导数的应用含答案Word格式.docx
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万元)与年产量x(单位:
万件)的函数关系式为y=-
x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ).
A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件
解析 因为y′=-x2+81,所以当x>9时,y′<0;
当x∈(0,9)时,y′>0,所以函数y=-
x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点,又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.
答案 C
2.(2012·
青岛质检)若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( ).
A.(-2,2)B.[-2,2]
C.(-∞,-1)D.(1,+∞)
解析 由于函数f(x)是连续的,故只需要两个极值异号即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,则x=±
1,只需f(-1)·
f
(1)<0.即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).
答案 A
3.从边长为10cm×
16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( ).
A.12cm3B.72cm3C.144cm3D.160cm3
解析 设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm.
则y=(10-2x)(16-2x)x(0<x<5)=4x3-52x2+160x,
∴y′=12x2-104x+160.令y′=0,得x=2或
(舍去),
∴ymax=6×
12×
2=144(cm)3.
4.若f(x)=
,0<a<b<e,则有( ).
A.f(a)>f(b)B.f(a)=f(b)
C.f(a)<f(b)D.f(a)·
f(b)>1
解析 f′(x)=-
lnx+
=
(1-lnx).
∴在(0,e)上f′(x)>0.
∴f(x)在(0,e)上是增函数.
5.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为________.
解析 f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f′(x)=0有两个不等的实根,
故Δ=(6a)2-4×
3×
3(a+2)>0,
即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.
答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)
考向一 运用导数解决恒成立及求参数范围问题
【例1】►(2011·
郑州联考)已知函数f(x)=lnx-
.
(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为
,求a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
[审题视点]
(1)求导数f′(x)→判断f′(x)>0或f′(x)<0→确定单调性.
(2)根据单调性→求f(x)在[1,e]上的最小值→列方程求解.
(3)f(x)<x2→a>xlnx-x3→求xlnx-x3的最大值.
解
(1)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=
+
∵a>0,∴f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
(2)由
(1)可知,f′(x)=
①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f
(1)=-a=
,∴a=-
(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1-
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,
当1<x<-a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
当-a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=
综上所述,a=-
(3)∵f(x)<x2,∴lnx-
<x2.
又x>0,∴a>xlnx-x3.
令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,
h′(x)=
-6x=
∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴h(x)<h
(1)=-2<0,即g′(x)<0,
∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.
g(x)<g
(1)=-1,
∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.
(1)求函数的单调区间,直接求导,然后解不等式即可,注意函数的定义域;
(2)转化为函数在区间上的最小值问题,然后利用导数研究.
【训练1】设函数f(x)=
x2+ex-xex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
解
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
∵f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex),
若x<0,则1-ex>0,所以f′(x)<0;
若x>0,则1-ex<0,所以f′(x)<0;
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞).
(2)由
(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减.
∴[f(x)]min=f
(2)=2-e2,
∴m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立.
考向二 运用导数证明不等式问题
【例2】►设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:
当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
[审题视点]第
(2)问构造函数h(x)=ex-x2+2ax-1,利用函数的单调性解决.
(1)解 由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2,于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.
x
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
f′(x)
-
f(x)
单调递减
2(1-ln2+a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2],单调递增区间是[ln2,+∞),
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)证明 设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由
(1)知当a>ln2-1时,g′(x)的最小值为
g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),
都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数h(x)>0,其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口.
【训练2】已知函数f(x)=x2+lnx.
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=
x3+
x2的下方.
(1)解 ∵f(x)=x2+lnx,∴f′(x)=2x+
∵x>1时,f′(x)>0,故f(x)在[1,e]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f
(1)=1,最大值是f(e)=1+e2.
(2)证明 令F(x)=f(x)-g(x)=
x2-
x3+lnx,
则F′(x)=x-2x2+
∵x>1,∴F′(x)<0,∴F(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴F(x)<F
(1)=
=-
<0,即f(x)<g(x).
∴当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方.
考向三 运用导数解决生活中的优化问题
【例3】►现需要对泰山景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x万元之间满足:
y=
x-ax2-ln
,
∈[t,+∞),其中t为大于
的常数.当x=10时,y=9.2.
(1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范围;
(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值.
[审题视点]第
(1)问把x=10,y=9.2代入函数式,即可求出a的值,得到y=f(x);
第
(2)问求f(x)的最大值,需要先讨论y=f(x)的单调性,确定取得最大值的区间和对应的x值.
解
(1)∵当x=10时,y=9.2,
即
×
10-a×
102-ln1=9.2,解得a=
∴f(x)=
x-
-ln
∵
≥t且t>
,∴6<x≤
即投入x的取值范围是
(2)对f(x)求导,
得f′(x)=
令f′(x)=0,得x=50或x=1(舍去).
当x∈(6,50)时,f′(x)>0,且f(x)在(6,50]上连续,因此,f(x)在(6,50]上是增函数;
当x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,且f(x)在[50,+∞)上连续,因此,f(x)在[50,+∞)上是减函数.
∴x=50为极大值点.
当
≥50,即t∈
时,
投入50万元改造时取得最大增加值;
当6<
<50,即t∈
投入
万元改造时取得最大增加值.
函数是具体的,其单调性和最值都很明确,定义域是变化的,这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内.
【训练3】(2011·
苏北四市二调)据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=xkm.
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,x=6时,y取得最小值,试求b的值.
解
(1)由题意知点C受A污染源污染指数为
,点C受B污染源污染指数为
,其中k为比例系数,且k>0.从而点C处的污染指数y=
(0<x<18).
(2)因为a=1,所以y=
y′=k
,令y′=0,得x=
又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意,
所以,污染源B的污染强度b的值为8.
难点突破8——有关导数热点问题的求解策略
导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势,特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化的问题方面.近年,各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查,既有考查导数的小题,又有考查导数综合应用的大题.这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线.
一、研究函数性质的导数问题
导数是研究函数问题的有力工具,常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.
【示例】►(2011·
陕西)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)讨论g(x)与g
的大小关系;
(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<
对任意x>0成立.
二、研究曲线的切线的导数问题
导数的几何意义是我们解决有关直线与曲线相切的问题以及切线的斜率问题的有力武器,它使得复杂的图象关系问题转化为简单的函数问题、因而常常与导函数在切点的函数值一起作为列出方程的重要依据.
辽宁)设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a、b的值;
(2)证明:
f(x)≤2x-2.
三、解决实际问题的导数问题
对于实际问题中的一些优化问题,如成本最低、利润最大、用料最省等问题,常常需要将实际问题抽象为数学问题,然后化为函数的最值来解决,而求解函数最值最有效的方法是导数法,因此,导数被广泛地应用于实际生活中的一些优化问题的求解过程,成为求解这些优化问题的首选.
【示例】►如图所示,一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比,与它的厚度d的平方成正比,与它的长度l的平方成反比.
(1)将此枕木翻转90°
(即宽度变为了厚度),枕木的安全负荷会变大吗?
为什么?
(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材,用它截取成横截面为长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大?
关键词:
安全负荷与它的宽度a成正比,与它的厚度d的平方成正比,与它的长度l的平方成反比
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