等边三角形专题最新含详细讲解析文档格式.docx

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《等边三角形》练习题

1．（2012•）如图，已知：

∠MON=30°

，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（　　）

6

B．

12

C．

32

D．

64

2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）

180°

220°

240°

300°

3．（2012•）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）

2

3

4．（2011•）边长为4的正三角形的高为（　　）

4

5．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

不能确定

6．（2009•）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　）

60°

45°

40°

30°

7．（2007•）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（　　）

3S1=2S2

2S1=3S2

2S1=S2

S1=2S2

8．（2007•）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（　　）

4cm2

2cm2

3cm2

9．（2006•）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；

②CM=CN；

③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）

3个

2个

1个

0个

10．（2006•）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（　　）

d＞h

d＜h

d=h

无法确定

11．（2007•）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°

的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°

的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　）

30海里

40海里

50海里

60海里

12．（2006•）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（　　）

25°

13．（2011•）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　_________　度．

14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有　_________　．（把你认为正确的序号都填上）

15．（2005•）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为　_________　．

16．（2004•）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：

（1）△A3B3C3的边长a3=　_________　；

（2）△AnBnCn的边长an=　_________　（其中n为正整数）．

17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，

D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且

AE=CD=BF，则△DEF为　_________　三角形．

18．（1999•）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出　_________　个．

19．如图所示，P是等边三角形ABC一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°

，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=　_________　．

20．（2009•）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．

（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．

21．（2009•）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

22．（2008•）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：

如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：

∠BQM=60度．

（1）请你完成这道思考题；

（2）做完

（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°

”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°

？

③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°

…

请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：

①　_________　；

②　_________　；

③　_________　．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

23．（2007•）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在

（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，

（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．

24．（2004•）已知：

如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．

（1）求证：

DP=PE；

（2）若D为AC的中点，求BP的长．

25．（2002•）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：

（1）当点P在△ABC（如图2），

（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？

请写出你的猜想，不需证明．

26．（2000•）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．

27．（2010•）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．

AE=BD；

（2）求证：

MN∥AB．

28．（2005•）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．

求证：

△ACE为等边三角形．

29．已知：

如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

AD=BE；

（2）求∠DOE的度数；

（3）求证：

△MNC是等边三角形．

30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：

BC=1：

2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？

《全等三角形》练习参考答案与试题解析

1．C　2．C　3．C　4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E=　15　度．14．　①②③⑤　．　

15．.16．a3=；

△AnBnCn的边长an=　（或21﹣n）　

17．　等边　三角形．18．　2　个．19PP′=　3　．

20．

解：

（1）在正△ABC中，AD=4×

，（2分）

∴S=BC×

AD=×

4×

2=4．（3分）

（2）AC、DE的位置关系：

AC⊥DE．（1分）

在△CDF中，∵∠CDE=90°

﹣∠ADE=30°

∴∠CFD=180°

﹣∠C﹣∠CDE=180°

﹣60°

﹣30°

=90°

．

∴AC⊥DE．（3分）

（注：

其它方法酌情给分）．

21．

AE∥BC．理由如下：

∵△ABC与△CDE为正三角形，

∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠EAC，

∵∠B=∠ACB，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC．

22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：

①　是　；

②　是　；

③　否　．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

（1）证明：

在△ABM和△BCN中，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°

（2）①是；

②是；

③否．

②的证明：

如图，

在△ACM和△BAN中，

∴△ACM≌△BAN，

∴∠AMC=∠BNA，

∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°

=120°

∴∠BQM=60°

③的证明：

在Rt△ABM和Rt△BCN中，

∴Rt△ABM≌Rt△BCN，

∴∠AMB=∠BNC．

又∠NBM+∠BNC=90°

∴∠QBM+∠QMB=90°

∴∠BQM=90°

，即∠BQM≠60°

23

（1）BF=CG；

证明：

在△ABF和△ACG中

∵∠F=∠G=90°

，∠FAB=∠GAC，AB=AC

∴△ABF≌△ACG（AAS）

∴BF=CG；

（2）DE+DF=CG；

过点D作DH⊥CG于点H（如图2）

∵DE⊥BA于点E，∠G=90°

，DH⊥CG

∴四边形EDHG为矩形

∴DE=HG，DH∥BG

∴∠GBC=∠HDC

∵AB=AC

∴∠FCD=∠GBC=∠HDC

又∵∠F=∠DHC=90°

，CD=DC

∴△FDC≌△HCD（AAS）

∴DF=CH

∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；

（3）仍然成立．

过点D作DH⊥CG于点H（如图3）

∴四边形EDHG为矩形，

∴DE=HG，DH∥BG，

∴∠GBC=∠HDC，

∵AB=AC，

∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，

，CD=DC，

∴DF=CH，

∴GH+CH=DE+DF=CG，

即DE+DF=CG．

24．

过点D作DF∥AB，交BC于F．

∵△ABC为正三角形，

∴∠CDF=∠A=60°

∴△CDF为正三角形．

∴DF=CD．

又BE=CD，

∴BE=DF．

又DF∥AB，

∴∠PEB=∠PDF．

∵在△DFP和△EBP中，

∵，

∴△DFP≌△EBP（AAS）．

∴DP=PE．

（2）解：

由

（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．

∵D为AC中点，DF∥AB，

∴BF=BC=a．

∴BP=BF=a．

25．

（1）当点P在△ABC时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．

理由如下：

过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．

∵四边形MNPF是矩形，

∴PF=MN，即h3=MN．

∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，

即h1+h2+h3=h．

（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．

过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．

∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，

即h1+h2﹣h3=h．

26．

（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，

∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD=∠PDC=60°

∴∠ACP=∠PDB=120°

若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：

PC•PD=AC•DB，

即=，

则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB

（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD

∵∠PDB=120°

∴∠DPB+∠DBP=60°

∴∠APC+∠BPD=60°

∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°

即可得∠APB的度数为120°

27．

（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°

，∠ECB=60°

∵∠DCA=∠ECB=60°

∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，

在△ACE与△DCB中，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=BD；

（2）∵由

（1）得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM=∠CDN，

∵∠ACD=∠ECB=60°

，而A、C、B三点共线，

∴∠DCN=60°

在△ACM与△DCN中，

∴△ACM≌△DCN，

∴MC=NC，

∵∠MCN=60°

∴△MCN为等边三角形，

∴∠NMC=∠DCN=60°

∴∠NMC=∠DCA，

∴MN∥AB．

28．

∵△OAB和△OCD为等边三角形，

∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°

∵四边形ODEB是平行四边形，

∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．

∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．

∴△ABE≌△EDC．

∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．

∵BE∥AD，

∴∠AEB=∠EAD．

∴∠EAD=∠ECD．

在△AFE和△CFD中

又∵∠AFE=∠CFD，

∴∠AEC=∠ADC=60°

∴△ACE为等边三角形．

29．

（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵等边三角形DCE，

∴∠CED=∠CDE=60°

∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，

=∠ADC+60°

+∠BED，

=∠CED+60°

=60°

+60°

∴∠DOE=180°

﹣（∠ADE+∠BED）=60°

答：

∠DOE的度数是60°

（3）证明：

∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC

又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，

∴AM=AD，BN=BE，

∴AM=BN，

在△ACM和△BCN中

∴△ACM≌△BCN，

∴CM=CN，

∠ACM=∠BCN，

又∠ACB=60°

∴∠ACM+∠MCB=60°

∴∠BCN+∠MCB=60°

∴∠MCN=60°

∴△MNC是等边三角形．

30．

过P点作PF∥BC交AC于F点，

∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：

2，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°

∴AP=CQ，

∵PF∥AB，

∴∠APF=∠B=60°

，∠AFP=∠ACB=60°

∴∠A=∠APF=∠AFP=60°

∴△APF是等边三角形，

∵PE⊥AC，

∴EF=AF，

∵△APF是等边三角形，AP=CQ，

∴PF=CQ

∴∠Q=∠FPD，

在△PDF和△QDC中

∴△PDF≌△QDC，

∴DF=CD，∴DF=CF，

∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，

∴ED=5．

双基训练

1.如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD=，ΔEFC的周长=。

3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：

BP=2PG。

纵向应用

1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

2.如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：

GH∥AB。

3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：

ΔCMN是等边三角形。

4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，

N为DB的中点，求证：

ΔCMN为等边三角形。

5.如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：

ΔABE为等边三角形。

6.如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：

ΔADE是等边三角形。

7.如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。

ΔMNP是等边三角形。

8.如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>

CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：

ΔEFM是等边三角形。

9.如图14-56，在

ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：

ΔDEF是等边三角形。

10.如图14-57，已知D为等边ΔABC一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，

求∠P。

横向拓展

1.如图14-58，已知P是等边三角形ABC一点，APB:

CPA=5:

6:

7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三角之比。

2.如图14-59，点O为等边ΔABC一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：

（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？

若能，请求出该三角形各角的度数；

若不能，请说明理由；

（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

3.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。

AMN的周长等于2。

4.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。

（1）如果AB=AC，求证：

ΔDEF是等边三角形；

（2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？

如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；

如果ΔDEF不是等边三角形，请说明理由；

（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。

5.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600。

（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？

（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？