线线垂直线面垂直面面垂直的习题及答案.doc
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线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案
1.在四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.
(第1题)
(1)求证:
BC⊥AD;
2如图,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
(1)求证:
AB⊥BC;
3.如图,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,PA⊥底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB.
(1)求证:
平面PCE⊥平面PCD;
(2)求点A到平面PCE的距离.
4.如图2-4-2所示,三棱锥S—ABC中,SB=AB,SC=AC,作AD⊥BC于D,SH⊥AD于H,求证:
SH⊥平面ABC.
5.如图所示,已知Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:
SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:
BD⊥平面SAC.
6.证明:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
7.如图所示,直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=1,,侧棱,侧面的两条对角线交点为D,的中点为M.
求证:
CD⊥平面BDM.
8.在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:
AH⊥平面BCD.
9.如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:
平面ABC⊥平面BSC.
10.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连结ED,EC,EB和DB.
(1)求证:
平面EDB⊥平面EBC;
(2)求二面角E-DB-C的正切值.
11:
已知直线PA垂直于圆O所在的平面,A为垂足,AB为圆O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。
求证:
平面PAC^平面PBC。
12..如图1-10-3所示,过点S引三条不共面的直线,使∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,若截取SA=SB=SC.
求证:
平面ABC⊥平面BSC
13.如图1-10-5所示,在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=BC=CD=AC=a.求证:
平面ABD⊥平面BCD.
14.如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M是AE的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
15.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)求证:
MN⊥CD;(3)若∠PDA=45°,求证:
MN⊥平面PCD.
16.如图1,在正方体中,为的中点,AC交BD于点O,求证:
平面MBD
答案与提示:
1.证明:
(1)取BC中点O,连结AO,DO.
∵△ABC,△BCD都是边长为4的正三角形,
∴AO⊥BC,DO⊥BC,且AO∩DO=O,
∴BC⊥平面AOD.又AD平面AOD,
∴BC⊥AD.
2.【证明】作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC.平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影为SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.
3.【证明】PA⊥平面ABCD,AD是PD在底面上的射影,
又∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD,∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角,
∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取Rt△PAD斜边PD的中点F,则AF⊥PD,∵AF面PAD∴CD⊥AF,
又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD,取PC的中点G,连GF、AG、EG,则GFCD又AECD,
∴GFAE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG,∴EG⊥平面PDC又EG平面PEC,
∴平面PEC⊥平面PCD.
(2)【解】由
(1)知AF∥平面PEC,平面PCD⊥平面PEC,过F作FH⊥PC于H,则FH⊥平面PEC
∴FH为F到平面PEC的距离,即为A到平面PEC的距离.在△PFH与△PCD中,∠P为公共角,
而∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD.∴,设AD=2,∴PF=,PC=,
∴FH=∴A到平面PEC的距离为.
4.【证明】取SA的中点E,连接EC,EB.
∵SB=AB,SC=AC,
∴SA⊥BE,SA⊥CE.
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE
5.证明:
(1)因为SA=SC,D为AC的中点,
所以SD⊥AC.
连接BD. 在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,
所以△SDB≌△SDA, 所以∠SDB=∠SDA, 所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D, 所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D是AC的中点, 所以BD⊥AC.
又由
(1)知SD⊥BD, 所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,
所以BD⊥平面SAC.
6.
证明:
连结AC
AC为A1C在平面AC上的射影
7.证明:
如右图,连接、、,则.
∵,∴为等腰三角形.
又知D为其底边的中点, ∴.
∵,, ∴.
又,∴. ∵为直角三角形,D为的中点, ∴,.
又,, ∴.
.即CD⊥DM.
∵、为平面BDM内两条相交直线, ∴CD⊥平面BDM.
8.证明:
取AB的中点F,连结CF,DF.
∵,∴.
∵,∴.
又,∴平面CDF.
∵平面CDF,∴.
又,,
∴平面ABE,.
∵,,,
∴平面BCD.
9.证明:
如图,已知PA=PB=PC=a,
由∠APB=∠APC=60°,△PAC,△PAB为正三角形,
则有:
PA=PB=PC=AB=AC=a,
取BC中点为E
直角△BPC中,,,
由AB=AC,AE⊥BC,
直角△ABE中,,,,
在△PEA中,,,
∴,
平面ABC⊥平面BPC
.
10.证明:
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.∴△DD1E为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴,即DE⊥EC.
在长方体ABCD-中,BC⊥平面,又DE平面,
∴BC⊥DE.又,∴DE⊥平面EBC.∵平面DEB过DE,∴平面DEB⊥平面EBC.
(2)解:
如图,过E在平面中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD-中,∵面ABCD⊥面,∴EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F,连结EF,∴EF⊥BD.∠EFO为二面角E-DB-C的平面角.利用平面几何知识可得OF=,(第10题)
又OE=1,所以,tanEFO=.
11.
(1)【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点,AB是圆O的直径
∴BC⊥AC;
又PA⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴BC⊥PA,从而BC⊥平面PAC.
∵BC平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC.
.
12.证明:
如图1-10-4所示,取BC的中点D,连接AD,SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形,则AB=AC,
∴AD⊥BC,SD⊥BC.
令SA=a,在△SBC中,SD=a,
又AD==a,
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又∵AD⊥BC,∴AD⊥平面SBC.
∵AD平面ABC,
∴平面ABC⊥平面SBC.
13.证明:
取BD的中点E,连接AE,CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.
在△ABD中,AB=a,BE=BD=,
∴AE=,同理,CE=.
在△AEC中,AE=EC=,AC=a,
∴AC2=AE2+EC2,即AE⊥EC.
∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.
又∵AE平面ABD,
∴平面ABD⊥平面BCD
14.证明:
(
(1)取EC的中点F,连接DF.
∵CE⊥平面ABC,
∴CE⊥BC.易知DF∥BC,CE⊥DF.
∵BD∥CE,∴BD⊥平面ABC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,
∵,,
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE=AD.
(2)取AC的中点N,连接MN、BN,MNCF.
∵BDCF,∴MNBD.N平面BDM.
∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.
又∵BN平面MNBD,∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵DM∥BN,BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA.
又∵DM平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA.
15.证明:
(1)取PD的中点E,连接AE、EN,
则,
故AMNE为平行四边形,∴MN∥AE.
∵AE平面PAD,MN平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)要证MN⊥CD,可证MN⊥AB.
由
(1)知,需证AE⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB.又AD⊥AB,
∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE.即AB⊥MN.
又CD∥AB,∴MN⊥CD.
(3)由
(2)知,MN⊥CD,即AE⊥CD,再证AE⊥PD即可.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.
又∠PDA=45°,E为PD的中点.
∴AE⊥PD,即MN⊥PD.
又MN⊥CD,
∴MN⊥平面PCD.
16.证明:
连结MO,,∵DB⊥,DB⊥AC,,
∴DB⊥平面,而平面∴DB⊥.
设正方体棱长为,则,.
在Rt△中,.∵,∴.∵OM∩DB=O,∴⊥平面MBD.
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