轨迹方程的求法及典型例题含答案可编辑修改word版.docx
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轨迹方程的求法及典型例题含答案可编辑修改word版
轨迹方程的求法
一、知识复习
轨迹方程的求法常见的有
(1)直接法;
(2)定义法;(3)待定系数法(4)参数法(5)交轨法;(6)相关点法
注意:
求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习
例1:
点P(-3,0)是圆x2+y2-6x-55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90
°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解:
设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:
在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=x+4,y
=y+0,
212
代入方程x2+y2-4x-10=0,得
(x+4)2+
2
(y)2
2
-4⋅
x+4
2
-10=0
整理得:
x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
例3、如图,直线L1和L2相交于点M,L1L2,点NL1.以A,B为端点的曲线段C上的
任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|AM|=
且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
17,|AN|=3,
解法一:
如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点。
依题意知:
曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),
其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=|MN|。
所以M(-p
2
0),N(p
2
0)
由|AM|=17,|AN|=3得
(xA+
p)2+2px
2A
=17
(1)
(xA
-p)2+2px=9
2A
(2)
4
⎧p=4⎧p=2
或
由①,②两式联立解得
xA=
⎨
。
再将其代入①式并由p>0解得⎩
A=1⎩A
p⎧p=2
因为△AMN是锐角三角形,所以2
∴p=4,xA=1
>
xA
⎨
,故舍去⎩
A=2
xB
由点B在曲线段C上,得
=|BN|-p=4
2。
综上得曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0)
解法二:
如图建立坐标系,分别以l1、l2为
轴,M为坐标原点。
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2垂足分别为E、D、F设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)
依题意有
xA=|ME|=DA|=|AN|=3
yA=|DM|==2
由于∆AMN为锐角三角形故有
xN=|ME|+|EN|
=|ME|+=4
xB=|BE|=|NB|=6
设点P(x,y)是曲线段C上任一点则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}
故曲线段C的方程
y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0)
例4、已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:
y=x,设长为的线段AB在直线上移动,
求直线PA和QB交点M的轨迹方程.
解:
PA和QB的交点M(x,y)随A、B的移动而变化,故可设A(t,t),B(t+1,t+1),则PA:
y-2=t-2(x+2)(t≠-2),QB:
y-2=t-1x(t≠-1).
t+2
消去t,得x2-y2+2x-2y+8=0.
t+1
当t=-2,或t=-1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是
x2-y2+2x-2x-2y+8=0.
例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,
求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
解法一:
设M(x,y),直线AB的方程为y=kx+b
由OM⊥AB,得k=-x
y
由y2=4px及y=kx+b,消去y,得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0
所以xx=b2,yy=4pb,
12k212k
由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2
所以4pk=-b2,b=-4kp
kk2
故y=kx+b=k(x-4p),
得x2+y2-4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),
它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.
⎧
⎪
⎪y2=4px
⎪11①
⎪y2=4px
⎪22②
解法二:
设A(x,y),B(x,y),M(x,y)依题意,有⎪y1⋅y2=-1
1122
⎨xx③
⎪12
⎪y⋅y1-y2=-1④
⎪
⎪x1
-
x2
⎪y1-y2=y-y1⑤|
⎪x-xx-x
①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4p(x1-x2)
⎩121
若x1≠x2,则有y1-y2=4p
⑥①×②,得y2·y2=16p2x1x2③代入上式
x1-x2y1+y2
有y1y2=-16p2⑦
⑥代入④,得
4py1+y2
=-x
y
⑧⑥代入⑤,得
4py1+y2
=y-y1=
x-x1
y-y1所以
y2
x-1
4p
4py1+y2
=4p(y-y1)4px-y2
1
112112
即4px-y2=y(y+y)-y2-yy⑦、⑧代入上式,得x2+y2-4px=0(x≠0)
当x1=x2时,AB⊥x轴,易得M(4p,0)仍满足方程.
故点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.
轨迹方程(练习1)
1.(08、ft东文22)已知曲线C:
|x|+|y|=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为
1ab
4,曲线C1的内切圆半径为,记C2为以曲线C1与坐
标轴的交点为顶点的椭圆.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦,L是线段AB的垂直平分线,M是L上异于椭圆中心的点.
①若|MO|=λ|OA|(O为坐标原点),当点A在椭圆C2上
运动时,求点M的轨迹方程;
②若M是L与椭圆C2的交点,求∆AMB的面积的最小值.
⎧2ab=4
解:
(1)由题意得⎪
=
⇒a2=5,b2=4
⎪
⎩3
⇒椭圆方程:
x2+y2=1.
54
(2)若AB所在的斜率存在且不为零,设
AB所在直线方程为y=kx(k≠0),A(xA,yA).
⎧x2y2
①由⎪54
1⇒x2=20,y2=
20k2
⎨
⎪⎩y=kx,
A4+5k2
A4+5k2
AA
⇒|OA|2=x2+y2=
20(1+k2).
4+5k2
设M(x,y),由|MO|=λ|OA|(λ≠0)⇒|MO|2=λ2|OA|2⇒
x2+y
2=220(1+k2).
4+5k2
因为L是AB的垂直平分线,所以直线L的方程为y=-1x⇒k=-x,代入上式有:
ky
x2+y2=2
x2
20(12)2+2
=2,由x2+y2≠0⇒5x2+4y2=202,
2
4+5⨯y2
4y2+5x2
当k=0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M的轨迹方程为x2+y2=2,(λ≠0).
45
②当k存在且k≠0时,2=20
2=20k2
⇒|OA|2=2+
2=20(1+k2).
⎧x2+y2=
⎪54
xA
20k2
4+5k2,yA
M
20
4+5k2
20(1+k2)
xAyA
4+5k2
M
由⎨⇒x2
⎪1
=5+4k2
,y2
=5+4k2
⇒|OM|2=
.
5+4k2
⎪⎩y=-kx
⇒1+1=
OA2OM2
1+1=9.
20(1+k2)20(1+k2)20
4+5k25+4k2
2≤
|OA|⨯|OB|
1+
OA2
1
OM2
=9⇒|OA|⨯|OB|≥40.209
S=1⨯2⨯|OA|⨯|OB|=|OA|⨯|OB|≥40,
∆AMB29
当且仅当4+5k2=5+4k2时,即k=±1时等号成立.
当k=0,S
=1⨯25⨯2=2
>
40;
∆AMB29
当k不存在时,S
=1⨯
5⨯4=2
>
40.
∆AMB29
综上所述,∆AMB的面积的最小值为40.
9
2.(07、江西理21)设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠APB=2,且存
在常数(0<<1),使得d1d2
sin2=.
(1)证明:
动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;
(2)过点B作直线与双曲线C的右支于M,N两点,试确定的范围,使OM·ON=0,
其中点O为坐标原点.
解:
(1)在△PAB中,AB=2,即22=d2+d2-2ddcos2,
4=(d-d)2+4ddsin2,即d-d=4-4dd
sin2=21-<2(常数),
1212
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