最新高考数学二轮复习 专题一 三角函数解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案考试专Word格式文档下载.docx
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解析 ∵sin(3π+α)=2sin,
∴-sinα=-2cosα,即sinα=2cosα,
则=
===-.
热点二 三角函数的图象及应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图:
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换:
(先平移后伸缩)y=sinxy=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
(先伸缩后平移)y=sinx
y=sinωxy=sin(ωx+φ)
例2
(1)已知函数f(x)=sin(ω>
0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析 由题意知,函数f(x)的最小正周期T=π,
所以ω=2,即f(x)=sin,g(x)=cos2x.
把g(x)=cos2x变形得g(x)=sin=sin,所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到g(x)=cos2x的图象,故选A.
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上的值域为[-1,2],则θ=________.
答案
解析 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如题图所示,
则A=2,=-=,解得T=π,
所以ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ),
当x=π,f
=2sin=2,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-π+2kπ,k∈Z,
又|φ|<
π,解得φ=-,
所以f(x)=2sin,
因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=2sin=2cos2x,
若函数g(x)在区间上的值域为[-1,2],
则2cos2θ=-1,则θ=kπ+,k∈Z或θ=kπ+,k∈Z,
所以θ=.
思维升华
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;
由函数的周期确定ω;
确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向.
跟踪演练2
(1)若将函数y=cosωx(ω>
0)的图象向右平移个单位长度后与函数y=sinωx的图象重合,则ω的最小值为( )
A.B.C.D.
解析 将函数y=cosωx(ω>
0)的图象向右平移个单位长度后得到函数的解析式为y=cosω=cos.
∵平移后得到的函数图象与函数y=sinωx的图象重合,
∴-=2kπ-(k∈Z),即ω=-6k+(k∈Z).
∴当k=0时,ω=.
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=________;
函数f(x)在区间上的零点为________.
答案 2
解析 从图中可以发现,相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为,-,从而求得函数的最小正周期为T=2=π,根据T=可求得ω=2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)=2sin,令2x-=kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),结合所给的区间,整理得出x=.
热点三 三角函数的性质
1.三角函数的单调区间
y=sinx的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z);
y=cosx的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的单调递增区间是(k∈Z).
2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
例3 (2017·
浙江)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).
(1)求f
的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解
(1)由sin=,cos=-,得
f
=2-2-2×
×
=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得,
f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得,
+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
思维升华 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用类题目的求解思路
第一步:
先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;
第二步:
把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
跟踪演练3 (2018·
宁波模拟)已知函数f(x)=2sinxcosx+1-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值.
解
(1)因为f(x)=sin2x+cos2x=sin,
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤.
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值;
当2x+=-,即x=-时,
=sin+cos=-,
即f(x)的最小值为-.
真题体验
1.(2018·
全国Ⅰ)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是________.
答案 -
解析 f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)
=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).
∵cosx+1≥0,
∴当-1≤cosx<
时,f′(x)<
0,f(x)单调递减;
当<
cosx≤1时,f′(x)>
0,f(x)单调递增,
∴当cosx=时,f(x)有最小值.
又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),
∴当sinx=-时,f(x)有最小值,
即f(x)min=2×
=-.
2.(2018·
全国Ⅱ改编)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是________.
解析 f(x)=cosx-sinx
=-
=-sin,
当x∈,即x-∈时,
y=sin单调递增,
f(x)=-sin单调递减.
∵函数f(x)在[-a,a]上是减函数,
∴[-a,a]⊆,
∴0<
a≤,∴a的最大值为.
3.(2018·
天津改编)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数________.(填序号)
①在区间上单调递增;
②在区间上单调递减;
③在区间上单调递增;
④在区间上单调递减.
答案 ①
解析 函数y=sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y=sin=sin2x,则函数y=sin2x的一个单调递增区间为,一个单调递减区间为.由此可判断①正确.
4.(2018·
全国Ⅲ)函数f(x)=cos在[0,π]上的零点个数为______.
答案 3
解析 由题意可知,当3x+=kπ+(k∈Z)时,
f(x)=cos=0.
∵x∈[0,π],
∴3x+∈,
∴当3x+的取值为,,时,f(x)=0,
即函数f(x)=cos在[0,π]上的零点个数为3.
押题预测
1.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>
0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式,然后考查图象的平移,很有代表性,考生应熟练掌握图象平移规则,防止出错.
解析 由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则其最小正周期T=π,
所以ω==2,即f(x)=sin,g(x)=cos2x.
把g(x)=cos2x变形得g(x)=sin=sin,所以要得到函数g(x)的图象,只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可.故选A.
2.如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为( )
A.B.C.8D.16
押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点,本题结合平面几何知识求A,考查数形结合思想.
解析 由题意设Q(a,0),R(0,-a)(a>
0).
则M,由两点间距离公式,得
PM==2,
解得a1=8,a2=-4(舍去),
由此得=8-2=6,即T=12,故ω=,
由P(2,0)得φ=-,
代入f(x)=Asin(ωx+φ),
得f(x)=Asin,
从而f(0)=Asin=-8,
得A=.
3.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)若x是某三角形的一个内角,且f(x)=-,求角x的大小;
(2)当x∈时,求f(x)的最小值及取得最小值时x的值.
押题依据 三角函数解答题的第
(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等,这些都可以由三角函数解析式直接得到,因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式.第
(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值),特别是指定区间上的值域(或最值),是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式.
解
(1)∵f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x
=cos,
∴f(x)=cos=-,
可得cos=-.
由题意可得x∈(0,π),
∴2x+∈,
可得2x+=或,
∴x=或.
(2)∵x∈,∴2x+∈,
∴cos∈,
∴f(x)=cos∈[-,1].
∴f(x)的最小值为-,此时2x+=π,
即x=.
A组 专题通关
1.函数y=sinx(cosx-sinx),x∈R的值域是( )
A.B.
C.D.
解析 y=sinxcosx-sin2x=sin2x-
=-+sin∈,
故选D.
浙江金华十校联考)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>
0)与g(x)=cos(2x+φ)的对称轴完全相同.为了得到h(x)=cos的图象,只需将y=f(x)的图象( )
解析 由ωx+=+k1π,k1∈Z得函数f(x)的对称轴为x=+,k1∈Z,由2x+φ=k2π,k2∈Z得函数g(x)的对称轴为x=-+,k2∈Z.因为两函数的对称轴完全相同,所以解得则f(x)=sin,h(x)=cos,将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为y=sin=sin=cos,故选A.
3.(2018·
浙江省金丽衢十二校联考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则φ等于( )
A.-B.-
解析 由题图易得函数f(x)的最小正周期为=2,解得ω=2,则f(x)=Asin(2x+φ),又因为当x=时,f(x)取得最大值,所以2×
+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<
,所以φ=-,故选B.
浙江教育绿色评价联盟适应性考试)设函数f(x)=sin2x+acosx+b在上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,且与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,且与b有关
解析 令t=cosx,则g(t)=-t2+at+b+1(0≤t≤1),由题意得,①当<
0,即a<
0时,g(0)为最大值,g
(1)为最小值,此时M-m=1-a;
②当>
1,即a>
2时,g(0)为最小值,g
(1)为最大值,此时M-m=a-1;
③当≤≤1,即1≤a≤2时,M取g,m取g(0),此时M-m=;
④当0≤<
,即0≤a<
1时,M取g,m取g
(1),此时M-m=+1-a.综上所述,M-m与a有关,但与b无关,故选B.
5.函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>
0)图象的相邻对称轴之间的距离为,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f
的一个零点为x=-
D.f(x)在区间上单调递减
解析 因为f(x)=sinωx+cosωx=2sin的相邻的对称轴之间的距离为,
所以=π,得ω=2,即f(x)=2sin,
所以f(x)的最大值为2,所以A错误;
当x=时,2x+=π,所以f
=0,
所以x=不是函数图象的对称轴,所以B错误;
由f
=2sin
=-2sin,
当x=-时,f
=2≠0,
所以x=-不是函数的一个零点,所以C错误;
当x∈时,2x+∈,f(x)单调递减,所以D正确.
6.(2018·
浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中,角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-,-1),则tanα=________,cosα+sin=________.
答案 0
解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-,-1),
∴x=-,y=-1,
∴tanα==,
cosα+sin=cosα-cosα=0.
7.已知tanα=2,则=________.
解析 ∵tan2α==-,
∴=
===.
8.(2017·
全国Ⅱ)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是________.
答案 1
解析 f(x)=1-cos2x+cosx-
=-2+1.
∵x∈,∴cosx∈[0,1],
∴当cosx=时,f(x)取得最大值,最大值为1.
9.设函数f(x)(x∈R)满足f(x-π)=f(x)-sinx,当-π<
x≤0时,f(x)=0,则f
=________.
解析 ∵f(x-π)=f(x)-sinx,
∴f(x)=f(x-π)+sinx,
则f(x+π)=f(x)+sin(x+π)=f(x)-sinx.
∴f(x+π)=f(x-π),即f(x+2π)=f(x).
∴函数f(x)的周期为2π,
∴f
=f
+sin.
∵当-π<
x≤0时,f(x)=0,
=0+sin=.
10.已知向量m=(sinωx,1),n=(cosωx,cos2ωx+1),设函数f(x)=m·
n+b.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=对称,且当ω∈[0,3]时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在
(1)的条件下,当x∈时,函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围.
解 m=(sinωx,1),n=(cosωx,cos2ωx+1),
f(x)=m·
n+b=sinωxcosωx+cos2ωx+1+b
=sin2ωx+cos2ωx++b
=sin++b.
(1)∵函数f(x)的图象关于直线x=对称,
∴2ω·
+=kπ+(k∈Z),
解得ω=3k+1(k∈Z),
∵ω∈[0,3],∴ω=1,
∴f(x)=sin++b,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由
(1)知f(x)=sin++b,
∵x∈,∴2x+∈,
∴当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递增;
当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递减.
又f(0)=f
,
∴当f
>
0≥f
或f
=0时,函数f(x)有且只有一个零点,
即sin≤-b-<
sin或1++b=0,
∴b的取值范围为∪.
B组 能力提高
11.如图,单位圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为,∠AOC=α,若BC=1,则cos2-sincos-的值为( )
A.B.C.-D.-
解析 ∵点B的坐标为,设∠AOB=θ,
∴sin(2π-θ)=-,cos(2π-θ)=,
即sinθ=,cosθ=,
∵∠AOC=α,BC=1,∴θ+α=,
则α=-θ,
则cos2-sincos-=cosα-sinα
=cos=cos=sinθ=.
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,若f(x)>
2对任意x∈恒成立,则φ的取值范围是( )
解析 因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,所以函数的周期为T=π,ω=2,
当x∈时,2x+φ∈,
且|φ|≤,
由f(x)>
2知,sin(2x+φ)>
所以解得≤φ≤.
13.已知2sinαtanα=3,且0<
α<
π.
(1)求α的值;
(2)求函数f(x)=4cosxcos(x-α)在的值域.
解
(1)由已知得2sin2α=3cosα,
则2cos2α+3cosα-2=0,
所以cosα=或cosα=-2(舍),
又因为0<
π,所以α=.
(2)由
(1)得f(x)=4cosxcos
=4cosx
=2cos2x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x
=1+2sin,
由0≤x≤,得≤2x+≤,
所以当x=0时,f(x)取得最小值f(0)=2,
当x=时,f(x)取得最大值f=3,
所以函数f(x)在上的值域为[2,3].
14.已知a>
0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值;
(2)设g(x)=f
且lgg(x)>
0,求g(x)的单调区间.
解
(1)∵x∈,
∴2x+∈.
∴sin∈,
∴-2asin∈[-2a,a].
∴f(x)∈[b,3a+b],
又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,
因此a=2,b=-5.
(2)由
(1)得f(x)=-4sin-1,
∴g(x)=f
=-4sin-1
=4sin-1.
又由lgg(x)>
0,得g(x)>
1,
∴4sin-1>
∴sin>
∴2kπ+<
2x+<
2kπ+,k∈Z,
其中当2kπ+<
2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ<
x≤kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增;
当2kπ+<
即kπ+<
x<
kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减.
∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z,
单调递减区间为,k∈Z.
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