应用条件极值与隐函数习题课Word文档格式.docx

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i）、构造L-函数;

ii）、计算L-函数的驻点;

iii）、判断，常用方法为二阶微分法。

3）、隐函数极值的计算

4）、极值的应用

主要有计算函数闭区域上的最值;

证明多元不等式。

2、隐函数存在定理

要求:

熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数

存在定理。

二、典型例题

22例1、讨论的极值。

进一步研究zfxyyxyx,,,,（,）（）

（2）

沿任意直线在p（0,0）的极值性质。

0

解、先计算驻点。

求解

2,fxyx,,，68,x,2fyx,,23,y,

p（0,0）得唯一驻点。

fpfpfp（）0,（）0,（）2,,,判断。

计算得，H=0，故xxxyyy000

22dzdy|2,二阶导数法失效。

（同样，，因而不能确定对任意的p0

22dzdy|2,（dx，dy）,（0,0），都成立>

0,二阶微分法同样失效。

）p0

用定义判断。

注意到

22,,,,,,zfpfpyxyx（）（）（）

（2）0

92因而，对任意,取r充分小满足，则,，,,01rr,,04

32且，故不是,pprrUp（0,）,（,）（,）,,,zpzp（）（）0p（0,0）,12012022

极值点。

再考虑沿直线y=kx在的极值性质。

转化为无条件极p（0,0）0

值讨论。

4当k=0时，沿直线y=0,函数z转化为一元函数，因zx,2而为其极小值点，故对应的为函数z沿直线y=0的x,0p（0,0）00

极小值点。

2234k,0zkxkxx,,，32当时，沿直线y=kx，则，为x,00驻点，进一步判断为极小值点，因而，对应的为原函数zp（0,0）0沿直线y=kx的极小值点。

注、事实上，在原点的任意邻域内，通过曲线p0

222将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线yxyx,,和2yx,

2之间的部分和曲线上面的部分，函数z在上下两部分上取yx,2

pp值为正，在曲线间的部分取值为负，而正取自使函数不同号1,2

的部分里。

当沿直线y=kx考虑时，由于当x充分小时，直线y=kx

2p总在曲线的上方，因而，取不到使函数z取负值的点如，yx,22

p故是极值点。

p注、结论表明:

设为函数z的定义域内某一点，沿任一过0

直线，为函数z极值点，并不一定表明点就是函数z在ppp000

其定义域内的极值点。

2例2、计算z=f（x,y）=在由直线x+y=6及x轴、yxyxy（4）,,

轴所围成的闭区域D上的极值和最值。

解、先计算D内的极值点。

fxyxy,,,,（832）0,x,2fxxy,,,,（4）0y,

的D内驻点。

p（2,1）0

（注、（0,y）、（4,0）也是驻点，但不在D内，而在D的边界上。

）

判断。

计算得

，H=32，AfpBfpCfp,,,,,,,,,（）6,（）4,（）8xxxyyy000

故，为极大值点且对应的极大值为。

p（2,1）fp（）4,00

其次，计算边界上的最值。

记D的边界为lxx,,,{（,0）:

06}、1

lxyxyxy,,,，,{（,）:

0,0,6}、2

2gxzxx（）|2（6）,,,zz|0,|0,,lyy,,,{（0,）:

06}。

则，，lll3132计算得

ggxggx（0）max（）0,（4）min（）64,,,,,[0,6][0,6]

最后，对内部极值和边界值进行比较。

比较内部极值和边界

fp（）4,值可知:

函数z在D的内部有极大值，而在整个闭区域0

fp（）4,D上，函数的最大值为，最小值为f（4,2）=-64.0

AB,,例3、设为正定矩阵，计算H,,,BC,,

2222在上的最值。

zfxyAxBxyCy,,，，（,）2xy，,1

22解、在有界闭集上连续，因而存在fDxyxy,，,{（,）:

1}

最大值点

和最小值点，故，最小值pp（x,y）（x,y）211122

22，又由正定性得。

进f（x,y）,0fxyAxBxyCy（,）2,，，22222222

一步计算如下:

构造

2222，LAxBxyCyxy,，，,，,2

（1）,

得驻点方程组:

（A,）x，By,0

（1）,

,Bx，（C,）y,0，

（2）,

22,x，y,1（3）,

由于在D上必能达到最大值和最小值，故上述方程组必有解。

f

pp和就是其两个解。

由（3）知:

其解必为非零（x,y）（x,y）211122

解，因而对

（1）、

（2），必有

AB,,0BC,,

122,,，,，,,[（）（）4（）]ACACACB解得，12

122,,，，，,,[（）（）4（）]ACACACB。

22

设为其一组解，则代入方程组且由得（,,）xy,

（1）

（2），，，xy00000

2222，AxBxycyxy，，,，,2（）0,0000000

2222因而，。

即对应fxy（,）,AxBxycyxy，，,，,2（）,,0000000000

的一组解必满足，因此，必有（,,）xy,fxy（,）,,000000

，。

fxy（,）,,fxy（,）,,111222

mnp例4、计算在下的最大值。

xyza++=fxyzxyz（,,）=

其中amnpxyz>

>

0,0,0,0,0,0,0.

解、显然，函数f>

0，此时，f（x,y,z）与具有相同的ln（,,）fxyz单调性，故可以采用对数法。

记，构造L-函gxyzfxyzmxnypz（,,）ln（,,）lnlnln==++

数

Lxyzfxyza（,,）ln（）=-++-l

则，求解如下驻点方程组

m0L=-=lxx

mnpmanapa++l====,,,xyz得。

0000amnpmnpmnp++++++

又，计算得

mnp2222（,,,）|0dLxyzdxdydzl=---<

xyz0（,,）222000xyz000故，在，因而在点达到极大值pxyz（,,）pgxyz（,,）fxyz（,,）00000

。

fp（）0>

又，沿边界x=0,y=0,z=0，都有，故所求最大值fxyz（,,）0=为。

fp（）0

注、注意掌握上述求极值的对数法。

n2例5、计算在条件xxxc+++=Lfxxxax（,,,）L=å

12n12nii=1i

下的最小值。

其中。

acin>

=L0,0,1,2,,i

nn2解、构造L,函数，Lxxxaxxc（,,,）（）Lll=+-邋1,21nii==11ii求解方程组

Lax=+=20lx111

Lax=+=20,lx222

LLL

Lax=+=20l，xnnn

n

Lxc=-=0å

li1=i

lll2c000---=-Lp（,,,）,l得唯一驻点。

00n1222aaa12nå

a=i1i

由题意和驻点的唯一性，则在处达到最小值fxxx（,,,）Lp12n0

2c。

（）=fp0n1

å

n2特别，当时，在ain==L1,1,2,,fxxxx（,,,）L=å

i12ni=1i

2ccccp（,,,）L下在处达到最小值，因而，xxxc+++=L012nnnnn成立不等式

22（）xxx+++Lc222n12。

xxx+++?

Ln12nn

注、利用题意和驻点的唯一性，不需进一步的判断，可以直接给出唯一的驻点处的极值性质，这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。

ststtte,,，ln例7、证明:

时成立不等式。

ts,,1,0

s证明、用极值理论证明不等式。

记，,（,）lnsttttets,,，,

，只需证明在D上成立，因而，只D,，,，，,[0,）[1,）,（,）0st,需证明,（,）st在区域D上的最小值为0。

s,,,,,et0s,,,,ln0ts,t,

ss,0得函数的驻点为曲线，上的所有点且lte:

,（,）st

（,）|0st,l

（进一步验证，在这些驻点处都有H=0，因而，二阶导数法失效，

且在无界区域D上，函数最值存在性也是未知的，为此，,（,）st

采用逼进法，转化为在有界闭区域的最值的讨论。

记，则，曲线l在内的点仍是的驻DRR,，[0,][1,]D,（,）stRR点，为计算在上的最值，只需讨论边界最值。

简单计算D,（,）stR

可知:

s在s=0处取到最小值0;

hsses（）（,1）1,,,,,1

s在s=lnR处取到最小值0;

hssRRRReRs（）（,）ln,,,，,,2

gttttt（）（0,）ln1,,,，,在t=1处取到最小值0;

1

RRte,在处取到最小值0;

gtRtttteRt（）（,）ln,,,，,,2

0DD因而，函数在上的最小值为0，即在，;

（,）st,（,）stRR

0由R的任意性，得到,（,）st，（,）stD,。

tt,注、沿任一条直线，可以发现，函数在曲线l上达到最0

小值0，但，由例1知道，这还不能说明函数的最小值为0。

例8、设z=z（x,y）是由

222Fxyzxxyyyzz（,,）6102180,,，,,，,

确定的隐函数，计算函数z（x,y）的极值。

分析:

先计算可疑点。

这些点满足，由此出发确zz,,0,0xy定可疑点。

解、将方程中z视为x、y的复合函数，求导得

26220xyyzzz,,,,xx

，,,,,6202220xyzyzzzyy

故、令，代入得zz,,0,0xy

x=3y

-3x+10y-z=0

222此外，还成立，Fxyzxxyyyzz（,,）6102180,,，,,，,解之得解为

，则对应点为函数zMM（9,3,3）,（9,3,3）,,,p（9,3）,p（9,3）,,1212

的可疑的极值点。

进一步计算二阶导数，得

1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,（）,（）,（）,1111111xxxyyy62336

1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,,（）,（）,（）,2222222xxxyyy62336

zp（）3,pp故，为极小值点，极小值为，为极大值点，极大值211

zp（）3,,为。

2

注、关于隐函数的极值的计算还有下述结论。

例9、具二阶连续偏导，且由=0可确定F（x,y,z）F（x,y,z）

，讨论的极值的必要和充分条件，并由此计z,f（x,y）z,f（x,y）

算由

222x，y，z,2x，2y,4z,10,0所确定的的极值。

z,f（x,y）

分析题意:

由极值理论，对一个已知的函数，其z,f（x,y）

2极值点的充要条件是已知的（在本题条件下），因此，本题的C

目的是将由表示的充要条件转化为已知的函数f（x,y）F（x,y,z）

来表示。

解:

必要条件。

给定点，设为的极值点，M（x,y,z）p（x,y）z,f（x,y）0000000

则，，，（我们要寻求能确定的条件）由z,fpM（x,y,z）000000

在点取得极值的必要条件，则pz,f（x,y）0

，，，，fp,0,fp,0。

x0y0

（根据题意，要将此条件转化为用表示的形式，因此要F（x,y,z）寻求它们的关系）

由于函数是由=0所确定的隐函数，由隐函数z,f（x,y）F（x,y,z）

FFyxf,,,f,,,F（M）,0的求导及隐函数存在的条件:

，xyz0FFzz

F（M）,F（M）,0p（x,y）因而:

z,f（x,y），故:

为的极值x0y0000

点的必要条件为:

为方程组M（x,y,z）0000

Fxyz（,,）0,,x,Fxyz（,,）0,,y

Fxyz（,,）0,,

的解。

（因而，通过求解关于x、y、z的方程组

，，其解（x,y,z）就是可能的极值FMFM（）0,（）0,,FM（）0,xy

点）。

充分性:

F（M）,0,x,F（M）,0设满足:

，M（x,y,z）,y0000,F（M）,0,

（要证在何条件下:

为的极值点，此过程与p（x,y）z,f（x,y）000

上述过程类似，将在点取得极值的充分条件p（x,y）z,f（x,y）000转化为用表示的条件）。

利用隐函数求导:

F（x,y,z）

f（p）,0,f（p）,0，因而:

为的驻点，p（x,y）z,f（x,y）x0y0000

ff,,xxxy,,|H,记，p0,,ffxyyy,,

p（x,y）则由极值的充分条件:

当H正定时，为极小值点;

000

p（x,y）当H负定时，为极大值点。

（将上述H中的f（x,y）条件转化为F（x,y,z）的条件）。

Fx由于，因而:

f,,xFz

1f,,[（F，F,z）F,F（F，F,z）]，xxxxxzxzxzxzzx2Fz

注意到:

，，，，，zp,fp,0,F（M）,0x0x0x0

F（M）F（M）xx0xx0f（p）F（M）故:

,,,,，xx0z02F（M）F（M）z0z0

F（M）F（M）xy0yy0类似:

f（p）,f（p），,,,,xy0yy0F（M）F（M）z0z0

F（M）F（M）,,1xx0xy0,,故H,,，,,F（M）F（M）F（M）xy0yy0z0,,

F（M）F（M）,,1xx0xy0,,H,,故充分条件是:

正定时，,,F（M）F（M）F（M）xy0yy0z0,,p（x,y）为极小点;

000

F（M）F（M）,,1xx0xy0,,H,,负定时，,,F（M）F（M）F（M）xy0yy0z0,,

p（x,y）为极大点。

222应用:

考察由F（x,y,z）,0,x，y，z,2x，2y,4z,10所确定的隐函数的极值。

由上述结论，先求解

F,2x,2,0,x,F,2y，2,0，,y

F,0,

得两组解解:

M（1,,1,6）,M（1,,1,,2）12

由于，则在点附近确定的隐函数为FM（）0,Mizi

，进一步判断在点的极z,f（x,y）,i,1,2z,fp（1,,1）,p（1,,1）ii12

值性质。

计算，故FxyFxyFxyFxyz（,）2,（,）0,（,）2,（,）24,,,,,xxxyyyz

10,,1,,是负定的，因而为的极大（）,,HMpz,f（1,,1）111,,014,,

值点;

10,,1,,是正定的，因而为的极小（）,pHMz,f（1,,1）222,,014,,

值点。

222事实上:

F=0为球面，因而在（x,1），（y,1），（z,2）,16

22z,2，16,（x,1）,（y，1）附近确定，为其最大值点;

M（1,,1）1

22z,2,16,（x,1）,（y，1）在附近确定，为其最小值M（1,,1）2

点。

p注、由上述过程可知，极大值点p和极大值点并（1,,1）（1,,1）21

不是对同一个

M（1,1,6）,M（1,1,2）,,函数而言的，。

这是由于在和附近，确定12不同的隐函数。

22z,2，16,（x,1）,（y，1）注、对函数，其最小值在圆周

22曲线上达到，但这个实事没有在解题过程中

（1）

（1）16xy,，,,

22反映出来，其原因为在圆周曲线上的点附近，

（1）

（1）16xy,，,,

不能确定隐函数。