高中数学12用二分法求方程的近似解示范教案新人教A版必修1Word文档下载推荐.docx
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新知探究
提出问题
①解方程2x-16=0.
②解方程x2-x-2=0.
③解方程x3-2x2-x+2=0.
④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.
⑤我们知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点.进一步的问题是,如何找出这个零点的近似值?
⑥“取中点”后,怎样判断所在零点的区间?
⑦什么叫二分法?
⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.
⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果:
①x=8.
②x=-1,x=2.
③x=-1,x=1,x=2.
④x=,x=,x=1,x=2.
⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕
⑥比如取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<
0,因为f(2.5)·
f(3)<
0,所以零点在区间(2.5,3)内.
⑦对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·
f(b)<
0的函数y=f(x),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6,用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
由表可知,f
(2)<
0,f(3)>
0,则f
(2)·
0,这说明f(x)在区间内有零点x0,取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084,因为f(2.5)·
0,所以x0∈(2.5,3).
同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).
区间
中点的值
中点函数的近似值
(2,3)
2.5
-0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
2.53-1-2-5
-0.009
(2.53-1-2-5,2.5625)
2.546875
0.029
(2.53-1-2-5,2.546875)
2.5390625
0.010
(2.53-1-2-5,2.5390625)
2.53515625
0.001
图3-1-2-1
由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样,在一定的精确度下,我们可以在有限次重复相同步骤后,将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地,可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如,当精确度为0.01时,由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<
0.01,所以,我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.
⑨给定精度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:
1°
确定区间[a,b],验证f(a)·
0,给定精度ε.
2°
求区间(a,b)的中点c.
3°
计算f(c):
a.若f(c)=0,则c就是函数的零点;
b.若f(a)·
f(c)<
0,则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕;
c.若f(c)·
0,则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.
4°
判断是否达到精度ε;
即若|a-b|<
ε,则得到零点值a(或b);
否则重复步骤2°
~4°
.
⑩由函数的零点与相应方程的关系,我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算.
应用示例
思路1
例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
活动:
①师生共同探讨交流,引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象,能够缩小根所在区间,并根据f
(1)<
0,f
(2)>
0,可得出根所在区间(1,2);
②引发学生思考,如何进一步有效缩小根所在的区间;
③共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,有助于问题的解决;
④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程,加深学生对上述方法的理解;
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时,到什么时候才能达到所要求的精确度.
学生简述上述求方程近似解的过程.
原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).
-6
-2
10
21
40
75
142
273
图3-1-2-2
观察图表可知f
(1)·
f
(2)<
0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.
因为f
(1)·
f(1.5)<
0,所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·
0,
所以x0∈(1.25,1.5).
同理,可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625<
0.1,
所以,原方程的近似解可取为1.4375.
例2利用计算器,求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1).
教师帮助学生分析:
画出函数f(x)=x2-2x-1的图象,如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现,方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2,3)内,另一个根x2在区间(-1,0)内.
根据图象,我们发现f
(2)=-1<
0,f(3)=2>
0,这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次,即方程f(x)=0在区间(2,3)上有唯一解.
图3-1-2-3
计算得f()=>
0,发现x1∈(2,2.5)(如图3-1-2-3),这样可以进一步缩小x1所在的区间.
设f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的简图,如图3-1-2-3.
因为f
(2)=-1<
0,
所以在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x1.
取2与3的平均数2.5,因为f(2.5)=0.25>
所以2<
x1<
2.5.
再取2与2.5的平均数2.25,因为f(2.25)=-0.4375<
所以2.25<
如此继续下去,得f
(2)<
0,f(3)>
0x1∈(2,3),
0,f(2.5)>
0x1∈(2,2.5),
f(2.25)<
0,f(2.5)>
0x1∈(2.25,2.5),
f(2.375)<
0x1∈(2.375,2.5),
0,f(2.4375)>
0x1∈(2.375,2.4375).
因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为x1≈2.4.
点评:
利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解.
思路2
例1利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).
学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.
分别画出y=lgx和y=3-x的图象,如图3124所示.在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内.
图3-1-2-4
设f(x)=lgx+x-3,设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.
用计算器计算,得
0x1∈(2,3),
f(2.5)<
0x1∈(2.5,3),
0,f(2.75)>
0x1∈(2.5,2.75),
0,f(2.625)>
0x1∈(2.5,2.625),
f(2.5625)<
0x1∈(2.5625,2.625).
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x1≈2.6.
例2求方程lnx-2x+3=0在区间[1,2]内的根(精确度0.1).
设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.
设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.
如图3-1-2-5,因为f
(1)=1,f
(2)=-0.306852819,
所以f
(1)f
(2)<
0,即函数f(x)在[1,2]内有一个零点.根据二分法,用计算器得出以下表格:
y
-0.306852819
-1.901387711
-3.613705639
-5.390562088
-7.208240531
-9.054089851
-10.92055846
(步长为1)
1.5
50.405465108
-1.083709268
3.5
-2.747237032
3.613705639
4.5
-4.495922603
(步长为0.5)
1.25
0.723143551
0.405465108
1.75
0.059615787
2.25
-0.689069783
-1.488399088
(步长为0.25)
1.125
0.867783035
1.375
0.568453731
1.625
0.235507815
1.875
-0.12139134
(步长为0.125)
1.5625
0.3-2-1-287102
1.6875
0.148248143
1.8125
-0.030292892
1.9375
-0.213601517
(步长为0.0625)
由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:
中点函数近似值
(1,2)
(1.5,2)
(1.75,2)
(1.75,1.875)
图3-1-2-5
因为f(1.75)=0.059615787>
0,f(1.8125)=-0.030292892<
所以x1∈(1.75,1.8125).
由于|1.8125-1.75|=0.0625<
所以区间(1.75,1.8125)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间[1,2]内的根.
①先设出方程对应的函数,画出函数的图象,初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.
②二分法,即逐渐逼近的方法.
③计算量较大,而且是重复相同的步骤,借助计算器或计算机完成计算比较容易.
知能训练
1.根据下表中的数据,可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()
-1
ex
0.37
2.27
7.39
20.0
x+2
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为()
A.1B.2C.3D.4
答案:
1.C.设f(x)=ex-x-2,f
(1)<
0,即f
(1)f
(2)<
0,∴x∈(1,2).
2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).
-0.5
图3-1-2-6
由图与表,知有三个根.
拓展提升
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查接点的个数为多少?
(此例既体现了二分法的应用价值,也有利于发展学生的应用意识)
至少需要检查接点的个数为4.
课堂小结
学生先思考或讨论,再回答.教师提示、点拨,及时评价.
引导方法:
从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.
①掌握用二分法求方程的近似解,及二分法的其他应用.
②思想方法:
函数方程思想、数形结合思想.
作业
课本P92习题3.1A组1、3.
设计感想
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法,它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开,充分借助现代教学手段,用多种角度处理问题,使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.
习题详解
(课本第88页练习)
1.
(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7
(1)),它与x轴有两个交点,所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.
(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0,令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7
(2)),它与x轴没有交点,所以方程2x(x-2)=-3无实数根.
(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3)),它与x轴只有一个交点(相切),所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.
(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4)),它与x轴有两个交点,所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.
图3-1-2-7
2.
(1)作出函数图象(图3-1-2-8
(1)),因为f
(1)=1>
0,f(1.5)=-2.875<
0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.
又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.
(2)作出函数图象(图3-1-2-8
(2)),因为f(3)<
0,f(4)>
0,所以f(x)=2x·
ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.
又因为f(x)=2x·
ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.
(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<
0,f
(1)>
0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.
又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<
0,f(-3)>
0,f(-2)<
0,f
(2)<
0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.
图3-1-2-8
(课本第91页练习)
1.由题设可知f(0)=-1.4<
0,f
(1)=1.6>
于是f(0)·
f
(1)<
所以函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点x0.
下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0,1)内的零点.
取区间(0,1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.
因为f(0.5)·
0,所以x0∈(0.5,1).
再取区间(0.5,1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
f(0.75)<
0,所以x0∈(0.5,0.75).
同理,可得x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625,0.6875),x0∈(0.65625,0.6875).
由于|0.6875-0.65625|=0.03125<
所以原方程的近似解可取为0.65625.
2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f
(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f
(2)·
所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.
下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.
取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·
0,所以x0∈(2.5,3).
再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·
f(2.75)<
0,所以x0∈(2.5,2.75).
同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5625,2.625),x0∈(2.5625,2.59375),x0∈(2.578125,2.59375),x0∈(2.5859375,2.59375).
由于|2.5859375-2.59375|=0.0078125<
0.01,
所以原方程的近似解可取为2.59375.
(课本第92页习题3.1)
A组
1.A,C
需了解二分法求函数的近似零点的条件.
2.由x,f(x)的对应值表可得f
(2)·
0,f(3)·
f(4)<
0,f(4)·
f(5)<
又根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·
0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点.
3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.
于是f(-1)·
f(0)<
所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.
下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1,0)内的近似解.
取区间(-1,0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.
因为f(-1)·
f(-0.5)<
0,所以x0∈(-1,-0.5).
再取(-1,-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.
f(-0.75)<
0,所以x0∈(-1,-0.75).
同理,可得x0∈(-1,-0.875),x0∈(-0.9375,-0.875).
由于|(-0.875)-(-0.9375)|=0.0625<
所以原方程的近似解可取为-0.9375.
4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义,用计算器算得f(0.5)≈0.59,f
(1)=-0.2.
于是f(0.5)·
所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.
下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0,1)内的近似解.
取区间(0.5,1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.
因为f(0.75)·
0,所以x0∈(0.75,1).
再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.
因为f(0.875)·
0,所以x0∈(0.75,0.875).
同理,可得x0∈(0.8125,0.875),x0∈(0.8125,0.84375).
由于|0.8125-0.84375|=0.03125<
所以原方程的近似解可取为0.84
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