高中数学第一章统计1估计总体的分布教案文档格式.docx
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31.5
28.8
8月8日至8月24日
33.2
30.3
30.2
29.8
33.1
32.8
25.6
24.7
30.0
30.1
29.5
怎样通过上表中的数据,分析比较两时间段内的高温(≥33℃)状况?
这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.
思路3.讨论:
我们要了解我校学生每月零花钱的情况,应该怎样进行抽样?
提问:
学习了哪些抽样方法?
一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢?
讨论:
通过抽样方法收集数据的目的是什么?
(从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体)
指出两种估计手段:
一是用样本的频率分布估计总体的分布,二是用样本的数字特征(平均数、标准差等)估计总体的数字特征.这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢?
你认为,为了较合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?
(让学生展开讨论)
(2)什么是频率分布?
(3)频率分布直方图的特征是什么?
(4)什么是频率分布折线图?
讨论结果:
(1)为了制定一个较为合理的标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格来改变数据的排列方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.
下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况.
(2)频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小;
一般用频率分布直方图来反映样本的频率分布.
(3)频率分布直方图的特征:
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.
②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断.
(4)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.
应用示例
思路1
例11895年,在伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证,头盖骨的主人死于1665—1666年之间的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度,数据如下所示(单位:
mm):
146141139140145141142131142140144140
138139147139141137141132140140141143
134146134142133149140140143143149136
141143143141138136138144136145143137
142146140148140140139139144138146153
148152143140141145148139136141140139
158135132148142145145121129143148138
149146141142144137153148144138150148
138145145142143143148141145141
请你估计在1665—1666年之间,英国男性头盖骨宽度的分布情况.
解:
这里,如果把总体看作是1665—1666年之间的英国男性头盖骨的宽度,那么我们就是要通过上面挖掘出土得到的样本信息,来估计总体的分布情况.但从上面的数据很难直接估计出总体的分布情况,为此,我们可以先将以上数据按每个数据出现的频数和频率汇成下表:
宽度/mm
频数
频率
121
1
0.009
142
7
0.066
129
143
10
0.094
131
144
5
0.047
132
2
0.019
145
8
0.075
133
146
134
147
135
148
136
4
0.038
149
3
0.028
137
150
138
152
139
153
140
12
0.113
158
141
从表格中,我们就能估计出总体大致的分布情况了,如在1665—1666年之间,英国男性头盖骨宽度主要在140—150mm之间,130mm以下以及150mm以上所占的比率相对较小等.但是,这些关于分布情况的描述仍不够形象,为了得到更为直观的信息,我们可以再将表中的数据按照下面的方式分组:
宽度分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
120—125mm
0.0018
125—130mm
130—135mm
6
0.057
0.0114
135—140mm
22
0.208
0.0416
140—145mm
46
0.434
0.0868
145—150mm
25
0.236
0.0472
150—155mm
0.0076
155—160mm
先画频数分布直方图(图1).进一步,我们还可以将图1中纵坐标的频数换成
便可以得到图2.
图1
图2
点评:
当样本量较大时,样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率.因此,我们就可以用样本的频率分布直方图来估计总体在任意区间内取值的频率,也即总体的分布情况.
变式训练
1.有100名学生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有30人,参加篮球队的有27人,参加排球队的有23人,参加乒乓球队的有20人.
(1)列出学生参加运动队的频率分布表.
(2)画出频率分布条形图.
(1)参加足球队记为1,参加篮球队记为2,参加排球队记为3,参加乒乓球队记为4,得频率分布表如下:
试验结果
参加足球队(记为1)
30
0.30
参加篮球队(记为2)
27
0.27
参加排球队(记为3)
23
0.23
参加乒乓球队(记为4)
20
0.20
合计
100
1.00
(2)由上表可知频率分布条形图如图3:
图3
2.为了了解中学生的身体发育情况,对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量,结果如下(单位cm):
154159166169159156166162158
156166160164160157151157161
158153158164158163158153157
162159154165166157151146151
160165158163163162161154165
162159157159149164168159153
列出样本的频率分布表;
绘出频率分布直方图.
列频率分布表如下:
个数累计
145.5—148.5
0.017
148.5—151.5
0.050
151.5—154.5
0.100
154.5—157.5
0.133
157.5—160.5
18
0.300
160.5—163.5
11
0.183
163.5—166.5
0.167
166.5—169.5
60
1.000
根据上述数据绘制频率分布直方图如图4:
图4
以上两种情况的不同之处在于,前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率,相应的条形图是用其高度表示取各个值的频率;
后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率,相应的直方图是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.
我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法,这是因为,频率分布随着样本容量的增大更加接近于总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,频率分布的直方图就演变成一条光滑的曲线——总体密度曲线.这条曲线是客观存在的,但是我们却很难将它准确地画出,我们只能用样本的频率分布去对它进行估计.基于频率分布与相应的总体分布有这种关系,再加上我们通常并不知道一个总体的分布,我们往往是从一个总体中抽取一个样本,用样本的频率去估计相应的总体分布.一般说来,样本的容量越大,这种估计就越精确.
思路2
例1下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位:
cm).
区间界限/cm
122—126
126—130
130—134
134—138
138—142
人数
33
142—146
146—150
150—154
154—158
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
分析:
根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.
(1)样本频率分布表如下:
0.04
0.07
0.08
0.18
0.28
0.17
0.09
0.05
120
(2)其频率分布直方图如图5:
图5
(3)由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本,如下(单位:
cm).
168
165
171
167
170
175
174
169
166
164
155
160
156
162
179
163
172
180
173
159
151
176
177
178
161
作出该样本的频率分布表,并估计身高不小于170(cm)的同学所占的百分率.
频率分布表如下:
频数累计
150.5—153.5
153.5—156.5
156.5—159.5
159.5—162.5
31
0.11
162.5—165.5
53
0.22
165.5—168.5
72
19
0.19
168.5—171.5
86
14
0.14
171.5—174.5
93
174.5—177.5
97
177.5—180.5
0.03
根据频率分布表可以估计,估计身高不小于170(cm)的同学所占的百分率为(0.14×
+0.07+0.04+0.03)×
100%=21%.
例2为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图6),图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?
样本容量是多少?
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少?
(3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?
请说明理由.
图6
在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1.
(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,因此第二小组的频率为
=0.08;
又因为频率=
,所以样本容量=
=150.
(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为
×
100%=88%.
(3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69,前四组的频数之和为114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组.
知能训练
1.有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下:
(12.5,15.5],3;
(15.5,18.5],8;
(18.5,21.5],9;
(21.5,24.5],11;
(24.5,27.5],10;
(27.5,30.5],4.由此估计,不大于27.5的数据约为总体的()
A.91%B.92%C.95%D.30%
答案:
A
2.一个容量为20的样本数据,数据的分组及各组的频数如下:
(10,20),2;
(20,30),3;
(30,40),4;
(40,50),5;
(50,60),4;
(60,70),2.
则样本在区间(-∞,50)上的频率为()
A.0.5B.0.7C.0.25D.0.05
B
3.一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图7),根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭___________万盒.
快餐公司个数情况图快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图
图7
85
拓展提升
为了了解一大片经济林生长情况,随机测量其中的100株的底部周长,得到如下数据表(单位:
98
102
110
99
96
103
125
117
113
92
109
104
112
124
87
123
128
105
111
114
108
126
115
106
89
80
118
90
107
91
101
116
95
119
(1)编制频率分布表;
(2)绘制频率分布直方图;
(3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少?
周长不小于120cm的树木约占多少?
(1)这组数据的最大值为135,最小值为80,极差为55,可将其分为11组,组距为5.
80—85
0.01
0.002
85—90
0.02
0.004
90—95
0.008
95—100
100—105
24
0.24
0.048
105—110
15
0.15
0.030
110—115
0.12
0.024
115—120
9
0.018
120—125
0.022
125—130
0.06
0.012
130—135
0.2
(2)频率分布直方图如图8:
图8
(3)从频率分布表得,样本中小于100的频率为0.01+0.02+0.04+0.14=0.21,样本中不小于120的频率为0.11+0.06+0.02=0.19,估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占21%,周长不小于120cm的树木约占19%.
课堂小结
总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.
作业
习题1—51、2.
设计感想
本节课是高一新课程必修三第二章《统计》中的第二节《用样本估计总体》的第一节课,尽管用样本估计总体是一种实用性很强,操作烦琐、麻烦的工作,但却是统计学中常用的方法,在生产、生活中应用非常广泛.用样本估计总体,其实就是一种“以偏概全”,“以部分代替全部”的思想.虽然有贬义的成分,但我们还是要认真去教好学好,而且,这也是平时考试和高考中的重点内容之一.
本节要解决的问题就是:
为何要用样本估计总体——社会生产、生活的实际需要(必要性),如比赛、竞技中预测结果,评判质量谁好谁差,水平谁高谁低经常要用到.如何去用样本估计总体——用样本的频率分布去估计总体的频率分布;
怎样用样本估计总体——作出样本频率分布表或频率分布直方图,懂得用“数据”语言说话.
另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育并增强学生的自信心,使学生养成良好的学习态度.
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- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 统计 估计 总体 分布 教案