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第9讲阿波罗尼斯圆
第九讲阿波罗尼斯圆问题
几何小王子
2018年
一、问题的历史背景
阿波罗尼斯(约公元前262-前190)出生于小亚细亚南部的一个小城市佩尔格,他的巨著《圆锥曲线论》是在门奈赫莫斯、阿里斯泰奥斯、欧几里得、阿基米徳等前人研究的基础上,加上他自己所独创的成果,以全新的方式,并以欧几里得《几何原本》为基础写岀,他把综合几何发展到最高水平•这一著作将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几何使近20个世纪的后人在这方而也未增添多少新内容•直到17世纪笛卡尔、费马创立了坐标几何,用代数方法重现了二次曲线理论,戴沙格、帕斯卡创立射影几何,研究了圆脚占线的仿射性质和射影性质,才使得圆锥曲线理论有所突破,发展到一个新的阶段.而这两大领域的基本思想也可以在阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中找到它们的萌芽.阿波罗尼斯圆就是阿波罗尼斯的研究成果之一,阿波罗尼斯圆在中考、髙考试题中出镜率极高,很多根拯这一背景命制的试题淸新脫俗,古朴厚重,思想深邃,当然会使不知道这一背景的同学们不知所措,没法快速找到解题的突破口,这里我们将详细研究其命题背景,解题套路,使这类问题解决起来得心应手!
阿波罗尼斯构圆原理(轨迹定理人到两个怎点A、B的距离之比为定值上&1)的点
m
P,位于以把线段AB分成的内分点C和外分点D的直径两端的左圆上。
此结论为阿波罗尼斯发现的,这个圆常称为阿波罗尼斯圆,简称为阿氏圆•这两个立点叫做阿氏圆的基点.
AC=AD=PA=m
TB~PB
(定值),
证明:
如图,设ZAPB的内角平分线和外角平分线分别与AB或其延长线交于C、D,则有
从而C、D为泄点,乂
1
ZCPD=_X180°=90°,
2
故点P在以CD为直径的圆周上.
阿氏圆有如下性质:
①在线段AB关于左比上与1)的阿氏圆上任意一点,到两点的距离的比都等于左比一^1);
mm
PAin
②若点P在阿氏圆上,则一=—(壬1)•此时必有PC平分ZAPB.PD平分ZAPB的外角.
PBn
2.解题说明
3.典型例题
例1问题提出:
如图b在RtAABC中,ZACB=90°.CB=4,C4=6,OC的半径为2,
P位圆上一动点,连结AP.BP,求AP+J的最小值.
2
尝试解决^为了解决这个问题,下而给出一种解题思路:
如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有
CDCP=LCP=CB=2"
又ZPCD=ZBCP,所以
5PCDs\BCP,
所以
PD=丄
BP"2
所以
pd=\bp
2
ap+Lbp=ap+pd・
2
请你完成余下的思考,并直接写岀答案:
ap+Lbp的最小值为
2
自主探索:
在“问题提出”的条件不变的情况下,Lap+bp的最小值为・
3
拓展延伸:
已知扇形COD中,ZCOD=90°,0C=6,OA=3.0B=5,点P是CD上一点,求2PA+PB的最小值.
例2如图,在△ABC中,BC=4,AB二2AC,则的而积的最大值为
4.巩固练习
题型1:
向内构造类型
1、如图,已知AC二6.BC二8,A羽10,0C的半径为4,点D是。
C上的动点,连接AD,
BD,则AD+LbD的最小值为
2
R
2、在Rt/\ABC中,ZACB=90。
,AC=4.BC=3,点D为8BC内一动点,且满足CD=2,
2
则AD+_BD的最小值为
3
3、如图,在R心ABC中,ZC=90°,G4=3,CB=4,0C的半径为2,点P是0C±一动点,
则ap+Lpb的最小值为
2
4、如图,菱形ABCD的边长为2,锐角大小为60。
,04与BC相切于点E,在0A任意一
点几则PB+
5、如图,初为00直径,M=2,点C与点D{£AB的同侧,且AD丄AB,BC丄AB,AD=h
BC=3,点P时00上的一动点,则EpD+PC的最小值为
2
6、如图,点C(2,5),OC•的半径为厲,动点B在OC上,A(7,0),求OB+©AB的最小值.
7、
(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,0B的半径为2,点P是0B的一个动点,求PD+'PC的最小值和PD-Lpc的最大值:
22
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,的半径为6,点P是±的一个动点,
2?
求PD+_PC的最小值和PD-—PC的最大值:
33
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60°,OB的半径为2,点P是03上的一
8、如图,在Rt/\ABC中,乙4=30°,AC=8<以C为圆心,4为半径作0C.
(1)试判断OC与AB的位置关系,并说明理由;
(2)点F是OC±一动点,点D在AC上且CK2,试说明△FCDs/\acF;
1
(3)点E是AB边上任意一点,在
(2)的情况下,试求出EF+—以的最小值.
2
9、如图1,在平面直角坐标系中,点M的坐标为(3,0),以点M为圆心,5为半径的圆与坐标轴分别交于点人、B、C、D.
(1)zMOD与△COB相似吗?
为什么?
(2)如图2,弦DE交x轴于点P,且BP:
DP=3:
2,求tanZEDA,
(3)如图3,过点D作的切线,交x轴于点Q.点、G是上的动点,问比值
GO
一是否变化?
若不变,请求出比值;若变化,请说明理由.
GQ
10.(2016年济南中考题)如图b抛物线y^+(a+3)x+3(aHO)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点瓦在x轴上有一动点E(/h,0)(0
(1)求"的值和直线AB的函数表达式:
(2)设△PMN的周长为C.的周长为C,若_/巳,求加的值;
12F5
2
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为a
2
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