二次函数知识点总结及典型例题和练习极好.docx
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二次函数知识点总结及典型例题和练习极好
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
知识点一:
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果,特别注意a不为零,那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
【例1】已知函数y=x2-2x-3,
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图;
(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积:
(3)根据第
(1)题的图象草图,说出x取哪些值时,①y=0;②y<0;③y>0
知识点二:
二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:
(2)交点式:
当抛物线与x轴有交点时,即对应的一元二次方程
有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。
如果没有交点,则不能这样表示。
(3)顶点式:
当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。
【例1】抛物线与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。
【例2】如图,抛物线与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则:
(1)abc0(>或<或=)
(2)a的取值范围是
【例3】下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()
A.y=(x−2)2+1B.y=(x+2)2+1
C.y=(x−2)2−3D.y=(x+2)2–3
知识点三:
二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。
如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,。
【例1】已知二次函数的图像(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,
下列说法正确的是()
A.有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0
C.有最小值-1,有最大值3D.有最小值-1,无最大值
【例2】某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80元时,房间会全部住满.
当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每
天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0x
y
0x
性质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
(2)对称轴是x=,
顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x≤时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x≥时,y随x的增大而增大,简记左减右增;
(4)抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;
(2)对称轴是x=,
顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x≤时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x≥时,y随x的增大而减小,简记左增右减;
(4)抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,
2、二次函数中,的含义:
表示开口方向:
>0时,抛物线开口向上
<0时,抛物线开口向下
与对称轴有关:
对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标:
(0,)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;
当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<0时,图像与x轴没有交点。
【例1】抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.
【例2】二次函数有()
A.最大值B.最小值
C.最大值D.最小值
【例3】由二次函数,可知()
A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线
C.其最小值为1D.当时,y随x的增大而增大
【例4】已知函数的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()
A.B.C.且D.且
【例5】下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是().
A.y=x2B.y=x-1C.y=xD.y=
【例6】若二次函数.当≤l时,随的增大而减小,则的取值范围是()
A.=lB.>lC.≥lD.≤l
知识点五、二次函数图象的平移
①对于抛物线y=ax2+bx+c的平移
通常先将一般式转化成顶点式,再遵循左加右减,上加下减的的原则
化为顶点式有两种方法:
配方法,顶点坐标公式法。
在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标。
②沿轴平移:
向上(下)平移(m>0)个单位,变成(或)
③当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式
:
向左(右)平移(m>0)个单位,变成(或)
【例1】将抛物线向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是()
A.B.C.D.
【例2】将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
【例3】抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是()
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【补】抛物线y=2x2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为______________
【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为______________
知识点六:
抛物线中,a、b、c的作用
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故:
①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.口诀---左同,右异(a、b同号,对称轴在y轴左侧)
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.
【例1】如图为抛物线的图像,A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是()
A.a+b=-1 B.a-b=-1C.b<2a D.ac<0
【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是()
A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>0
【例3】如图所示的二次函数的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1);
(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0。
你认为其中错误的有()A.2个B.3个C.4个D.1个
【例4】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:
①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4
【例5】如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:
①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是.(只要求填写正确命题的序号)
【例6】如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是()
A.m=n,k>hB.m=n,k<h
C.m>n,k=hD.m<n,k=h
知识点七:
中考二次函数压轴题中常用到的公式
1、两点间距离公式:
如图:
点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则AB间的距离,即线段AB的长度为(这实际上是根据勾股定理得出来的)
2、中点坐标公式:
如图,在平面直角坐标系中,、两点的坐标分别为,
,中点的坐标为.由,得,
同理,所以的中点坐标为.
3、两平行直线的解析式分别为:
y=k1x+b1,y=k2x+b2,那么k1=k2,也就是说当我们知道一条直线的k值,就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。
4、两垂直直线的解析式分别为:
y=k1x+b1,y=k2x+b2,那么k1×k2=-1,也就是说当我们知道一条直线的k值,就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。
(对于这一条,只要能灵活运用就行,不需要理解)
以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚”
【例1】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
【例2】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
【例3】如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右边),与y轴交于C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N。
试探究m为何值时,四边形
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