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(x-x).000一、填空题.
________.y=在点P(1,1)处的切线方程是1.曲线3.,则A处的切线斜率为2.已知曲线y=2x________上一点A(1,2)3.,-3)处的切线方程是-x____________在点(-13.曲线y=4x4的方程为l=0垂直,则l与直线x+4y-4.若曲线y=x8的一条切线.______________3处的切线方程为________.=2x-x在点(1,1)5.曲线y))(x,f(x,则曲线y=f(x)在点′6.设函数y=f(x)在点x处可导,且f(x)>
00000处切线的倾斜角的范围是________.3点的坐标为,则P=4x-1=xy+x-2在点P处的切线平行于直线7.曲线f(x)______________.2________.ax=相切,则a--y1=0与曲线y=8.已知直线x二、解答题的方程.l平行且距离为,求直线l.已知曲线9y=在点P(1,4)处的切线与直线=相切的直线方程.(2,0)且与曲线y10.求过点能力提升
2,求过该点且与过该点的切线垂直的直线方.已知曲线y=2x(1,2)上的点11程.23的斜率最小的切线与直.若曲线y=f(x).设函数=xf(x)+ax9x--1(a<
0)12的值.平行,求a线12x+y=61.利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题..利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在2;
若已知点不在切线上,则设x)f′(x)(x-=-曲线上,则切线方程为yf(x)000,表示出切线方程,然后求出切点.,f(x))(x出切点003.1.2瞬时变化率——导数
(一)
课时目标1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会
理.3.用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.
解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念,会求一个函数的导数.
1.瞬时速度的概念
作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的,把物体在某一时刻的速度叫____________.
用数学语言描述为:
设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt趋近于0时,函数f(t)在t到t+Δt之间的平均变化率趋近于常数,我们这个常数称为00______________.
2.导数的概念
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x∈(a,b),当Δx无限趋近于0时,比0值=____________无限趋近于一个常数A,则称f(x)在点x=x处________,并0称该常数A为______________________________,记作f′(x).03.函数的导数
若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f′(x).
4.瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,即v(t)=________.
5.瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数,即a(t)=________.
一、填空题
2,则物体的初-ts=3t1.任一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是速度是________.
2.设f(x)在x=x处可导,则当Δx无限趋近于0时的值为________.02(a为常数),则该物体在t=t时的瞬时速度是=3.一物体的运动方程是sat0________.
2+10,则f(x)在xf(x)=-x=处的瞬时变化率是________..已知45.函数y=x+在x=1处的导数是________.
3+2,若f′(-1)=3,则axf(x)6.设函数=a=________.
.________处的瞬时变化率是(4,2)=在点f(x).曲线7.
2,则在时间间隔+v(t)=t2+2t8.已知物体运动的速度与时间之间的关系是:
________.,在t=1时的瞬时加速度是________[1,1+Δt]内的平均加速度是二、解答题处的导数.=在=f(x)x=19.用导数的定义,求函数y25,枪m10/s10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a=5×
-3.求枪弹射出枪口时的瞬时速度.10s弹从枪口射出时所用的时间为1.6×
能力提升22处的导数.+bx+c,求函数在x=y11.已知函数=ax2,求物秒时间的高度为s(t)=vt-gtv12.以初速度(v>
0)垂直上抛的物体,t000体在时刻t处的瞬时速度.0利用定义求函数在一点处导数的步骤:
1.)Δx)-.f(x
(1)计算函数的增量:
=Δyf(x+00.
的比x
(2)计算函数的增量与自变量增量ΔA.时,=无限趋近于Δx无限趋近于0(3)计算上述增量的比值当.导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度.2常见函数的导数3.2.1
.2.1.理解各个公式的证明过程,进一步理解运用概念求导数的方法课时目标.3.掌握常见函数的导数公式灵活运用公式求某些函数的导数.1.几个常用函数的导数:
;
′=______b)(kx+);
C′=______(C为常数x′=______;
2)′=______;
(x′=________.
.基本初等函数的导数公式:
2.
′________((为常)
′________(a>
,1)(lox′lo________(a>
,1)
′________lx′________
six′________
cox′________
1.下列结论不正确的是________.(填序号)
①若y=3,则y′=0;
②若y=,则y′=-;
③若y=-,则y′=-;
④若y=3x,则y′=3.
2.下列结论:
①(cosx)′=sinx;
②′=cos;
③若y=,则f′(3)=-.其中正确的有______个.
3.设f(x)=sinx,f(x)=f′(x),f(x)=f′(x),…,f(x)=f′(x),n∈N,n112100n+则f(x)=________.
20103在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的Py4.已知曲线=x点坐标为______________.
5.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为_________.
2,则y′=f′(x)+1x满足f(-1)=-2xx=________.)(=.若函数6yfx7.曲线y=cosx在点A处的切线方程为__________________.
2上切线倾斜角为的点是__________.=.曲线8yx
二、解答题.
.求下列函数的导数.9232sin.=-;
(3)y;
(2)y=-
(1)y=logx2-logxx442.求:
B(2,4)x上有两点A(1,1),10.已知曲线y=;
的斜率k
(1)割线ABABx内的平均变化率;
]在[1,1+Δ
(2);
处的切线斜率k(3)点AATA处的切线方程.(4)点能力提升
5的取值范围为y轴的切线,则实数a)=ax+lnx存在垂直于11.若曲线f(x__________.与时间单位:
元)5%.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为,物价p(12)有如下函数关系:
t(单位:
年tp(1+5%),)p(t=0个年头,这种商=1,那么在第100其中p为t=时的物价,假定某种商品的p000.01)
≈0.05,精确到品的价格上涨的速度大约是多少?
(注ln1.05.求函数的导数,可以利用导数的定义,也可以直接使用基本初等函数的导1数公式.2.对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决.导数的运算§
3.2函数的和、差、积、商的导数3.2.2理解求导法则的证明.2.课时目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则
过程,能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数.,即(.两个函数的和或差)的导数,等于这两个函数的导数的__________1xgxf______________.
′=)]()±
([
2.两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上fxgx)]′=(()·
________________________________________,即[Cfx)]′=__________(其中C为常数________________.特别地[)(.
3.两个函数的商的导数,等于分子的导数与__________减去________________与分子的积,再除以______________.即_______________________________.
3x+ln3,则f′(+3x)=__________.
=1.已知f(x)xx+1在点(0,1)处的切线方程是____________y=xe.2.曲线42-bx,且f′(0)=-13,f′ax(-1)=-27,则a+b=.已知函数3f(x)=x+________.
4.曲线y=x(x-1)(x-2)…(x-6)在原点处的切线方程为__________.
x2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为,ee在点(25.曲线y=________.
6.已知函数f(x)=f′()cosx+sinx,则f()的值为__________.
x+2在x=e0处的切线方程为____________.(7.曲线C:
fx)=sinx+2+(t的单位是秒,ts的单位是米),8.某物体作直线运动,其运动规律是s=则它在第4秒末的瞬时速度应该为________m/s.
二、解答题
9.求下列函数的导数.
x;
10
(1)y=
(2)y=;
xcosx-3xlogx;
2(3)y=2011(4)y=x·
tanx.
22)处的切线方程.π(πxxy10.求曲线=+sin在点,能力提升
的取值α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则=上,11.已知点P在曲线yα.范围为__________2的最短距离.2=0上的点到直线x-y-12.求抛物线y=x1.理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.
2.对于一些应用问题如切线、速度等,可以结合导数的几何意义,利用公式进行计算.
3.1.1平均变化率
知识梳理
1.x-xΔx=x-x增量x+Δxf(x)-f(x)11112222.斜率
作业设计
1.①
2.f(x+Δx)-f(x)003.4+2Δx
222,2(Δx)14Δ+1=x+)2(1-+y解析Δ=f(1Δx)f
(1)=+Δx--12×
∴==4+2Δx.
4.
解析由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.
所以==.
5.-1
解析===-1.
6.0.41
7.1
1.
==k由平均变化率的几何意义知解析.
8.4.1
解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由求得,即===4.1.
9.解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为:
==-6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为:
==4.
3-1x)
(1)=(1+Δy=f(1+Δx)-f解10.∵Δ23,))+(Δx=3Δx+3(Δx∴割线PQ的斜率
2+3Δxx)+3.
==(Δ当Δx=0.1时,割线PQ的斜率为k,
2+3×
0.1+k==(0.1)3=3.31.则∴当Δx=0.1时割线的斜率为3.31.
11.解乙跑的快.因为在相同的时间内,甲跑的路程小于乙跑的路程,即甲的平均速度比乙的平均速度小.
a]上的平均变化率为)在[0,f12.解函数(x==a+2.
函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为
==2.
∵a+2=2×
2,∴a=2.
3.1.2瞬时变化率——导数
(二)
1.曲线y=f(x)上过点x的切线的斜率0作业设计.
1.x+y-2=0
解析===,
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-1,
∴k=-1,
∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
2.6
3,xy=2解析∵∴=
=
22.
xx+)x6+6xΔ=2(Δ2,时,无限趋近于6x∴当Δx无限趋近于0∴点A(1,2)处切线的斜率为6.
3.x-y-2=0
解析=
22-3x(Δx),=4-(Δx)3-x2,x时,无限趋近于04-3当Δx无限趋近于∴f′(-1)=1.
所以在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1,
所以切线方程是y=x-2.
4.4x-y-3=0
4在某一点的=x=m0,即yl=0垂直的直线为4x-y+8+解析与直线x4y-34在(1,1)处导数为4,此点的切线方程为y=x4x-′导数为4,而y=4x,所以y-3=0.
5.x+y-2=0
22,)x(Δx3-x3-)x(Δ-2=解析.
2,3x无限趋近于0时,无限趋近于2-当Δx2,∴k=2x-3=-1.
∴y′=2-3∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
6.
解析k=f′(x)>
0,∴tanθ>
0,∴θ∈.07.(1,0)或(-1,-4)
3+x-x2,),由f(x)=P解析设(x,y0022+3x(Δx)+3x+1,=(Δx)
2+1.x0时,无限趋近于3当Δx无限趋近于2+1,令f′(x)=4,∴f′(x)=3x0即3x+1=4,得x=1或x=-1,00∴P(1,0)或(-1,-4).
8.
解析==2ax+aΔx,
当Δx无限趋近于0时,2ax+aΔx无限趋近于2ax,
∴f′(x)=2ax.
设切点为(x,y),则f′(x)=2ax2ax=1,00000,且y=x-1=ax,解得x=2,a=.0009.解==
==-,
当Δx无限趋近于0时,-无限趋近于-,
即f′(x)=-.
k=f′
(1)=-4,切线方程是y-4=-4(x-1),
,0=8-y+x4即为
设l:
4x+y+c=0,则=,
∴|c+8|=17,
∴c=9,或c=-25,
∴直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.
10.解(2,0)不在曲线y=上,
令切点为(x,y),则有y=.①000又==-,
当Δx无限趋近于0时,-无限趋近于-.
∴k=f′(x)=-.
0∴切线方程为y=-(x-2).
而=-.②
由①②可得x=1,0故切线方程为x+y-2=0.
11.解=
==4+2Δx,
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于4,
∴f′
(1)=4.
∴所求直线的斜率为k=-.
∴y-2=-(x-1),即x+4y-9=0.
12.解∵Δy=f(x+Δx)-f(x)
0032-9(x+Δx)-1-(x+ax-9x-1))+Δ(=x+x)+a(xΔx000023,xx)(Δ))+(Δ+xax(3=x+2-9)Δ+(3xa002.
)(Δ)Δx+xa+(39-2x∴=3+ax+x00)
一(导数——瞬时变化率3.1.2.
理.3.用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率理解并掌握开区间.4.解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法内的导数的概念,会求一个函数的导数..瞬时速度的概念1作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的,把物体在某一时刻的速度.叫____________0趋近于,当Δt用数学语言描述为:
设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t)之间的平均变化率趋近于常数,我们这个常数称为+Δt时,函数f(t)在t到t00______________.2.导数的概念时,比无限趋近于0,(ab),当Δx设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x∈0,并处________f(x)在点x=x值=____________无限趋近于一个常数A,则称0).,记作f′(x称该常数A为______________________________0.函数的导数3的xb)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量若f(x)对于区间(a,的导函数,记作f(x)变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为.f′(x)________.v(t)t的导数,即=4.瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间________.的导数,即a(t)=5.瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t一、填空题2,则物体的初t的关系是s=3t-s1.任一作直线运动的物体,其位移与时间t________.速度是.0时的值为________Δf(x)在x=x处可导,则当x无限趋近于.设202时的瞬时速度是=t)(a为常数,则该物体在tat3.一物体的运动方程是s=0________.2________.在+10,则f(x)x=处的瞬时变化率是xf(x)4.已知=-.________处的导数是1=x+在x=y.函数5.
3________.,则a=f,若′(-1)=6.设函数f(x)=ax3+2处的瞬时变化率是________.7.曲线f(x)=在点(4,2)2,则在时间间隔2t+.已知物体运动的速度与时间之间的关系是:
v(t)=t2+8________.________,在t=1时的瞬时加速度是+[1,1Δt]内的平均加速度是二、解答题1处的导数.=f(x)=在x=.用导数的定义,求函数9y25,×
m10/s10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a=5-3.求枪弹射出枪口时的瞬时速度.×
10s枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6能力提升2处的导数.==ax2+bx+c,求函数在x11.已知函数y2,求物tt秒时间的高度为s(t)=v-gt>
0)12.以初速度v(v垂直上抛的物体,000处的瞬时速度.体在时刻t0.利用定义求函数在一点处导数的步骤:
1f(x)f(x+Δx)-计算函数的增量:
(1).Δy=00.
x的比
(2)计算函数的增量与自变量增量ΔA.0时,=无限趋近于(3)计算上述增量的比值当Δx无限趋近于2.导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度.)
一瞬时变化率——导数(3.1.2
知识梳理1.瞬时速度瞬时速度x处的导数x)在点x=f2.可导函数(05.v′(tS′()t).4作业设计
1.3
,tΔ-3===解析.
当Δt无限趋近于0时,无限趋近于3.
2.-f′(x)0解析∵
=-,
∴当Δx无限趋近于0时,原式无限趋近于-f′(x).03.at0解析==aΔt+at,0当Δt无限趋近于0时,无限趋近于at.04.-3
解析∵==-Δx-3,
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-3.
5.0
==,
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于0.
6.1
解析∵
2-3aΔx+3(Δ=ax)a.
∴当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3a,
即3a=3,∴a=1.
7.
解析==
=,
∴当Δx无限趋近于0时,无限趋近于.
8.4+Δt4
t]内的平均加速度为==Δt+4Δ+,当Δt无限趋近于0时,无限趋解析在[1,1近于4.
9.解∵Δy=f(1+Δx)-f
(1)=-
==
∴=,
∴当Δx无限趋近于0时,
无限趋近于-,∴f′
(1)=-.
2.at运动方程为s=10.解
2-at)(t+Δts因为Δ=a02,t)t+a(ΔΔ=at0所以=at+aΔt.
0所以当Δt无限趋近于0时,无限趋近于at.0-352s,×
10m/s,t=1.6×
由题意知,a=51002=800(m/s)10.所以at=8×
0即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
2+b(2+Δx)+c-(4a+
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