生的磁场,通过线圈2的磁通全部通过线圈1,22=21 3.正方向的选择 为使M>0两线圈正方向要统一选取: 沿l1正方向的电流I1在线圈2中的磁通(按l2的正方向)12为正. 4.例 例1.求直导线与矩形线圈互感M 解: 直导线通入I1 12=B12dS=0I1bln(1+a/r)/2 M=12/I1=0bln(1+a/r)/2 例2.长直螺线管,单位长度n匝,内部线圈如图。 求M 解: 螺线管通入I1 12=0nI1Scos M=12/I1=0nScos 例3.求证完全耦合时M= 证明: M=N212/I1=N211/I1=N121/I2=N122/I2 M2=N211N122/I1I2=L1L2 3.同时考虑自感和互感 自感总是有的,两个以上线圈还要考虑互感 正方向统一按互感选取为l1、l2 对线圈1N匝: 总磁链1=11+21 11=L1I121=MI2 线圈1的总感应电动势 1=d1/dt=(L11+M2) 线圈2的总感应电动势 2=d2/dt=(L22+M1) 例1.两个线圈(自感分别为L1、L2,互感M)串联,等效于一个线圈.求等效自感L 顺接: 等效线圈正方向与l1、l2相同 I1=I2=I 等效=1+2=(L1+L2+2M)=L 等效线圈自感L=L1+L2+2M 反接: 取等效线圈正方向与l1相同与l2相反 I1=II2=I =12=(L1-M)-[-(-L2+M)] =(L1+L22M)=L 等效线圈L=L1+L22M 例2.两个线圈并联 (1)顺接: I=I1+I21=2= 即: =1+2 (L11+M2)=(L22+M1) 得: 1=(L2M)/(L1+L22M) 2=(L1M)/(L1+L22M) 则1==(L11+M2) =(L1L2M2)/(L1+L22M) 等效自感L=(L1L2M2)/(L1+L22M) §3似稳电路与暂态过程 1.似稳电路 1.似稳电磁场 在电路以及附近区域内,如果电流频率低变化慢而区域又不是很大,电磁场近似与该时刻电荷、电流分布相对应的稳恒场相同,称为似稳电磁场 似稳电流、似稳电路: 与似稳电磁场相应的电流、电路称为似稳电流、似稳电路 2.似稳条件 似稳区域尺度r<<(=c/) 此时忽略传播引起的时间延迟及电磁辐射 工频=50Hz=6000kmr大城市 中波=106Hz=300mr实验室 2.似稳电路满足基尔霍夫定律 电路中有电容器、电感线圈——集中元件 忽略线路中的分布电容和电感,R、C、L为常数 1.似稳电磁场方程 ∮E似稳dl=∮E稳恒dl=0(非电感区域) ∮jdS=0(非电容区域) ∮BdS=0 ∮H稳dl=I0(非电容区域) j=(E库+E感+EK) 2基尔霍夫第一定律 (1)交变电流“通过”电容器 (2)电容器之外电路上∮jdS=0 任意时刻对每个节点基尔霍夫第一定律成立 ik(t)=0(*) 2基尔霍夫第二定律 (1)对L、C的处理 电感L中为E感 E感dl=感=L 电容C中为E库 沿电流方向E库dl=V=q/C 为电压降(正为降) (2)基尔霍夫第二定律 似稳电路中任意时刻对每个回路基尔霍夫第二定律成立: 闭合电路电位升=电位降 k(t)=ik(t)Rl+Vk(t)=ik(t)Rl+qk(t)/Ck(**) 简记: (t)=i(t)R+V(t)=i(t)R+q(t)/C 符号规定: 与电流方向相同者取正,否则取负. 4.小结 似稳电路与稳恒电路一样满足基尔霍夫定律,因此在计算似稳电路时可以采用稳恒电路计算中类似方法 3简单回路充放电暂态过程 电路的暂态过程: 电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态的过程 暂态中电流、电荷分布、电磁场随时间变化. 1R—L电路 (1)充电暂态过程: BAi(0)=0 +感=L=iR L+Ri= i=I0(1eRt/L)=I0(1et/)I0(t) R—L电路时间常数L=L/R (2)放电暂态过程: ABi(0)=I0 感=L=iR i=I0et/0(t) 2.R—C电路 (1)充电q(0)=0 =iR+q/C R+= R—C电路时间常数C=RC q=q0(1et/)q0(t) i=dq/dt=I0et/0(t) (2)放电q(0)=q0 iR+q/C=0 q=q0et/i=I0et/ 3.R—C—L电路 (1)充电: BA q(0)=0t=0=0 +感=L=iR+q/C +2+02q=02q0 =(2-02)1/2 欠阻尼: <0’2=02-2 q=q01(cos’t+sin’t/)et 临界阻尼: =0q=q01(1+t)et 过阻尼: >02=
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