抽屉原理例题解析文档格式.docx
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这两个数的和是34。
现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理(因为抽屉只有8个),必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点,这两个数的和是34。
)
例4从1、2、3、4、„、19、20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12。
解析(在这20个自然数中,差是12的有以下8对:
{20,8},{19,7},{18,6},{17,5},{16,4},{15,3},{14,2},{13,1}。
另外还有4个不能配对的数{9},{10},{11},{12},共制成12个抽屉(每个括号看成一个抽屉).只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数,即可办到(取12个数:
从12个抽屉中各取一个数(例如取1,2,3,„,12),那么这12个数中任意两个数的差必不等于12)。
例5从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。
解析(分析与解答根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉(显然,它们具有上述性质):
{1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。
从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。
例6证明:
在任取的5个自然数中,必有3个数,它们的和是3的倍数。
分析与解答按照被3除所得的余数,把全体自然数分成3个剩余类,即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中,至少有3个数在同一个抽屉,那么这3个数除以3得到相同的余数r,所以它们的和一定是3的倍数(3r被3整除)。
如果每个抽屉至多有2个选定的数,那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个,2个,2个,即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数,那么这3个数除以3得到的余数分别为0、1、2.因此,它们的和也一定能被3整除(0+1+2被3整除)。
例7某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。
分析与解答共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;
最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况(0,1,2,„,n-1)数都是n,还无法用抽屉原理。
然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;
如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、„、n-2,还是后一种状态1、2、3、„、n-1,握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。
抽屉原理2:
将多于m×
n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
概念解析
1、假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到(m+1)件,即每个抽屉里的物品都不多于m件,这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×
n件,这与多于m×
n件物品的假设相矛盾。
这说明一开始的假定不能成立,所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于(m+1)件。
2、“抽屉原理1”和“抽屉原理2”的区别是:
“抽屉原理1”物体多,抽屉少,数量比较接近;
“抽屉原理2”虽然也是物体多,抽屉少,但是数量相差较大,物体个数比抽屉个数的几倍还多
例题讲解
1、如果将13只鸽子放进6只鸽笼里,那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。
道理很简单,如果每只鸽笼里只放2只鸽子,6只鸽笼共放12只鸽子,剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里,总有一只鸽笼放了3只鸽子。
2、有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?
分析与解:
将40名小朋友看成40个抽屉。
有玩具122件,而122=3×
40+2,应用抽屉原理2,取n=40,m=3,立即知道至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具,也就是说,至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具
3、布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。
最少取出多少个球,才能保证其中一定有3个球的颜色一样?
把4种不同颜色看做4个抽屉,把布袋中的球看做元素。
根据抽屉原理2,要使其中一个抽屉里有3个颜色一样的球,那么放入的球的个数最少应比抽屉个数的2倍多1,即最少取出(3-1)×
4+1=9(个)球。
4、有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75~95分之间。
问:
至少有几名学生的成绩相同?
关键是构造合适的“抽屉”。
既然是问“至少有几名学生的成绩相同”,说明应以成绩为抽屉,学生为物品。
除3名成绩在60分以下的学生外,其余学生的成绩均在75~95分之间,而75~95分中共有21个不同的分数,将这21个分数作为21个抽屉,把47-3=44(个)学生作为物品。
则有44÷
21=2„„2,根据抽屉原理2,至少有1个抽屉中至少有3件物品,即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的
5、学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(也可以不参加)。
至少有多少名学生,才能保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同?
首先要弄清参加学习班有多少种不同的情况:
不参加学习班有1种情况,只参加一个学习班有3种情况,参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。
共有1+3+3=7(种)情况。
将这7种情况作为7个“抽屉”,根据抽屉原理2,要保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同,那么至少有学生7×
(5-1)+1=29(名)。
6、夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?
本题的抽屉不是那么明显,因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”,所以应该把活动项目当成抽屉,营员当成物品。
营员数已经有了,现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
因为“每人必须参加一项或两项活动”,共有3项活动,所以只参加一项活动的情况有3种,参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况,所以共有3+3=6(个)抽屉。
则有2000÷
6=333„„2,根据抽屉原理2,至少有一个抽屉中有333+1=334(件)物品,即至少有334名营员参加的活动项目是完全相同的。
7、幼儿园里有120个小朋友,各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
把120个小朋友看做是120个抽屉,把玩具件数看做是元素。
则364=120×
3+4,4<120。
根据抽屉原理的第
(2)条规则:
如果把m×
x×
k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素,即有人会得到4件或4件以上的玩具
课堂练习
1.
五名同学在一起练习投篮,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了几个球?
2.
有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。
至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?
3.
篮子里有苹果、梨、桃和橘子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的?
4.
放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球,有66名同学来仓库拿球,要求每人至少拿1个球,至多拿2个球。
至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的?
5.
①求证:
任意25个人中,至少有3个人的属相相同。
②要想保证至少有5个人的属相相同,但不能保证有6个人的属相相同,那么人的总数应在什么范围内?
参考答案
解:
将5个同学投进的球数作为抽屉,将41个球放入抽屉中,41=5×
8+1,所以至少有一个抽屉中放了9个球,即至少有一个人投进了9个球。
首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有:
订甲、订乙、订丙3种情况;
订两种杂志有:
订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况;
订三种杂志有:
订甲乙丙1种情况。
总共有3+3+1=7(种)订阅方法。
我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。
因为100=14×
7+2。
根据抽屉原理2,至少有14+1=15(名)学生所订阅的杂志种类是相同的。
首先应弄清不同的水果搭配有多少种。
两个水果是相同的有4种,两个水果不同的有6种:
苹果和梨、苹果和桃、苹果和橘子、梨和桃、梨和橘子、桃和橘子,所以不同的水果搭配共有4+6=10(种)。
将这10种搭配作为10个“抽屉”,因为81=8×
10+1,根据抽屉原理2,至少有8+1=9(个)小朋友拿的水果是相同的。
拿球的配组方式有以下9种:
{足},{排},{篮},{足,足},{排,排},{篮,篮},{足,排},{足,篮},{排,篮}。
把这9种配组方式看作9个抽屉,因为66=7×
9+3,所以至少有7+1=8(名)同学所拿的球的种类是完全一样的。
①把12种属相看作12个抽屉,因为25=2×
12+1,所以根据抽屉原理2,至少有3个人的属相相同。
②要保证有5个人的属相相同,总人数最少为4×
12+1=49(人)。
不能保证有6个人的属相相同的最多人数为5×
12=60(人)。
所以总人数应在49人到60人的范围内。
练习1:
1、一个幼儿园大班有40个小朋友,班里有各种玩具125件。
2、把16枝铅笔放入三个笔盒里,至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。
为什么?
3、把25个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有7个球?
答案:
1、
把40名小朋友看做40个抽屉,将125件玩具放入这些抽屉,因为125=3×
40+5,根据抽屉原理,可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具,所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。
2、
把三个笔盒看做3个抽屉,因为16=5×
3+1,根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。
3、
把盒子数看成抽屉,要使其中一个抽屉里至少有7个球,那么球的个数至少应比抽屉个数的(7-1)倍多1,而25=4×
(7-1)+1,所以最多方子4个盒子里,才能保证至少有一个盒子里有7个球。
例题2:
布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。
解析:
据抽屉原理2要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球,那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。
即2×
4+1=9(个)球。
列算式为(3—1)×
4+1=9(个)
练习2:
1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球?
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块,它们的形状、大小都一样。
当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时,为确保取出的木块中至少有4块颜色相同,应至少取出多少块木块?
3、一副扑克牌共54张,其中1—13点各有4张,还有两张王的扑克牌。
至少要取出几张牌,才能保证其中必有4张牌的点数相同?
最少应取出(3-1)×
5+1=11个球
至少取出(4-1)×
3+1=10块木块。
如果没有两张王牌,至少要取(4-1)×
13+1=40张,再加上两张王牌,至少要摸出40+2=42张,才能保证其中必有4张牌点数相同。
例题3:
某班共有46名学生,他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语,每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同?
参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个小组的有6个类型,只参加三个组的有4种类型,参加四个组的有1种类型。
把4+6+4+1=15(种)类型看做15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46=3×
15+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
练习3:
1、某班有37个学生,他们都订阅了三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几位同学订的报刊相同?
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
某班有52名同学,问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同?
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球,每人任意搬运两个,问:
在31个
搬运者中至少有几人搬运的球完全相同?
参考答案
小学六年中最多有2个闰年,共366×
2+365×
4=2191天,因为13170=6×
2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。
参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个组的有6种类型,只参加三个字的有4种类型,参加四个组的有1种类型。
把4+6+4+1=15种类型看作15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46=15×
3+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
全班订阅报刊的类型共有3+3+1=7种,因为37=5×
7+2,所以其中至少有6位学生订的报刊相同。
例题4:
从1至30中,3的倍数有30÷
3=10个,不是3的倍数的数有30—10=20个,至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。
练习4:
1、在1,2,3,……49,50中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除?
2、从1至120中,至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数?
3、从1至36中,最多可以取出几个数,使得这些数中没有两数的差是5的倍数?
参考答案练4
在1~50中,5的倍数有50÷
5=10个,不是5的倍数的就有50-10=40个,至少要取
出40+1=41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。
在1~120中,4的倍数有120÷
4=30个,不是4的倍数有120-30=90个,正是要取出90+1=91个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。
差是5的两数有下列5组:
1、6,11、16,21、26,31、36;
2、7,12、17,22、27;
3、8,13、18,23、28、33;
4、9,14、19,24、29,34;
5、10,15、20,25、30、35。
要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数,最多只能从每组中各取1个数,即最多可以取5个数。
例题5:
将400张卡片分给若干名同学,每人都能分到,但都不能超过11张,试证明:
找少有七名同学得到的卡片的张数相同。
这题需要灵活运用抽屉原理。
将分得1,2,3,……,11张可片看做11个抽屉,把同学人数看做元素,如果每个抽屉都有一个元素,则需1+2+3+……+10+11=66(张)卡片。
而400÷
66=6……4(张),即每个周体都有6个元素,还余下4张卡片没分掉。
而这4张卡片无论怎么分,都会使得某一个抽屉至少有7个元素,所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。
练习5:
1、把280个桃分给若干只猴子,每只猴子不超过10个。
证明:
无论怎样分,至少有6只猴子得到的桃一样多。
2、把61颗棋子放在若干个格子里,每个格子最多可以放5颗棋子。
至少有5个格子中的棋子数目相同。
3、汽车8小时行了310千米,已知汽车第一小时行了25千米,最后一小时行了45千米。
一定存在连续的两小时,在这两小时内汽车至少行了80千米。
参考答案练5
把11秒钟看做11个抽屉,把100米看作100个元素,因为100=9×
11+1,所以必有1个抽屉里超过9米,即必有某一秒钟,他跑的距离超过9米。
如图答30-1,把边长为2的等边三角形分成四个边长为1的小等边三角形。
把它看作4个抽屉,5个点看作5个元素,则一定有一个小三角形内有2个点,这2个点之间的距离不超过1。
3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条,余下一个50×
40的长方形,它的面积为2000平方厘米,再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆,若剪去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话,那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。
因为×
32×
70的值就小于630×
3.15=1984.52000,所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆
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