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初三数学上第二章教案
第二章一元二次方程
5.一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中,培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
二、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节:
第一环节:
复习回顾;第二环节:
情境引入;第三环节:
探究新知;第四环节:
尝试发展;第五环节:
拓展创新;第六环节:
感悟与收获;第七环节:
布置作业。
第一环节:
复习回顾
内容:
1、一元二次方程的一般形式?
ax2+bx+c=0(a≠0)(板书)
2、一元二次方程有实数根的条件是什么?
(△=b2-4ac≥0)
3、当△>0,△=0,△<0根的情况如何?
4、一元二次方程的求根公式是什么?
目的:
以问题串的形式引导学生思考,回忆公式法解一元二次方程的相关知识,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络,为后面的学习作好铺垫。
第二环节:
情景引入
内容:
同学们,我们来做一个游戏,看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积?
(1)x2+3x+4=0
(2)6x2+x-2=0 (3)2x2-3x +1=0
目的:
通过游戏入手,激发学生学习兴趣。
第三环节:
探究新知
内容:
计算填表(验证第一环节游戏的结果)
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+4=0
6x2+x-2=0
2x2-3x +1=0
问题:
1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗?
2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢?
3、请根据以上的观察发现进一步猜想:
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a、b、c之间的关系:
____________。
4.你能证明上面的猜想吗?
请证明,并用文字语言叙述说明。
(分小组讨论以上的问题,并作出推理证明。
)
目的:
本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程,使学生既动手、动脑,又动口,教师引导启发,避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养了学生的创新意识和创新精神。
第四环节:
尝试发展
尝试题1:
根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
(方程两根为x1,x2、k是常数)
(1)2x2-3x-1=0 x1+x2=________ x1x2=________
(2)3x2+5x=0 x1+x2=________ x1x2=________
(3)x2+7x=-6 x1+x2=_________ x1x2=_________
(4)5x2+kx-6=0 x1+x2=_________ x1x2=_________
(学生迅速演算或口算)
尝试题2:
利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的
(1)平方和
(2)倒数和(3)差
尝试题3:
已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1,求它的另一个根及k的值。
“尝试题2”将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。
例如:
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;
“尝试题3”展示学生的不同作法,通过比较,学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。
2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时,部分学生不能熟练的掌握。
3、使学生体会解题方法的多样性,开阔解题思路,优化解题方法,增强择优能力。
力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习,获得数学活动经验。
第五环节:
拓展创新
1.已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根,三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。
2、变式训练:
已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根,三角形的第三条边c能等于15吗?
3、利用根与系数的关系,求作一个一元二次方程,使它的两根为2和3.
内容:
师生互相交流总结
在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c有哪些作用?
①二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程;
②当a≠0时,b=0,a、c异号,方程两根互为相反数;
③当a≠0时,△=b2-4ac可判定根的情况
④当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2= ,x1x2=
⑤当a≠0,c=0时,方程必有一根为0。
第七环节布置作业
P52A知识技能1 B 数学理解3
C、已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。
三、总结:
本节课充分以学生为主体进行教学,采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。
让学生多实践,从实践中反思过程,经历韦达定理的发生发展过程,并从中体验成功的乐趣。
引导学生发现问题,师生共同解决问题。
指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径,并将应用问题和规律归类。
四、教学反思:
第二章一元二次方程
6.应用一元二次方程
(一)
一、教学目标:
知识目标:
通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
能力目标:
1、经历分析和建模的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型;
2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力;
情感态度价值观:
④在问题解决中,经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力。
二、教学过程分析
本课时分为以下五个教学环节:
第一环节:
回忆巩固,情境导入;第二环节:
做一做,探索新知;第三环节:
练一练,巩固新知;第四环节:
收获与感悟;第五环节:
布置作业。
第一环节;回忆巩固,情境导入
活动内容:
提出问题:
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗?
①在这个问题中,梯子顶端下滑1米时,梯子底端滑动的距离大于1米,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢?
②如果梯子长度是13米,梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗?
如果相等,那么这个距离是多少?
分组讨论:
①怎么设未知数?
在这个问题中存在怎样的等量关系?
如何利用勾股定理来列方程?
②涉及到解的取舍问题,应引导学生根据实际问题进行检验,决定解到底是多少。
第二环节做一做,探索新知
活动内容:
见课本P53页例1:
如图:
某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头。
小岛F位于BC中点。
一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇,那么相遇时补给船航行了多少海里?
(结果精确到0.1海里)
该部分是学习中的难点,在教学中要给学生充分的时间去审清题意,分析各量之间的关系,不能粗线条解决。
在讲解过程中可逐步分解难点:
①审清题意;②找准各条有关线段的长度关系;③建立方程模型,之后求解。
解决实际应用问题的关键是审清题意,因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意,让学生自己反复审题,弄清各量之间的关系,分析题目中的已知条件和要求解的问题,并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量,弄清它们之间的关系。
在学生分析题意遇到困难时,教学中可设置问题串分解难点:
(1)要求DE的长,需要如何设未知数?
(2)怎样建立含DE未知数的等量关系?
从已知条件中能找到吗?
(3)利用勾股定理建立等量关系,如何构造直角三角形?
(4)选定后,三条边长都是已知的吗?
DE,DF,EF分别是多少?
学生在问题串的引导下,逐层分析,在分组讨论后找出题目中的等量关系即:
速度等量:
V军舰=2×V补给船
时间等量:
t军舰=t补给船
三边数量关系:
弄清图形中线段长表示的量:
已知AB=BC=200海里,DE表示补给船的路程,AB+BE表示军舰的路程。
学生在此基础上选准未知数,用未知数表示出线段:
DE、EF的长,根据勾股定理列方程求解,并判断解的合理性。
巩固练习:
A
Q
B
8cm
C
6cm
P
1、一个直角三角形的斜边长为7cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,那么这个直角三角的面积是多少?
2、如图:
在Rt△ACB中,∠C=90°,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?
3、在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小相等的六块作试验田,要使试验田面积为570平方米,问道路应为多宽?
说明:
三个题目的设计从简单问题入手,通过勾股定理解决直角三角形边长问题;第2题构造了一个可变的直角三角形,解决面积问题;第三题也是面积问题,在这个问题中常设道路宽为x米,其中两条长为20米,一条长为32米,但要注意路的交叉部分。
第三环节:
练一练,巩固新知
活动内容:
1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条,剩下的长方形钢板的面积为4800cm2。
求原正方形钢板的面积。
2、有这样一道阿拉伯古算题:
有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等于96,多的一笔钱被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱?
3、《九章算术》“勾股”章有一题:
“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲乙行各几何。
”大意是说:
已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3。
乙一直向东走,甲先向南走了10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。
那么相遇时,甲、乙各走了多远?
第四环节:
收获与感悟
活动内容:
问题:
1、列方程解应用题的关键
2、列方程解应用题的步骤
3、列方程应注意的一些问题
让学生在学习小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言。
第五环节:
布置作业
1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁,两个人的年龄相乘积等于45,你知道这两个小朋友几岁吗?
2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m,在它四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246㎡,求小路的宽度。
3、有一个两位数等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这两位数。
三、总结:
本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课,学生在七八年级已经进行过方程应用的训练,对于方程的实际应用并不陌生,虽然学生已经进行了一定的训练,但本课对学生而言还是有一定的难度。
本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发,以教材提供的素材为基础,引导学生对旧知识进行迁移,找出解决问题的新的途径和方法;学生之间的合作交流、互助学习,能更好地调动学生的学习积极性,可以更好地根据学生的实际情况进行调整,更符合学生的认知规律。
无论是例题的分析还是练习的分析,尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口,为学生提供展示自己聪明才
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