高一数学不等式证明经典例题Word格式文档下载.docx
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解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快.
典型例题二
例2设ab0,求证:
aabbabba.
分析:
发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比
b
又∵ab
值与1的大小关系,从而证明不等式.
证明:
ab
ababbaaabbaab()
abb
0,∴
1,a
b0
aab
abb
()ab
1.
ba
0,
本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步
骤是:
判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
典型例题三
ab4
(a2b)4(当且仅当ab时取等号)
)4,
分析这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有(a2b
此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解.
典型例题四
例4已知a、b、cR,abc1,求证11ab
杂而不易得到证明.由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的
形式,比如,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”
的技巧.
∵abc1
111abcabcabc
abcabc
(1baac)(ba1cb)(cacb1)
aabbcc
bacacb
3(ba)(ca)(cb)
abacbc
∵baab
111∴32229.
abc
此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的目的.
典型例题五
此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程
证明一:
(分析法书写过程)
111
为了证明>
0
abbcca
111
只需要证明>
abbcac
∵abc
∴acab0,bc0
∴1
11
>
0成立bcca
证明二:
综合法书写过程)
∵abc∴acab0,bc0
abac
学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合应用时,应用语言叙述清楚.
典型例题六
例6若a0,b0,且2cab,求证:
cc2abacc2ab.
分析这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有严格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条件或某些定理等).
为要证cc2abacc2ab.
只需证c2abacc2ab,
即证acc2ab,
22
也就是(ac)2c2ab,
即证a22acab,
即证2aca(ab),
∵a0,2cab,b0,
ab22
∴cab,故c2ab即有c2ab0,
又由2cab可得2aca(ab)成立,
∴所求不等式cc2abacc2ab成立.
此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注
意在书写时,分析法的书写过程应该是:
“欲证⋯⋯需证⋯⋯”,综合法的书写过程是:
“因为
(∵)⋯⋯所以(∴)⋯⋯”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.
典型例题七
33例7若a3b32,求证ab2.
本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.
证法一:
假设ab2,则a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2),
3322而a3b32,故(a2abb2)1.
2a
b2
2ab.
从而ab
1,
2.
(a
b)2
2ab
22ab
4
这与假设矛盾,故ab2.
证法二:
假设ab2,则a2b,
故2a3b3(2b)3b3,即2812b6b2,即(b1)20,
这不可能.从而ab2.
证法三:
假设ab2,则(ab)3a3b33ab(ab)8.
由a3b32,得3ab(ab)6,故ab(ab)2.
又a3b3(ab)(a2abb2)2,
∴ab(ab)(ab)(a2abb2).
∴a2abb2ab,即(ab)20.
这不可能,故ab2.
本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾.
一般说来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结
论肯定“过头”时,都可以考虑用反证法.
典型例题八
例8设x、y为正数,求证x2y23x3y3.
用综合法证明比较困难,可试用分析法.
要证x2y23x3y3,只需证(x2y2)3(x3y3)2,
即证x63x4y2
2466333xyyx2xy
6
y,
化简得3x4y2
3x
2433222y2xy,xy(3x
2xy3y2)0
∵4y24
3
3y20,
∴3x2xy
3y2
0.
222∴xy(3x
2xy
3y2)0.
∴原不等式成立.
33
1.本题证明易出现以下错误证法:
x2y22xy,3x3y32x2y2,然
后分
(1)xy1;
(2)xy1;
(3)x1且0y1;
(4)y1且0x1来讨论,结果无效.
2.用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是AB,前一步是后一步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.
典型例题九
例9已知1x2y22,求证1x2xyy23.
联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明.
x
by21时,均可用三角代换.2.用换元法一定要注意新元的范围,否则所证不等式的
变量和取值的变化会影响其结果的正确性.
典型例题十
例10设n是正整数,求证
1分析:
要求一个n项分式
n1
1.
n1n22n
的范围,它的和又求不出来,可以采用“化n22n
整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.
由2n
n
k
n(k1,2,,n),得
2nnkn
当k
2n
1n
2时,
1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境.例如证明
2、放缩法一般包括:
用缩小分母,扩大分子,分式值增大;
缩小分子,扩大分母,分式值缩
小;
全量不少于部分;
每一次缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需小
于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩后便于求和.
典型例题十一
例11已知ab0,求证:
(ab)abab(ab).
8a28b
欲证不等式看起来较为“复杂”,宜将它化为较“简单”的形式,因而用分析法证
明较好.
欲证(ab)2a
(ab)
8a
8b
只须证
(ab)2ab
2ab
b)2.
4a
4b.
即要证
2a
2b,
即要证ab2ab.ab
即要证1b2a1,即b1a.abab.
即要证1(*)
∵ab0,∴(*)显然成立,
2故(ab)ab8a2
证——只要证——即证——已知”的格式.
典型例题十二
888233233233
例12如果x,y,zR,求证:
xyzxyzyzxzxy.
注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态,而右边却结合在一起,因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同),由(ab)(bc)2(ca)0,易得a2b2c2abbcca,此式的外形特征符合要求,因此,我们用如下的结合法证明.
888424242
∵x8y8z8(x)2(y4)2(z4)2
444444
xyyxzx
222222222
(xy)(yz)(zx)
8∴x
y8z8x2y3z3y2z3x3z2x3y3.
x2y3z3y2z3x3z2x3y3
分析时也可以认为是连续应用基本不等式
a2b22ab而得到的.左右两边都是
显然其证明过程仍然可套用原题的思路,但比原题要难,因为发现思路还要有一个转化的过程.
典型例题十三
例13
已知0a1,0b1,0c1,求证:
在(1a)b,(1b)c,(1c)a三数中,不
可能都大于
4.
此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则
c)a三数都大于,从这个结论出发,进一步去导出矛盾.
1证明:
假设(1a)b,(1b)c,(1c)a三数都大于,
4111即(1a)b,(1b)c,(1c)a.
444
又∵0a1,0b1,0c1,
1ca
∴(1a)b(1b)c(1c)a①
以上三式相加,即得:
(1a)b(1b)c(1c)a2②显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.
一般情况下,如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样,通常情况下要用反证法,反证法的关键在于“归谬”,同时,在反证法的证明过程中,也贯穿了分析法和综合法的解题思想.
典型例题十四
例14已知a、b、c都是正数,求证:
2abab3abc3abc.
23
用分析法去找一找证题的突破口.要证原不等式,只需证2abc33abc,即只需证c2ab33abc.把2ab变为abab,问题就解决了.或有分析法的途径,也很容易用综合法的形式写出证明过程.
要证2
ab3abc
3abc,
只需证ab2aba
bc33abc,
即2abc33abc,
移项,得c2ab
33abc.
由a、b、c为正数,得
c2abcab
ab33abc
证法二
:
∵a
、b、c为正数,
c
ab33cabab
即c
33abc,故2ab
c33abc
ab2ababc33abc,
2abab3abc3abc.
题中给出的,ab,,abc,只因为a、b、c都是正数,形式
同算术平均数与几何平均数定理一样,不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证,
问题就不好解决了.
原不等式中是用“不大于”连结,应该知道取等号的条件,本题当且仅当cab时取“=”
号.证明不等式不论采用何种方法,仅仅是一个手段或形式问题,我们必须掌握证题的关键.本
题的关键是证明c2ab33abc.
典型例题十五
例15已知a0,b0,且ab1.求证:
0(aa
yrsin,且r1.
典型例题十六
例16已知x是不等于1的正数,n是正整数,求证(1xn)(1x)n2n1xn.
从求证的不等式看,左边是两项式的积,且各项均为正,右边有2的因子,因此可考虑使用均值不等式.
∵x是不等于1的正数,
∴1x2x0,
∴(1x)n2nxn.①
又1xn2xn0.②
将式①,②两边分别相乘得
(1xn)(1x)n2xn2nxn,
∴(1xn)(1x)n2n1xn.
本题看起来很复杂,但根据题中特点,选择综合法求证非常顺利.由特点选方法是解题的关键,这里因为x1,所以等号不成立,又因为①,②两个不等式两边均为正,所以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题.
典型例题十七
例17已知,x,y,zR,且xyz1,求证xyz3.
从本题结构和特点看,使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试,待思路清晰后,再决定证题方法.
要证xyz3,
只需证xyz2(xyxzyz)3,
只需证xyxzyz1.
∵x,y,zR,
∴xy2xy,xz2xz,yz2yz,
∴2(xyz)2(xyxzyz),
∴xyxzyz1成立.
∴xyz3.
此题若一味地用分析法去做,难以得到结果.在题中得到只需证xyxzyz1后,思路已较清晰,这时改用综合法,是一种好的做法.通过此例可以看出,用分析法寻求不等式的证明途径时,有时还要与比较法、综合法等结合运用,决不可把某种方法看成是孤立的.
典型例题十八
例18求证12222.
2232n2
此题的难度在于,所求证不等式的左端有多项和且难以合并,右边只有一项.注
意到这是一个严格不等式,为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律,这只需从12下
n手考查即可.
∵
(n2),
n2n
nn(n1)
n1n
1111
∴122
21
2232
n2
1223
此题证明过程并不复杂,但思路难寻.本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法,即放缩法.这类题目灵活多样,需要巧妙变形,问题才能化隐为显,这里变形的
这一步极为关键.
典型例题十九
例19在
ABC中,角A、B、
C的对边分别为a,b,c,若AC2B,求证
4c
2b4.
因为涉及到三角形的边角关系,
故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.
∵A
C
B
2B,∴B
,cosB.
32
由余弦定理得b2
c22accosBa2c2ac
∴a
bac,
4∴a
(a2
c2)2
2ac
=
2c
2ac)(a2
c2ac)
[b2
(2
1)ac][b2
(21)ac]
b4
2ac
222bac
(ac
2b42b4
说明
三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理,另外还有面积公式
a4
2absinC.本题应用知识较为丰富,变形较多.这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结,证明不等式的能力和直觉需要长期培养.
,∴0sin1,即0(a)(b2aa
换元的思想随处可见,这里用的是三角代换法,这种代换如能将其几何意义挖掘出来,对代换实质的认识将会深刻得多,常用的换元法有:
(1)若x1,可设xsin,R;
2222
(2)若x2y21,可设xcos,ysin,R;
(3)若x2y21,可设xrcos
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