第一章命题逻辑Word格式文档下载.docx
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是要么真要么假,故是命题
(8)我正在说谎;
无法得知其真假,这是悖论
注意到(4)不是命题,后续章节中会提到,这被称为谓词,命题函数或命题变项。
B)命题的真值表示:
真:
1或T
假:
0或F
C)分类:
a简单命题,通常用p,q,r,…,等表示命题变项和命题常项;
b复合命题,由简单命题和联结词构成;
简单命题可以简单地用单个字母表示,但复合命题还包含了联结词,多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。
所以还需要考虑联结词的问题。
二逻辑联结词
首先最为简单的一种情况,就是日常语言中所说的“不”,这是对原有意思的的否定,所以称为否定式
1)否定式和否定联结词:
命题p的非或否定,称为p的否定式,表示为⌝p;
符号⌝即为否定联结词。
用表格表示:
p
⌝p
T
F
严格说,
不是复合命题。
示例:
p:
今天天气好;
⌝p:
今天天气不好
2+5>
1;
⌝p:
2+5≤1;
在此情形下,p为真,⌝p为假。
问题:
北京和上海都是中国的直辖市。
显然这个句子可分成两个句子,中间由“和”、“且”之类的联结词联结。
这类的联结词我们统称为“合取”。
2)合取式和合取联结词
且
称为
的合取式,记为
;
符号∧即为合取联结词。
q
p∧q
逻辑“与”。
相应的日常用语还有一些。
“既…又…”,“不但(仅)…而且…”,“虽然…但是…”。
1)p:
今天大太阳,q:
今天热,p∧q:
今天大太阳且热;
2)p:
今天上课有人迟到,q:
2+5>
1,p∧q:
今天上课有人迟到且2+5>
1;
3)p:
李平聪明,q:
李平用功,p∧⌝q:
李平虽然聪明,但不用功;
注意到2)中的结果,我们可以用逻辑联结词来联结两个日常生活中无关的命题。
另外也要注意日常语言中的“和”,不一定都能用∧表示。
“新闻和报纸不分家”,“我和你是同学”。
“或”也是非常常用的联结词。
(1)文文或华华今天出差。
(2)他今天骑车或走路来上课。
(1)一般情况下两个人可能同时去出差,即可以同时为真,是相容的,所以是“相容或”。
相容或
(2)在这两种情况下,或者发生一种,或者都不发生(如他今天是乘公共车来上课的),但不可能二者同时发生,即不可能二者同时为真,所以是“相斥或”。
在自然语言中类似的“相斥或”是很多的,又如“刘苘或李兰是三班班长”。
相斥或
我们可以看到在日常语言中,“或”具有多义性,但我们用符号表示时,却必须避免这种歧义性。
通常把相容或称为“析取”,而相斥或则称为“异或”。
3)析取式和析取联结词
p或者q称为p,q的析取式,记为p∨q;
符号∨即为析取联结词。
p∨q
逻辑“或”
“如果…则…”也是一类常见的联结词。
这是有条件和结论的一类,称为“条件式”,也称为“蕴涵式”。
4)蕴涵式和蕴涵联结词
如果
则
称作
、
的蕴涵式,记为
。
→为蕴涵联结词,
分别为蕴涵式的前件和后件。
示例:
一位父亲对儿子说:
“如果星期天天气好,就一定带你去动物园。
”问:
在什么情况下父亲食言?
父亲的可能情况有如下四种:
(1)星期天天气好,带儿子去了动物园;
(2)星期天天气好,却没带儿子去动物园;
(3)星期天天气不好,却带儿子去了动物园;
(4)星期天天气不好,也没带儿子去动物园。
显然,
(1),(4)两种情况父亲都没有食言;
(3)这种情况和父亲原来的话没有相抵触的地方,当然也不算食言;
只有
(2)这种情况,答应的事却没有做,应该算是食言了。
(2)对应着“前件真后件假”的情况,使得蕴涵式为假,而其它三种情况都使得蕴涵式为真。
p→q
这里注意到:
在蕴涵式p→q中,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
这类的联结词还有:
p→q:
“只要p就q”,“p仅当q”,“只有q才p”等
蕴涵式的一个应用:
数学归纳法
(1)证明P(n0)成立;
(2)证明当k≥n0时P(k)→P(k+1)总是成立。
在
(2)中,P(k)→P(k+1)总是成立,意味着P(k)→P(k+1)的真值为T,从而只可能是上述表中的第1,2,4种情形,而
(1)中证明了前件为真,所以后件也一定为真。
前面讲述描述了充分条件或必要条件的表示,现在我们可以表示充要条件了:
“p是q的充要条件”,“p是q的充分条件”且“p是q的必要条件”,可以用蕴涵和合取两者描述。
p→q∧q→p
这个表达式较为复杂,所以用一个联结词“等价”简单表示。
自然语言中通常表述为“当且仅当”
5)等价式和等价联结词
当且仅当
的等价式,记为
↔称为等价联结词。
以上介绍了五种常用的逻辑联结词以及与之相关的复合命题。
这些联结词反映了复合命题及其支命题之间抽象的逻辑关系。
复合命题的符号化一般可以根据上述定义进行,基本步骤如下:
符号化基本步骤:
1)找出各个支命题,并逐个符号化;
2)找出各个连接词,符号成相应联结词;
3)用联结词将各支命题逐个联结起来;
将下列命题符号化:
(1)辱骂和恐吓决不是战斗;
(2)李瑞和李珊是姐妹;
(3)除非天气好,否则我是不会去公园的;
(5)李明是计算机系的学生,他住在312室或313室.
分析并符号化,强调在进行命题符号化以前,必须明确含义,删除歧义,这是命题翻译的关键之点。
(1)p:
辱骂是战斗;
q:
恐吓是战斗。
符号化为⌝p∧⌝q。
(2)p:
李瑞和李珊是姐妹。
符号化为p。
(3)p:
我去公园。
符号化为q→p。
(4)p:
李明是计算机系的学生;
李明住在312室;
r:
李明住在313室。
因为李明不可能既住在312室又住在313室,符号化为p∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))或者p∧(q∨r)
最后,复习一下本节所讲述的内容。
作业:
1.2命题公式和真值赋值
[教学重点]合式公式及层次,解释的含义,真值表的构成。
使学生了解合式公式和公式层次的定义,理解递归定义法的方法。
学会描述公式的形成过程。
理解解释的含义,领会公式分类的要点。
4:
使学生了解并学会应用真值表的构成方法。
5:
复习并进一步理解命题逻辑的基本概念。
复习并示例:
判断是否式命题,如果是,则符号化。
1)922+97+1;
2)x+5>
6
3)理发师只给所有那些不给自己理发的人理发;
(罗素悖论)
4)李兰现在在宿舍或在图书馆里;
5)蓝色和黄色可以调配成绿色;
6)如果晚上小王做完了做业并且没有其他事情,他就看电视或看电影。
问题:
在6)中获得一个长串的字符串,这里当然表示了一个命题,但是不是任何一个字符串能表示一个命题呢?
或者称为命题公式呢?
抽象地说,命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串,但并不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式。
板书
1.2合式公式及其解释
首先自然先要了解什么公式。
一合式公式
1)合式公式:
(1)p,q,r,…,1,0是合式公式;
(2)如果A是合式公式,则⌝A也是;
(3)如果A和B是合式公式,则⌝p、p∧q、p∨q、p→q、p↔q也是;
(4)有限次应用
(1)-(3)构成的符号串才是合式公式。
上述定义方法称为递归定义法(递归就是一个过程直接或间接地调用自己),递归法定义是离散数学中常用的方法。
其中,
(1)是递归定义的基础,直接规定简单的内容;
(2),(3)是递归定义的归纳,规定了是由简单到复杂的过程;
(4)是递归定义的界限,规定了满足前述
(1)~(3)条件的最小范围。
(递归算法在计算机中容易实现,如C语言中的汉诺塔、n的阶乘、求两个数的最小公约数就是用递归的方法实现的)
递归定义法:
递归基础、递归归纳、递归界限
讲述
在一个复杂的公式中,为了避免歧义需要引进许多的括号,但如果括号太多会使人眼花缭乱,如((p∧(q∨r))→((p∨q)∧(r∨s))),共有6对括号,书写简单,可以省略括号
省略括号的约定:
(1)公式最外层的括号可以省略;
(2)规定联结词的运算优先级别由高到低是:
⌝、∧、∨、→、↔,若无括号,优先级高的先运算;
(3)若同一个联结词连续多次出现且无括号,则按从左到右的顺序运算。
按照上述约定,((p∧(q∨r))→((p∨q)∧(r∨s)))省略了三对括号简化为p∧(q∨r)→(p∨q)∧(r∨s)。
省略括号只是让公式书写简便,但并不能改变其复杂性。
示例
(1)(((p→q)∧(q→r))→(p∨r))
p、q是公式,(p→q)是公式;
q、r是公式,(q→r)是公式;
((p→q)∧(q→r))是公式;
p、r是公式,(p∨r)是公式;
(((p→q)∧(q→r))→(p∨r))是公式。
这样一个命题公式的形成过程简单表述为:
p,q,(p→q);
q,r,(q→r);
((p→q)∧(q→r));
p,r,(p∨r);
(((p→q)∧(q→r))→(p∨r))。
(2)((p∧q)→qr)
p,q,(p∧q);
q,r,qr不是;
((p∧q)→qr)不是。
显然,有些公式的字符串很长,有些很短,甚至只有单个字母,这样公式的复杂性必然有所不同,为了描述这种复杂性,引入公式层次来描述。
二合式公式的层次:
(1)如果A是单个命题常项或命题变项p,q,r,s,…,0,1,则称A是0层公式;
(2)称A是n+1(n≥0)层公式,是指A符合下列情况之一:
(a)A=⌝B,B是n层公式;
(b)A=(B∧C),其中B、C分别是i层和j层公式,且n=max(i,j);
(c)A=(B∨C),其中B、C的层次同(b);
(d)A=(B→C),其中B、C的层次同(b);
(e)A=(B↔C),其中B、C的层次同(b);
(1)(p→q)∨(r∧(p∨s))
(2)⌝q⌝(p∨s)
(1)p,s是0层公式,p∨s是1层公式;
r是0层公式,r∧(p∨s)是2层公式;
p,q是0层公式,但p→q是1层公式;
(p→q)∨(r∧(p∨s))是3层公式。
公式层次是3。
(2)q是0层公式,⌝q是1层公式;
p,s是0层公式,p∨s是1层公式;
⌝(p∨s)是2层公式;
但⌝q⌝(p∨s)不是公式。
一般来说,一个含有命题变项的命题公式,其真值是不确定的。
只有给其每个命题变项都指定确定的真值,命题公式才会有确定的真值。
给定一个真值,就是给命题变项一个赋值,相当于给定一个日常语言中某个具体的句子,即给定一个解释。
三真值赋值
令A是一命题公式,p1,p2,…pn是出现在A中的所有命题变项,给p1,p2,…pn指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。
成真赋值:
若指定的一组值使得A的值为真,称这组值为A的成真赋值;
成假赋值:
若指定的一组值使得A的值为假,称这组值为A的成假赋值。
一个含有n个命题变项的命题公式,共有2n个赋值。
例已知A是含命题变项p,q,r的命题公式,其成真赋值为000,010,101,求⌝A的成真赋值和成假赋值。
⌝A的成真赋值为:
001,011,100,110,111;
成假赋值为:
000,010,101。
例已知A、B是含命题变项p,q,r的命题公式,A成真赋值为000,011,111,B成真赋值为000,010,100,求A→B、A↔B的成真赋值。
A→B:
000,001,010,100,101,110,111
A↔B:
000,001,101,110
上面是用具体的真值来指定,如果用另外的命题公式来指定,这时再不能称为赋值了,这称为替换。
替换实例:
用命题形式B1,B2,…Bn分别替换命题形式A中的命题变项p1,p2,…pn得到的新的命题形式。
例如,p→(⌝p→q),以p→q替换p,以r替换q,则得到原式的一个替换实例为(p→q)→(⌝(p→q)→r)。
我们知道一个公式有多个赋值,一般来说既有成真赋值,又有成假赋值,但完全可能只有成真赋值,或全是成假赋值,
根据这种不同,我们将公式分成不同类型。
命题公式的分类:
重言式:
值总是为真的命题公式。
如果一个蕴涵式A→B是重言式,则记作A⇒B,表示由A可推导出B;
同样如果一个等价式A↔B是重言式,则记作A⇔B,表示A和B等值。
注意:
⇒和⇔不是逻辑联结词,它们表示的分别是逻辑推理和逻辑等值运算,下面的章节将分别讨论。
矛盾式:
值总是为假的命题公式。
可满足式:
至少存在一组赋值是成真赋值的命题公式。
从定义看来,重言式也是可满足式,不过还是将命题公式分成三类:
重言式、矛盾式、可满足式。
这种分类主要是为了体现重言式的重要性,实际上在命题逻辑中公理、定理都是重言式,在自然推理的过程中,一个正确的推理也必须是重言式。
设A是命题公式,则
(1)若A是重言式,则A的任何替换实例都是重言式;
(2)若A是矛盾式,则A的任何替换实例都是矛盾式;
例合式公式(p∧q)∨⌝(p∧q)、(p∧q→r)∨⌝(p∧q→r)都是p∨⌝p的一个替换实例,而p∨⌝p是重言式,所以它们也是重言式。
四真值表
1)定义:
将命题公式A在所有赋值之下取值的情况列成表,称为A的真值表
所有命题变项取一组值,即是命题公式的一个赋值,所以真值表包含了所有赋值情况下的公式所取得的值。
而一个赋值使得公式为真,就称为成真赋值,为假就是成假赋值,所以从真值表可以直接获得一个命题公式的成真赋值、成假赋值。
2)构造方法:
找出给定命题公式中的所有命题变项,列出所有可能的取值:
r
由低到高列出命题公式的各层次;
计算各层次的的值,直至最后计算命题公式的值。
例1.16构造合式公式(p∨(p∧q))→⌝(p∨q)的真值表:
真值表:
pq
p∨(p∧q)
⌝(p∨q)
(p∨(p∧q))→⌝(p∨q)
00
1
01
10
11
上述真值表的构成方法中,如果公式层次比较高,则表的宽度将变得很宽,甚至无法写下,因此可采用另一种形式,
按照公式形成过程,标出各层对应的联结词所对应的真值;
直至最后计算命题公式的值。
(p
∨
(p∧q))
→
⌝
(p∨q)
步骤
②
①
③
1.3等值演算&
1.4联结词全功能集
[教学重点]等值关系及演算的规则
使学生了解等值演算是逻辑理论的一个基本内容。
理解等值关系的含义,并理解等值式模式及其重要性。
理解并熟记等值演算的规则
4:
理解全功能集的含义并应用。
[课时安排]二课时
前面已经提到,等价式A↔B为重言式,记为A⇔B,称为等值关系。
并提到这是逻辑理论的一个基本内容。
本节将主要讨论等值关系的有关内容,阐述等值演算的各种规则,然后再谈谈联结词的有关问题。
1.3等值演算
给定n个命题变项,按合式公式的形成规则可以形成无数多个命题公式。
但这些无穷尽的命题公式中,有些具有相同的真值表。
例如:
n=2时,p→q与⌝p∨q的真值表相同。
事实上,对于n个命题变项,可能的赋值有2n个。
对于每个赋值,真值函数的取值又有真、假两种可能。
因此,对于n个命题变项来说,只能生成
个真值不同的命题公式。
真值函数:
一个n元真值函数是指一个n(n≥1)维卡氏积{0,1}n到{0,1}的函数,记为F:
{0,1}n→{0,1},(n≥1),即此函数以n个命题变项为变元,其定义域和值域均由真、假两值构成。
n=1,有四个一元真值函数,n=2时有16个,如下图:
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A13可取的命题公式有p→q、⌝p∨q、⌝(p∧⌝q)等,它们的真值相同,我们说这些公式是等值的。
一等值关系
1概念:
设A、B为两命题公式,若等价式A↔B为重言式,记为A⇔B。
例如:
p→q⇔⌝p∨q⇔⌝(p∧⌝q)
两个命题公式是否等值可以通过真值表来判断或验证。
下面给出一些常用的等值式,其中很多正是通常所说的的布尔代数或逻辑代数的主要组成部分。
2各种等值关系模式:
(只列出部分)
(1)双重否定律:
A⇔⌝⌝A
(2)等幂律:
(2a)A⇔(A∧A)(2b)A⇔(A∨A)
(3)交换律:
(3a)(A∧B)⇔(B∧A)(3b)(A∨B)⇔(B∨A)
(4)结合律:
(4a)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)(4b)(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)
(5)分配律:
(5a)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)(5b)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)
(6)德∙摩根律:
(6a)⌝(A∧B)⇔(⌝B∨⌝A)(6b)⌝(A∨B)⇔(⌝B∧⌝A)
(7)吸收律:
(7a)(A∨(A∧B))⇔A(7b)(A∧(A∨B))⇔A
(7c)(A∨(⌝A∧B))⇔A∨B(7d)(A∧(⌝A∨B))⇔A∧B
(8)零律:
(8a)(A∨1)⇔1(8b)(A∧0)⇔0
(9)同一律:
(9a)(A∨0)⇔A(9b)(A∧1)⇔A
(10)排中律:
(A∨⌝A)⇔1
(11)矛盾式:
(A∧⌝A)⇔0
(12)蕴涵等值式:
(A→B)⇔(⌝A∨B)
(13)等价等值式:
(A↔B)⇔((A→B)∧(B→A))
(14)假言易位:
(A↔B)⇔(⌝B→⌝A)
(15)等价否定等值式:
(A↔B)⇔(⌝A↔⌝B)
(16)归谬律:
((A→B)∧(A→⌝B))⇔⌝A
根据已知的等值式,可以推演出另外许多的等值式,这种推演过程称为等值演算。
3等值演算
在等值演算时,除了要用到上面给出的等值式外,通常还用到一些重要的演算规则
(1)等值式模式
(2)重言式替换规则
(3)置换规则
置换规则:
设Φ(A)是含有命题公式A的命题公式,Φ(B)是用公式B置换Φ中的公式A(不一定是每一处)而得到的命题公式,如果A⇔B,则Φ(A)⇔Φ(B)。
示例等值演算
例证明A→B∨C⇔A∧⌝B→C
证明的方法当然可以用真值表方法,但是直接应用等值式及替换和置换规则通常会简单的多。
证明:
A→B∨C⇔⌝A∨(B∨C)蕴涵等值式
⇔(⌝A∨B)∨C结合律
⇔⌝(A∧⌝B)∨C德∙摩根律
⇔(A∧⌝B)→C置换规则和蕴涵等值式
逻辑等值演算不仅仅停留在符号级,总要用来解决实际问题,如简化语句,确定一些命题的真值等等,可以首先符号化命题,然后由已知条件列出这些命题应该满足的方程组,从而达到要求。
例化简语句:
“情况并非如此:
如果他不来,那么我也不去”。
解:
设p:
他来,q:
我去;
上述语句符号化为
⌝
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- 第一章 命题逻辑