椭圆经典解题思路Word格式.docx
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105
2
例5已知椭圆方程笃
a
2y_b2
,长轴端点为A1,A2,焦点为
Fi,F?
P是
椭圆上一点,
APA2
F1PF2
.求:
F1PF2的面积(用a、
求面积要结合余弦定理及定义求角
1
的两邻边,从而利用S-absinC求面积.
表示).
解:
如图,设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设P
在第一象限.由余弦定理知:
由椭圆定义知:
FiPF2
例6已知动圆
PF1
P过定点
FiF』2|PFi
PF222PF|-PF2
PF22a②,则②2—①得
PF2sin
12b2
sin
21cos
A3,0,且在定圆B:
x32
b2%.
PF2
cos4c2.①
2b2
1cos
y64的内部与其相内切,
关键是根据题意,列出点P满足的关系式.解:
如图所示,设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点,
即定点A3,0和定圆圆心
B3,0距离之和恰好等于定圆半径,
即PA
PB
PM
BM
8.•点P的轨迹是以A,
B为两焦点,
_2
半长轴为4,半短轴长为b
4232.7的椭圆的方程:
—
16
说明:
本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
例7已知椭圆
X2ii
Xy2i,(i)求过点P丄,丄且被P平分的弦所在直线的方程;
222
(2)
求斜率为
2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)
过A2,
引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)
椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ
分析:
Xi
(i)
求线段PQ中点M的轨迹方程.
此题中四问都跟弦中点有关,
因此可考虑设弦端坐标的方法.
设弦两端点分别为
2y22
2y;
y2
Mxb
yi
NX2,
①一②得
,线段MN的中点Rx,y,则
X2XiX22yiy2yiy?
2x,
2y,
由题意知
X2
,则上式两端同除以XiX2,有Xi
X22yi
yiy2
X-IX2
将③④代入得
2y30.⑤
XiX2
丄代入⑤,得业上
2XiX2
丄,故所求直线方程为:
2x4y
将⑥代入椭圆方程
x22y22得6y26y
36
0符合题意,2x4y
30为所求.
将
2代入⑤得所求轨迹方程为:
4y
0.(椭圆内部分)
y丄代入⑤得所求轨迹方程为:
由①+②得
X2x;
4x2
2y2
2x
2y0.(椭圆内部分)
将⑧⑨代入⑦得:
再将yiy2
2xiX2,
⑧,
4x22x-|X2
⑦,
2yi
将③④平方并整理得
4y22yiy2,
4y2
2yiy2
XiX2代入⑩式得:
2x2
X-|X24y
丄i.
此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例8已知椭圆4x2y2i及直线yxm.
(i)当m为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为210,求直线的方程.
(1)把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21得4x2xm21,
即5x22mxm210.2m2
45
m1
16m2200,解得-
m
_5
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为
X1,
X2,由
2m
(1)得为X2,X1X2-
2m
J
2根据弦长公式得:
.112
4m
i
12、10.解得m0.方程为
y
X.
处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式;
解决弦长问题,一般应用弦长公式.
用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.
22
要使所作椭圆的长轴最短,
例9以椭圆—仝1的焦点为焦点,过直线丨:
xy90上一点M作椭圆,
123
z
0FlJC
点M应在何处?
并求出此时的椭圆方程.
椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
如图所示,椭圆-y1的焦点为F13,0,F23,0.
点F1关于直线丨:
xy90的对称点F的坐标为(一9,6),直线FF?
的方程为x2y30.
x2y30
解方程组y得交点M的坐标为(—5,4).此时MRMF2最小.
xy90
所求椭圆的长轴:
2a|MF1MF2|FF26J5,.••a3聶,又c3,
…bac
3.523236•因此,所求椭圆的方程为
互壬1
4536
例10已知方程—
1表示椭圆,求k的取值范围.
k50,
例11
由3k0,得3
k
5,且k4.
k53k,
•••满足条件的k的取值范围是
k5,且k
4.
本题易出现如下错解:
由
0,
得3k
5,故k的取值范围是3k5
由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
可设其方程为mx2ny21(m0,n
0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.
轨迹上的点的坐标为(x0,y0),然后根据题目要求,使x,y与x0,y0建立等式关系,
从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x,y的方程,
化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.
例14已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点F1作倾斜解为的直线交椭圆于A,
B两点,求弦AB的长.
可以利用弦长公式|AB訥k2|x1x2|V(1k2)[(x1x2)24x1x2]求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
AB<
1k2\x1x2J(1k2)[(x!
x2)24x1x2].因为a6,b3,所以c3/3.因为焦点在x轴上,
左焦点F(33,0),从而直线方程为y、3x9.
所以椭圆方程为-y1,
369
(法3)利用焦半径求解.
x2V2
例15椭圆——L1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,贝yON(O为坐标原点)的值为
259
A.4B.2C.8D.-
如图所示,设椭圆的另一个焦点为F2,由椭圆第一定义得
MF」|mF2|2a10,所以|mF2|10〔MF』1028,
又因为ON为MF/2的中位线,所以|on|-ImfJ4,故答案为A.
(1)椭圆定义:
平面内与两定点的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.
⑵椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即MF」|MF22a,禾U用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有
关距离.
x2y2
例16已知椭圆C:
-1,试确定m的取值范围,使得对于直线丨:
y4xm,椭圆C上有不同的两点
43
关于该直线对称.
若设椭圆上A,B两点关于直线I对称,则已知条件等价于:
(1)直线ABl;
(2)弦AB的中点M在I上.
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围.
(法1)设椭圆上A(xi,yj,B(X2,y2)两点关于直线I对称,直线AB与I交于M(x。
,y。
)点.
将式②代入式①得13x226mx169m2480
13
4
(法2)同解法1得出n
m,
•-X0
(
m)
113
1’
y0x0m
-(
3m,
即M点坐标为(m,3m)
44
点的椭圆方程.
¥
\!
.
W0
VI
则
以MN的中点为原点,MN所在直线为x轴建立直角坐标系,设P(x,y).
2,
cy1.
254
12a23b2
2,23
ab
1,
得
b2
15
3.
422
•••所求椭圆方程为坐y1
153
I的方程.
x2
例18已知P(4,2)是直线l被椭圆—
仝1所截得的线段的中点,求直线
9
本题考查直线与椭圆的位置关系问题•通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于x(或y)
的一兀一次方程,再由根与系数的关系,直接求出x1x2,x-|x2(或y1y2,y-iy2)的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.
方法一:
设所求直线方程为y2k(x4)•代入椭圆方程,整理得
(4k1)x8k(4k2)x4(4k2)360①
设直线与椭圆的交点为A(X1,yj,B(X2,y2),则人、x?
是①的两根,•洛x?
4k1
•••P(4,2)为AB中点,•
X1X2
4k(4k2)
2,
k—.•••所求直线方程为
x2y8
0.
方法二:
设直线与椭圆交点
A(X1,yj
B(X2,y2).•••
P(4,2)为AB中点,•x
X28,y1
y24.
又•••A,B在椭圆上,•
X14力
36,x224y22
36两式相减得(X1X2)
4(y1y2)
0,
即&
1X2)(X1X2)4(y1
y2)(y1
y2)0.•」
y2(X1X2)1.•直线方程为X
2y80
X1
X24(y1y2)2
设所求直线与椭圆的一个交点为
A(x,y),另
个交点B(8x,4y).
•••A、B在椭圆上,•x24y236①。
(8x)24(4y)236②
从而A,B在方程①—②的图形x2y80上,而过A、B的直线只有一条,.••直线方程为x2y80.
直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.
若已知焦点是(3-、3,0)、(3.3,0)的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆方程?
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- 椭圆 经典 解题 思路