矢量的基本代数运算Word格式.docx

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PQOQOPsr（yixjei（y?

X2）e2（yaXa）ea

其中yiXi（i1,2,3）就是该矢量在里的分量。

各分量

均为0的矢量称为零矢。

在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是

它们的分量依次相等

若|a1,a为单位矢量（幺矢）。

|a0，则

ai/a

叫做a在里的方向余弦，它们是a和ei间的角［0,之间的余弦。

零矢没有方向余弦。

i）矢量和：

矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。

aB（aibi）ei（a2b2）e2（a3b3）e3

2）矢量差：

矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。

aB（aibi）ei（a?

b2）e2（a3b3）e3

3）纯量（或数量）乘矢量：

若为纯量，则

况a〔eia2e2a3e3

4）数积（点乘）：

矢量a,B的数积是纯量

aBaibia2b2a3b3aBcos

其中［0,］是a,B之间的角。

矢量a,B相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。

零矢与任意矢量垂直。

矢量a和单位矢量e的数积等于a在e的方向的垂直投影。

5）矢积（叉乘）：

矢量a,（3的矢积是矢量

eie?

e3

a3a1a2a3a3sinn

Db2bs

其中n为a,3不平行时，同时垂直于a,3的幺矢，且a,3,n按此次序构成右手系。

a3a,a33

矢量a,湘互平行的充要条件是它们的矢积等于零。

零矢与任意矢量平行。

运算规律一览

若a,3,Y是任意矢量，，是任意纯量，则

1）结合律：

（a（）a

（a3）Ya（3丫）

（a）3（a3）

（a3（a3）

2）交换律：

a33a

必须注意：

a（3Ba

3）分配律：

（）aaa

（aB）aB

a（3Ya3a丫

a（BYa3ay

（a,y,B）（Ba,Y（y,Ba）

根据行列式性质，有

（a,B,Y（BYa（Y,a,B）

混合积（a,BY的绝对值表示以a,B,丫为棱的平行六面体的体积。

三个矢量a,B,Y共面的充要调价是它们的混合积等于零。

若三个矢量a,B,丫共面，且a,B不平行，则

是a,B的线性组合:

2）三矢矢积：

若a,B,丫是矢量，则三矢矢

积为

（aB）y（a丫）卩（卩丫）a

3）拉格朗日（Lagrange）恒等式:

（aB）（y3）（a丫）（卩3）（a卩力

特殊地

22（aB）a

可以证明：

只有零矢量同时垂直于三个不共面的矢量。

1.4对于空间的点、直线和平面的简单应用

不妨在标架[O；

ei，e2，e31中来考察空间的点、

直线和平面。

OP来

显然，空间的任意一点P可用其径矢r表示。

1）令空间任意一直线经过某固定点「°

，它与一单位矢量v平行，r为直线上任意点，则该直线可表示为

rrotv

其中t是纯量。

以上方程称为直线的矢方程，其中t是参数,因而也叫做参数矢方程。

2）令空间任意一平面经过某固定点「°

，它与一单位矢量n垂直，r为平面上任意点，则该平面的矢方程为

n（rr°

）0

注意：

通常平面具有方向性，与n同向的一侧称为正侧。

另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、两条相交直线、两条平行直线也可以确定一个平面。

3）过点ri，作直线rrotv的垂线，其垂足

riro[（「ro）v]v

点到直线的距离

dr1r1

4）点ri到平面n（rro）0的距离

dn（riro）

点到平面的垂足

riri[（rir°

）n]n

5）两相错直线ririotiai与J5t2a2的公垂线单位矢量

%a?

a〔a?

它们间的最短距离

（「2°

rio,ai,a2）|

aa2|

d

2坐标变换

2.1基矢变换

在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标架，一个固定在空间，称为基础标架，另两个分别和运动中的两个齿轮相固连。

因此，有必要考

察两个标架或坐标之间的相互关系。

设［oe©

®

］，［Oe©

©

］为任意两个直角坐标

系。

考察基矢ez®

和8©

之间的关系，设在坐标系里，标架的基矢eg®

为

3

ei玄泸）（i1,2,3）

ji

即

a〔ia〔2a〔3

e?

a2ia22a23e?

e3a31a32a33e3

则a“,ai2,ai3是e：

在坐标系里的分量，也是方向余弦，即ei依次和ei,e2,e3之间的角的余弦：

e：

eja：

j（i,j1,2,3）

而在在坐标系里，标架的基矢e1,e2,e3为

a»

ej（i1,2,3）

j1

或

e〔a〔1a21a31e〔

a12a22a32e?

e3a13a23a33e3

若引进方阵的概念和符号，令

ai1ai2ai3ai1a21a31

T

aa21a22a?

3，aa〔2a?

2a32

a31a32a33ai3a23a33

则A,AT互为转置方阵，且

AATI,ATAI

其中I表示三阶单位方阵。

A和AT都是正常正交方阵表明：

从一个坐标系的基矢到另一个坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换。

若从到的基矢的变换方

阵是A，则从至V的基矢的变换方阵是At。

设有三个坐标系，和，若从到的基矢的变换方阵是A，从到的基矢的变换方阵是B，则从到的基矢的变换方阵为

CBA

2.2矢量的分量变换

设Xi，X2，X3是任意矢量r在坐标系里的分量，

则在坐标系

里的分量为

卷a?

ia22a?

3X2

X3a31a32a33X3

XAX

2.3点的坐标变换在坐标系［Oe©

］里的坐标是X,再设O点在里的坐标是Xo，贝0

XXoAX

3刚体变换

刚体是指在运动中，其上任意两点的距离始终保持不变的物体。

通常我们假定齿轮是刚体，齿轮运动是刚体运动。

设［0；

6©

忌］为基础标架，［0为与齿

轮相固连的标架，那么，研究齿轮运动的过程即可归结为的运动的研究。

标架的原点和基矢在里都是时间t的函数，这样位置的变化，就叫做刚体位置变换或简称刚体变换。