八年级上册数学知识点总结人教版Word文档格式.docx
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高所在的直线是否相交
相交
高之间是否相交
不相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线:
在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫
做这个三角形这边的中线.
三角形中线的符号语言:
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD=1/2BC
三角形的角平分线:
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
三、三角形的稳定性
三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性
11.2与三角形有关的角
四、三角形的内角
三角形的内角:
三角形两边的夹角叫做三角形的内角。
三角形内角和定理:
三角形的内角和等于1800.
直角三角形的两个锐角互余.
由三角形内角和定理可得:
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.
例:
已知△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数。
A
D
BC
小结:
由三角形内角和等于180°
,可得出
(1)直角三角形两锐角互余;
(2)一个三角形最多有一个直角或钝角;
(3)任意一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角;
(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
。
五、三角形的外角
三角形的外角:
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角.三角形的外角和等于360°
三角形外角的两条性质:
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
11.3多边形及其内角和
六、多边形
多边形:
在平面内,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角和外角:
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角;
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.n边形有n个内角,2n个(n对)外角
多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
正多边形:
如果多边形的各个角都相等,各条边都相等,那么就称它为正多边形.
多边形的内角和与外角和:
一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n边形分为(n-2)个三角形,n边形的内角和等于(n-2)·
180°
.多边形的外角和等于360o.
第十二章全等三角形
一、全等三角形
全等形:
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
两个图形全等,它们的形状一定相同,大小一定相等!
全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
其中:
互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。
全等的表示:
.“全等”用符号“≌”来表示,读作全等于。
书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
二、全等三角形的判定
判定定理1:
三边对应相等的两个三角形全等。
(简写为“边边边”或“SSS”)
判定定理2:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(简写为“边角边”或“SAS”)
判定定理3:
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”)
判定定理4:
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(简写成“角角边”或“AAS”)
判定定理5(直角三角形):
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
证明的书写步骤:
①准备条件:
证全等时要用的条件要先证好;
②三角形全等书写三步骤:
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
已知:
如图,AB=AD,BC=DC,
求证:
△ABC≌△ADC
证明:
在△ABC和△ADC中
AB=AD(已知)
BC=DC(已知)
AC=AC(公共边)
∴△ABC≌△ADC(SSS)
三、角的平分线的性质
角平分线:
一条射线把一个角分成两个相等的
角,这条射线叫做这个角的平分线。
尺规作角的平分线:
画法:
1.以O为圆心,适当长为半径作弧,
交OA于M,交OB于N.
2.分别以M,N为圆心.大于1/2MN
的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.
3.作射线OC.
射线OC即为所求.
角平分线的性质:
1、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为:
∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴QD=QE
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.
∴点Q在∠AOB的平分线上.
第十三章轴对称
一、轴对称
轴对称图形:
把一个图形沿着某一条直线翻折,如果直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就是轴对称图形。
这条直线是这个图形的对称轴。
轴对称:
平面上的两个图形,将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,简称轴对称,这条直线叫对称轴。
两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做关于这条直线的对称点。
注意:
如果一点在对称轴上,它的对称点就是它本身。
判断:
1、轴对称图形必有对称轴()
2、轴对称图形至少有一条对称轴()
3、关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合()
4、两个完全互相重合的图形必是轴对称()
垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
图形轴对称的性质:
1、如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
2、轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
二、线段的垂直平分线的性质:
1、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
2、与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
尺规作线段的垂直平分线(p63)
三、画轴对称图形
如图,已知△ABC和直线l,作出与△ABC
关于直线l对称的图形。
作法:
(1)过点A作直线l的垂线,垂足为点O,在垂
线上截取OA′=OA,点A′就是点A关于直
线l的对称点。
(2)过点B作直线l的垂线,垂足为点P,在垂线
上截取PB′=PB,点B′就是点B关于直线l的对称点。
(3)过点C作直线l的垂线,垂足为点M,在垂线上截取MC′=MC,点C′就是点C关于直线l的对称点。
(4)连接A′B′、B′C′、C′A′,得到△A′B′C′即为所求。
作图步骤:
1、找特征点2、作垂线3、截取等长4、依次连线
四、等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做
底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质:
性质1:
等腰三角形的两底角相等。
(简写成“等边对等角”)
性质2:
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合。
(简称“三线合一”)
在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数
解:
AB=AC,BD=BC=AD,
∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ADD(等边对等角)
设A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=1800.
解得x=360
在△ABC中,∠A=360∠,ABC=∠C=720
等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(简写成“等角对等边”)
五、等边三角形
等边三角形:
三边相等的三角形,叫做等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质:
(1)边三角形的三边都相等;
(2)边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°
(3)等边三角形的内角都相等,且都等于60°
等边三角形的判定定理:
1、三边相等的三角形是等边三角形.
2、三个内角都等于60°
的三角形是等边三角形.
3、有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
直角三角形的性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所
对的直角边等于斜边的一半。
即在Rt△ABC中,如果
∠ACB=90°
∠A=30°
那么BC=1/2AB
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
一、同底数幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即am·
an=am+n(m,n都是正整数)
二、幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即(am)n=amn(m,n都是正整数)
三、积的乘方
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
即(ab)n=anbn(n是正整数)
四、整式的乘法
单项式乘以单项式:
单项式相乘,把它们的系数相乘、字母部分的同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式:
用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
1、单项式乘多项式的结果仍是多项式,积的项数与原多项式的项数相同。
2、在单项式乘法运算中要注意系数的符号。
3、不要出现漏乘现象,运算要有顺序。
多项式乘以多项式:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得积相加。
例:
(3x+1)(x+2)
=(3x)·
x+(3x)·
2+1·
x+1·
2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2
五、同底数幂相除
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
即:
am/an=am-n(a不等于0,m,n都是正整数,且m>
n)
规定:
a0=1(a不等于0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
六、单项式除以单项式
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
28x4y2/7x3y=(28/7)·
x4-3·
y2-1=4xy
七、多项式除以单项式
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
(12a3-6a2+3a)/3a=12a3/3a-6a2/3a+3a/3a=4a2-2a+1
14.2乘法公式
八、平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
即:
(a+b)(a-b)=a2-b2
运用平方差公式计算:
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4
(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2
(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2
九、完全平方公式
两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式。
14.3因式分解
十、因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解。
也叫做把这个多项式分解因式。
一个多项式→几个整式的积
必须分解到每个多项式因式不能再分解为止
X2-1=(x+1)(x-1)
十一、分解因式的方法:
1、提取公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ma+mb+mc=m(a+b+c)
例题:
把下列各式分解因式
16x3y2-9x2y3+3x2y2②p(y-x)-q(x-y)③(x-y)2-y(y-x)2
2、运用公式法
运用公式法中主要使用的公式有如下几个:
①a2-b2=(a+b)(a-b)[平方差公式]
②a2+2ab+b2=(a+b)2[完全平方公式]
a2-2ab+b2=(a-b)2[完全平方公式]
把下列各式分解因式
①x2-4y2②9x2-6x+1
3、十字相乘法
公式:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
①X2-5x+6②a2-a-2
4、分组分解法
分组的原则:
分组后要能使因式分解继续下去
1、分组后可以提公因式
2、分组后可以运用公式
解:
原式=x2-2x+1-4y2
=(x-1)2-(2y)2
=(x-1+2y)(x-1-2y)
3x+x2-y2-3y②x2-2x-4y2+1
原式=(x2-y2)+(3x-3y)
=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3)
分解因式的技巧:
一提:
对任意多项式分解因式,都必须首先考虑提取公因式。
二套:
对于二项式,考虑应用平方差公式分解。
对于三项式,考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。
三分:
再考虑分组分解法
四查:
检查:
特别看看多项式因式是否分解彻底
第十五章分式
一、分式
分式:
如果整式A除以整式B,可以表示成
的形式,且除式B中含有字母,那么称式子
为分式.其中,A叫做分式的分母,B叫做分式的分子。
分式的特点:
1、分式是两个整式相除的商式。
对于任意一个分式,分母都不为零。
即当B不等于0时,分式
才有意义。
2、分数线有除号和括号的作用,如:
可表示为(x-1)÷
(x-3).
分式的基本性质:
分式的分子与分母乘或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变。
约分:
把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
经过约分后的分式,其分子与分母没有公因式,像这样分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式。
通分:
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
二、分式的运算
分式的乘除:
分式的乘法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
分式的除法法则:
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
上述法则用式子表示为:
例子:
p136例1
分式的的乘方:
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
p139例5
分式的加减:
法则:
同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。
用式子表示为:
例子:
p141练习计算2
整数指数幂:
整数指数幂的运算性质:
若m,n为整数,且a≠0,b≠0,则有
p144例9
三、分式方程
分式方程:
如方程
,像这样,分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则这个解就不是原分式方程的解.
解分式方程的一般步骤:
1、在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;
否则,这个解不是原分式方程的解,必须舍去.
4、写出原方程的根.
p151例1例2
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