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5;
后来又有60名同学达标;
这时达标人数是未达标人数的9/11;
育才小学共有学生多少人?
原来达标人数占总人数的
3÷
(3+5)=3/8
现在达标人数占总人数的
9/11÷
(1+9/11)=9/20
育才小学共有学生
60÷
(9/20-3/8)=800人
甲乙丙三个村合修一条水渠;
修完后;
甲乙丙村可灌溉的面积比是8:
7:
5原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力;
后来因为丙村抽不出劳力;
经协商;
丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担;
丙村付给甲乙两村工钱1350元;
结果;
甲村共派出60人;
乙村共派出40人;
问甲乙两村各应分得工钱多少元?
答案
根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数:
8+7+5=20份
每份需要的人数:
(60+40)÷
20=5人
甲村需要的人数:
8×
5=40人;
多出劳力人数:
60-40=20人
乙村需要的人数:
7×
5=35人;
40-35=5人
丙村需要的人数:
5×
5=25人或20+5=25人
每人应得的钱数:
1350÷
25=54元
甲村应得的工钱:
54×
20=1080元
乙村应得的工钱:
54×
5=270元
某人到商店买红蓝两种钢笔;
红钢笔定价5元;
蓝钢笔定价9元;
由于购买量较多;
商店给予优惠;
红钢笔八五折;
蓝钢笔八折;
结果此人付的钱比原来节省的18%;
已知他买了蓝钢笔30枝;
那么。
他买了几支红钢笔?
红笔买了x支。
(5x+30×
9)×
(1-18%)=5x×
0.85+30×
9×
0.8
x=36.
十字交叉法;
需要算总钱数比
甲说:
“我乙丙共有100元。
”乙说:
“如果甲的钱是现有的6倍;
我的钱是现有的1/3;
丙的钱不变;
我们仍有钱100元。
”丙说:
“我的钱都没有30元。
”三人原来各有多少钱?
乙的话表明:
甲钱5倍与乙钱2/3一样多
所以;
乙钱是3*5=15的倍数;
甲钱是偶数
丙钱不足30;
甲乙钱和多于70;
而乙多于甲的6倍;
乙多于60
设乙=75;
甲=75*2/3÷
5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90;
甲=90*2/3÷
5=12,90+12>
100,不行
三人原来:
甲10元;
乙75元;
丙15元
两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小时,傍晚6时半同时点燃蜡烛;
到什么1支剩余部分正好是另一支剩余的2倍?
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛;
其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛;
两小时烧完;
那么每小时燃烧1/2
B蜡烛;
三小时烧完;
那么每小时燃烧1/3
设过了x小时以后;
B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2(1—x/2)=1—x/3
解得x=1.5
由于是6点半开始的;
所以到8点的时候刚刚好
学校组织春游;
同学们下午1点从学校出发;
走了一段平路;
爬了一座山后按原路返回;
下午七点回到学校。
已知他们的步行速度平路4Km/小时;
爬山3Km/小时;
下山为6Km/小时;
返回时间为2.5时。
问:
他们一共行了多少路
答案1
设走的平路是X公里山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时返回为2.5小时则去时用3.5小时
Y/3-Y/6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时则X/4+Y/3=3.5X=6
所以总路程为2(6+6)=24km
答案2
解:
春游共用时:
00-1:
00=6(小时)
上山用时:
6-2.5=3.5(小时)
上山多用:
3.5-2.5=1(小时)
山路:
(6-3)×
1÷
(3÷
6)=6(千米)
下山用时:
6÷
6=1(小时)
平路:
(2.5-1)×
4=6(千米)
单程走路:
6+6=12(千米)
共走路:
12×
2=24(千米)
他们共走24千米。
工程问题
1.甲乙两个水管单独开;
注满一池水;
分别需要20小时;
16小时.丙水管单独开;
排一池水要10小时;
若水池没水;
同时打开甲乙两水管;
5小时后;
再打开排水管丙;
问水池注满还是要多少小时?
1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率
9/80×
5=45/80表示5小时后进水量
1-45/80=35/80表示还要的进水量
35/80÷
(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满
5小时后还要35小时就能将水池注满。
2.修一条水渠;
单独修;
甲队需要20天完成;
乙队需要30天完成。
如果两队合作;
由于彼此施工有影响;
他们的工作效率就要降低;
甲队的工作效率是原来的五分之四;
乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠;
且要求两队合作的天数尽可能少;
那么两队要合作几天?
由题意得;
甲的工效为1/20;
乙的工效为1/30;
甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100;
可知甲乙合作工效>
甲的工效>
乙的工效。
又因为;
要求“两队合作的天数尽可能少”;
所以应该让做的快的甲多做;
16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。
只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天;
则甲独做时间为(16-x)天
1/20*(16-x)+7/100*x=1
x=10
甲乙最短合作10天
3.一件工作;
甲、乙合做需4小时完成;
乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后;
余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时?
由题意知;
1/4表示甲乙合作1小时的工作量;
1/5表示乙丙合作1小时的工作量
(1/4+1/5)×
2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后;
余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。
1/10÷
2=1/20表示乙的工作效率。
1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。
乙单独完成需要20小时。
4.一项工程;
第一天甲做;
第二天乙做;
第三天甲做;
第四天乙做;
这样交替轮流做;
那么恰好用整数天完工;
如果第一天乙做;
第二天甲做;
第三天乙做;
第四天甲做;
那么完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成;
甲单独做这项工程要多少天完成?
由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×
0.5=1
(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率;
最后结束必须如上所示;
否则第二种做法就不比第一种多0.5天)
1/甲=1/乙+1/甲×
0.5(因为前面的工作量都相等)
得到1/甲=1/乙×
2
又因为1/乙=1/17
所以1/甲=2/17;
甲等于17÷
2=8.5天
5.师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了1/2时;
徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时;
徒弟完成了4/5这批零件共有多少个?
答案为300个
120÷
(4/5÷
2)=300个
可以这样想:
师傅第一次完成了1/2;
第二次也是1/2;
两次一共全部完工;
那么徒弟第二次后共完成了4/5;
可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5;
刚好是120个。
6.一批树苗;
如果分给男女生栽;
平均每人栽6棵;
如果单份给女生栽;
平均每人栽10棵。
单份给男生栽;
平均每人栽几棵?
答案是15棵
算式:
(1/6-1/10)=15棵
7.一个池上装有3根水管。
甲管为进水管;
乙管为出水管;
20分钟可将满池水放完;
丙管也是出水管;
30分钟可将满池水放完。
现在先打开甲管;
当水池水刚溢出时;
打开乙,丙两管用了18分钟放完;
当打开甲管注满水是;
再打开乙管;
而不开丙管;
多少分钟将水放完?
答案45分钟。
(1/20+1/30)=12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作将漫池水放完后;
还多放了6分钟的水;
也就是甲18分钟进的水。
18=1/36表示甲每分钟进水
最后就是1÷
(1/20-1/36)=45分钟。
8.某工程队需要在规定日期内完成;
若由甲队去做;
恰好如期完成;
若乙队去做;
要超过规定日期三天完成;
若先由甲乙合作二天;
再由乙队单独做;
问规定日期为几天?
答案为6天
由“若乙队去做;
”可知:
乙做3天的工作量=甲2天的工作量
即:
甲乙的工作效率比是3:
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:
3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷
(3-2)×
2=6天;
就是甲的时间;
也就是规定日期
方程方法:
[1/x+1/(x+2)]×
2+1/(x+2)×
(x-2)=1
解得x=6
9.两根同样长的蜡烛;
点完一根粗蜡烛要2小时;
而点完一根细蜡烛要1小时;
一天晚上停电;
小芳同时点燃了这两根蜡烛看书;
若干分钟后来点了;
小芳将两支蜡烛同时熄灭;
发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍;
停电多少分钟?
答案为40分钟。
设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1/120*x=(1-1/60*x)*2
解得x=40
二.鸡兔同笼问题
1.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
4*100=400;
400-0=400假设都是兔子;
一共有400只兔子的脚;
那么鸡的脚为0只;
鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28=372实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只;
相差372只;
这是为什么?
4+2=6这是因为只要将一只兔子换成一只鸡;
兔子的总脚数就会减少4只(从400只变为396只);
鸡的总脚数就会增加2只(从0只到2只);
它们的相差数就会少4+2=6只(也就是原来的相差数是400-0=400;
现在的相差数为396-2=394;
相差数少了400-394=6)
372÷
6=62表示鸡的只数;
也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡;
所以脚的相差数从400改为28;
一共改了372只
100-62=38表示兔的只数
三.数字数位问题
1.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?
首先研究能被9整除的数的特点:
如果各个数位上的数字之和能被9整除;
那么这个数也能被9整除;
如果各个位数字之和不能被9整除;
那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题:
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;
45能被9整除
依次类推:
1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19;
20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次;
那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除
同样的道理;
100~900百位上的数字之和为4500同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除;
同样的道理:
1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和可以被9整除(这里千位上的“1”还没考虑;
同时这里我们少200020012002200320042005
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999;
也能整除;
200020012002200320042005的各位数字之和是27;
也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。
求A+B分之A-B的最小值...
(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)
前面的1不会变了;
只需求后面的最小值;
此时(A-B)/(A+B)最大。
对于B/(A+B)取最小时;
(A+B)/B取最大;
问题转化为求(A+B)/B的最大值。
(A+B)/B=1+A/B;
最大的可能性是A/B=99/1
(A+B)/B=100
(A-B)/(A+B)的最大值是:
98/100
3.已知A.B.C都是非0自然数,A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A/2+B/4+C/16=8A+4B+C/16≈6.4;
所以8A+4B+C≈102.4;
由于A、B、C为非0自然数;
因此8A+4B+C为一个整数;
可能是102;
也有可能是103。
当是102时;
102/16=6.375
当是103时;
103/16=6.4375
4.一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
设原数个位为a;
则十位为a+1;
百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a-100(16-2a)-10a-a=198
解得a=6;
则a+1=716-2a=4
原数为476。
5.一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
设该两位数为a;
则该三位数为300+a
7a+24=300+a
a=24
该两位数为24。
6.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
设原两位数为10a+b;
则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a=11(a+b)
因为这个和是一个平方数;
可以确定a+b=11
因此这个和就是11×
11=121
它们的和为121。
7.一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
设原六位数为abcde2;
则新六位数为2abcde(字母上无法加横线;
请将整个看成一个六位数)
再设abcde(五位数)为x;
则原六位数就是10x+2;
新六位数就是200000+x
根据题意得;
(200000+x)×
3=10x+2
解得x=85714
所以原数就是857142
原数为857142
8.有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
设原四位数为abcd;
则新数为cdab;
且d+b=12;
a+c=9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b=12;
可知d、b可能是3、9;
4、8;
5、7;
6、6。
再观察竖式中的个位;
便可以知道只有当d=3;
b=9;
或d=8;
b=4时成立。
先取d=3;
b=9代入竖式的百位;
可以确定十位上有进位。
根据a+c=9;
可知a、c可能是1、8;
2、7;
3、6;
4、5。
再观察竖式中的十位;
便可知只有当c=6;
a=3时成立。
再代入竖式的千位;
成立。
得到:
abcd=3963
再取d=8;
b=4代入竖式的十位;
无法找到竖式的十位合适的数;
所以不成立。
9.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
设这个两位数为ab
10a+b=9b+6
10a+b=5(a+b)+3
化简得到一样:
5a+4b=3
由于a、b均为一位整数
得到a=3或7;
b=3或8
原数为33或78均可以
10.如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是10:
20
(28799……9(20个9)+1)/60/24整除;
表示正好过了整数天;
时间仍然还是10:
21;
因为事先计算时加了1分钟;
所以现在时间是10:
四.排列组合问题
1.有五对夫妇围成一圈;
使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有()
A768种B32种C24种D2的10次方中
根据乘法原理;
分两步:
第一步是把5对夫妻看作5个整体;
进行排列有5×
4×
3×
2×
1=120种不同的排法;
但是因为是围成一个首尾相接的圈;
就会产生5个5个重复;
因此实际排法只有120÷
5=24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置;
也就是说每一对夫妻均有2种排法;
总共又2×
2=32种
综合两步;
就有24×
32=768种。
2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()
A119种B36种C59种D48种
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以120/2=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五.容斥原理问题
1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()
A43,25B32,25C32,15D43,11
根据容斥原理最小值68+43-100=11
最大值就是含铁的有43种
2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:
(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;
(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:
(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;
(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()
A;
5B;
6C;
7D;
8
根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:
只答第1题;
只答第2题;
只答第3题;
只答第1、2题;
只答第1、3题;
只答2、3题;
答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由
(1)知:
a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由
(2)知:
a2+a23=(a3+a23)×
2……②
由(3)知:
a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知:
a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×
2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中;
整理得到
a2×
4+a3=26
由于a2、a3均表示人数;
可以求出它们的整数解:
当a2=6、5、4、3、2、1时;
a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×
2……⑤可知:
a2>
a3
因此;
符合条件的只有a2=6;
a3=2。
然后可以推出a1=8;
a12+a13+a123=7;
a23=2;
总人数=8+6+2+7+2=25;
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
3.一次考试共有5道试题。
做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。
如果做对三道或三道以上为合格;
那么这次考试的合格率至少是多少?
答案:
及格率至少为71%。
假设一共有100人考试
100-95=5
100-80=20
100-79=21
100-74=26
100-85=15
5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)
87÷
3=29(表示5题中有3题做错的最多人数;
即不及格的人数最多为29人)
100-29=71(及格的最少人数;
其实都是全对的)
及格率至少为71%
六.抽屉原理、奇偶性问题
1.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套;
颜色有黑、红、蓝、黄四种;
问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?
可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉;
把手套看成是元素;
要保证有一副同色的;
就是1个抽屉里至少有2只手套;
根据抽屉原理;
最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。
再根据抽屉原理;
只要再摸出2只手套;
又能保证有一副手套是同色的;
以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉;
要保证有3副同色的;
先考虑保证有1副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后;
4个抽屉中还剩下3只手套。
又能保证有1副是同色的。
以此类推;
共摸出的手套有:
5+2+2=9(只)
最少要摸出9只手套;
才能保证有3副同色的。
2.有四种颜色的积木若干;
每人可任取1-2件;
至少有几个人去取;
才能保证有3人能取得完全一样?
答案为21
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3.某盒子内装50只球;
其中10只是红色;
10只是绿色;
10只是黄色;
10只是蓝色;
其余是白球和黑球;
为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球;
最少必须从袋中取出多少只球?
需要分情况讨论;
因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的;
那么就是:
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的;
6*5+3+1=34(个)
如果黑球或白球其中有等于8个的;
6*5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9个的;
那么
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