高中数学必修3第二章 23 变量间的相关关系Word文档格式.docx
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2.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图图1;
对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
选C 由这两个散点图可以判断,变量x与y负相关,u与v正相关.
3.若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为=5x+250,当施肥量为80kg时,预计水稻产量约为________kg.
把x=80代入回归方程可得其预测值=5×
80+250=650(kg).
答案:
650
4.对具有线性相关关系的变量x和y,测得一组数据如下表所示.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5,这条回归直线的方程为______________________.
由题意可知==5,
==50.
即样本中心为(5,50).
设回归直线方程为=6.5x+,
∵回归直线过样本中心(,),
∴50=6.5×
5+,即=17.5,
∴回归直线方程为=6.5x+17.5
=6.5x+17.5
相关关系的判断
[典例]
(1)下列关系中,属于相关关系的是________(填序号).
①正方形的边长与面积之间的关系;
②农作物的产量与施肥量之间的关系;
③出租车费与行驶的里程;
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄x(岁)
1
3
身高y(cm)
78
87
98
108
115
120
①画出散点图;
②判断y与x是否具有线性相关关系.
[解析]
(1)在①中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;
在②中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;
③为确定的函数关系;
在④中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.
②④
(2)解:
①散点图如图所示.
②由图知,所有数据点接近一条直线排列,因此,认为y与x具有线性相关关系.
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验:
借助积累的经验进行分析判断.
(2)利用散点图:
通过散点图,观察它们的分布是否存在一定的规律,直观地进行判断.
[活学活用]
如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号).
①是确定的函数关系;
②中的点大都分布在一条曲线周围;
③中的点大都分布在一条直线周围;
④中点的分布没有任何规律可言,x,y不具有相关关系.
①④
求回归方程
[典例]
(1)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5D.=-0.3x+4.4
(2)一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化,下表为抽样试验的结果:
转速x(转/秒)
16
14
12
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
②如果y对x有线性相关关系,请画出一条直线近似地表示这种线性关系;
③在实际生产中,若它们的近似方程为y=x-,允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?
[解析]
(1)依题意知,相应的回归直线的斜率应为正,排除C、D.且直线必过点(3,3.5),代入A、B得A正确.
A
①散点图如图所示:
②近似直线如图所示:
③由y≤10得x-≤10,解得x≤14.9,所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.
求回归直线方程的步骤
(1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n)(数据一般由题目给出).
(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.
(3)把数据制成表格xi,yi,x,xiyi.
(4)计算,,,iyi.
(5)代入公式计算,,公式为
(6)写出回归直线方程=x+.
已知变量x,y有如下对应数据:
(1)作出散点图;
(2)用最小二乘法求关于x,y的回归直线方程.
解:
(1)散点图如图所示.
(2)==,
==,
iyi=1+6+12+20=39.
=1+4+9+16=30,
=-×
=0,
所以=x为所求的回归直线方程.
利用线性回归方程对总体进行估计
[典例] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:
2.5
4.5
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的回归直线方程=x+;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据
(2)求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?
[解]
(1)散点图如图:
(2)==4.5,==3.5,
iyi=3×
2.5+4×
3+5×
4+6×
4.5=66.5,
=32+42+52+62=86,
所以=
==0.7,
=-=3.5-0.7×
4.5=0.35.
所以所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.
(3)当x=100时,=0.7×
100+0.35=70.35(吨标准煤),
90-70.35=19.65(吨标准煤).即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤.
只有当两个变量之间存在线性相关关系时,才能用回归直线方程对总体进行估计和预测.否则,如果两个变量之间不存在线性相关关系,即使由样本数据求出回归直线方程,用其估计和预测结果也是不可信的.
(重庆高考)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
储蓄存款y(千亿元)
7
10
(1)求y关于t的回归方程=t+;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
(1)列表计算如下:
i
ti
yi
t
tiyi
25
21
32
∑
15
36
55
这里n=5,=i==3,=i==7.2.
-n2=55-5×
32=10,
iyi-n=120-5×
3×
7.2=12,
从而==1.2,=-=7.2-1.2×
3=3.6,
故所求回归方程为=1.2t+3.6.
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为=1.2×
6+3.6=10.8(千亿元).
[层级一 学业水平达标]
1.下列变量具有相关关系的是( )
A.人的体重与视力
B.圆心角的大小与所对的圆弧长
C.收入水平与购买能力
D.人的年龄与体重
选C B为确定性关系;
A,D不具有相关关系,故选C.
2.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其回归方程可能为
A.=1.5x+2
B.=-1.5x+2
C.=1.5x-2
D.=-1.5x-2
选B 设回归方程为=x+,由散点图可知变量x,y之间负相关,回归直线在y轴上的截距为正数,所以<
0,>
0,因此方程可能为=-1.5x+2.
3.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示,则以下结论正确的是( )
A.直线l过点(,)
B.回归直线必通过散点图中的多个点
C.直线l的斜率必在(0,1)
D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同
选A A是正确的;
回归直线可以不经过散点图中的任何点,故B错误;
回归直线的斜率不确定,故C错误;
分布在l两侧的样本点的个数不一定相同,故D错误.
4.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程=+x中,回归系数( )
A.不能小于0 B.不能大于0
C.不能等于0D.只能小于0
选C 当=0时,r=0,这时不具有线性相关关系,但能大于0,也能小于0.
5.2016年元旦前夕,某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:
年收入x(万元)
年饮食支出y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.2
2.3
(1)如果已知y与x是线性相关的,求回归方程;
(2)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.
(参考数据:
iyi=117.7,=406)
依题意可计算得:
=6,=1.83,2=36,=10.98,
又∵iyi=117.7,=406,
∴=≈0.17,
=-=0.81,∴=0.17x+0.81.
∴所求的回归方程为=0.17x+0.81.
(2)当x=9时,=0.17×
9+0.81=2.34(万元).
可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元.
[层级二 应试能力达标]
1.一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个),从中取5次,那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( )
A.确定性关系B.相关关系
C.函数关系D.无任何关系
选B 每次从袋中取球取出的球是不是红球,除了和红球的个数有关外,还与球的大小等有关系,所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系.
2.农民工月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为=50+80x,下列判断正确的是( )
A.劳动生产率为1000元时,工资为130元
B.劳动生产率提高1000元时,工资水平提高80元
C.劳动生产率提高1000元时,工资水平提高130元
D.当月工资为210元时,劳动生产率为2000元
选B 由回归直线方程=50+80x知,x每增加1,y增加80,但要注意x的单位是千元,y的单位是元.
3.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子身高数据如下:
父亲身高x(cm)
174
176
178
儿子身高y(cm)
175
177
则y对x的线性回归方程为( )
A.y=x-1B.y=x+1
C.y=88+xD.y=176
选C 计算得,==176,==176,根据回归直线经过样本中心(,)检验知,C符合.
4.已知x与y之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b′x+a′,则以下结论正确的是( )
A.>
b′,>
a′B.>
b′,<
a′
C.<
a′D.<
选C 由(1,0),(2,2)求b′,a′.
b′==2,a′=0-2×
1=-2.
求,时,iyi=0+4+3+12+15+24=58,
=3.5,=,
=1+4+9+16+25+36=91,
∴==,
3.5=-=-,
∴<
a′.
5.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为=0.72x-58.2,张红同学(20岁)身高为178cm,她的体重应该在________kg左右.
用回归方程对身高为178cm的人的体重进行预测,当x=178时,=0.72×
178-58.2=69.96(kg).
69.96
6.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元)
销量y(件)
92
82
80
68
由表中数据,求得线性回归方程为=-4x+,则=________.
==80,
由回归方程过样本中心点(,)
得80=-4×
+.
即=80+4×
=106.
106
7.对某台机器购置后的运行年限x(x=1,2,3,…)与当年利润y的统计分析知x,y具备线性相关关系,回归方程为=10.47-1.3x,估计该台机器最为划算的使用年限为________年.
当年利润小于或等于零时应该报废该机器,当y=0时,令10.47-1.3x=0,解得x≈8,故估计该台机器最为划算的使用年限为8年.
8.一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3246](单位:
吨),船员的人数5~32人,船员人数y关于吨位x的回归方程为=9.5+0.0062x,
(1)若两艘船的吨位相差1000,求船员平均相差的人数;
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数.
(1)设两艘船的吨位分别为x1,x2,则
1-2=9.5+0.0062x1-(9.5+0.0062x2)
=0.0062×
1000≈6,
即船员平均相差6人.
(2)当x=192时,=9.5+0.0062×
192≈11,
当x=3246时,=9.5+0.0062×
3246≈30.
即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人.
9.某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如下表:
每天销售服装件数x(件)
该周内所获纯利y(元)
66
69
73
81
89
90
91
(1)求,;
(2)若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的,求回归直线方程;
(3)若该店每周至少要获纯利200元,请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件?
(提示:
=280,=45309,iyi=3487)
(1)==6,
=≈79.86.
(2)∵=≈4.75,
=79.86-4.75×
6=51.36,
∴纯利与每天销售件数x之间的回归直线方程为=51.36+4.75x.
(3)当=200时,200=4.75x+51.36,所以x≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元,则该店每天至少要销售这种服装32件.
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列三个抽样:
①一个城市有210家某商品的代理商,其中大型代理商有20家,中型代理商有40家,小型代理商有150家,为了掌握该商品的销售情况,要从中抽取一个容量为21的样本;
②在某公司的50名工人中,依次抽取工号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的10名工人进行健康检查;
③某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒进行质量检查.则应采用的抽样方法依次为( )
A.简单随机抽样;
分层抽样;
系统抽样
B.分层抽样;
简单随机抽样;
C.分层抽样;
系统抽样;
简单随机抽样
D.系统抽样;
选C ①中商店的规模不同,所以应利用分层抽样;
②中抽取的学号具有等距性,所以应是系统抽样;
③中总体没有差异性,容量较小,样本容量也较小,所以应采用简单随机抽样.故选C.
2.将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是( )
A.09,14,19,24 B.16,28,40,52
C.10,16,22,28D.08,12,16,20
选B 分成5组,每组12名学生,按等间距12抽取.选项B正确.
3.某学校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,若女学生一共抽取了80人,则n的值为( )
A.193B.192
C.191D.190
选B 1000×
=80,求得n=192.
4.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( )
A.=-10x+200B.=10x+200
C.=-10x-200D.=10x-200
选A 由于销售量y与销售价格x成负相关,故排除B,D.又因为销售价格x>0,则C中销售量全小于0,不符合题意,故选A.
5.设有两组数据x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn,它们的平均数分别是和,则新的一组数据2x1-3y1+1,2x2-3y2+1,…,2xn-3yn+1的平均数是( )
A.2-3B.2-3+1
C.4-9D.4-9+1
选B 设zi=2xi-3yi+1(i=1,2,…,n),
则=(z1+z2+…+zn)=(x1+x2+…+xn)-(y1+y2+…+yn)+=2-3+1.
6.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9
[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
则总体中大于或等于31.5的数据所占比例约为( )
A.B.
C.D.
选B 由题意知,样本的容量为66,而落在[31.5,43.5)内的样本个数为12+7+3=22,故总体中大于或等于31.5的数据约占=.
7.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各有1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A.85,85,85B.87,85,86
C.87,85,85D.87,85,90
选C ∵得85分的人数最多为4人,
∴众数为85,中位数为85,
平均数为(100+95+90×
2+85×
4+80+75)=87.
8.某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况,随机调查了50名司机,得到了他们某月交通违章次数的数据,结果制成了如图所示的统计图,根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )
A.1B.1.8
C.2.4D.3
选B =1.8.
9.下表是某厂1~4月份用水量情况(单位:
百吨)的一组数据
月份x
用水量y
用水量y与月份x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为=-0.7x+a,则a的值为( )
A.5.25B.5
C.2.5D.3.5
选A 线性回归方程经过样本的中心点,根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5),所以a=5.25.
10.如图是在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.84,4.84B.84,1.6
C.85,1.2D.85,4
选C 去掉一个最高分95,去掉一个最低分77,平均数为80+(5+3+6+5+6)=85,方差为[(85-85)2+(85-83)2+(85-86)2+(85-85)2+(85-86)2]=1.2,因此选C.
11.如果数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是,方差是s2,则3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数和方差分别是( )
A.和s2B.3和9s2
C.3+2和9s2D.3+2和12s2+4
选C 3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数是3+2,由于数据x1,x2,…xn的方差为s2,所以3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的方差为9s2.
12.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5
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