四年级加乘原理进阶和典型例题解析Word格式文档下载.docx
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旗帜问题--重要
三、基本知识点
①加法原理
做一件事有几类方法,每一类中任何一种方法都可以独立完成任务,只要将每一类的选择数依次相加,即可得到总的选择数。
例
超市的泡面按品牌分为三类:
康师傅、今麦郎和统一;
而康师傅的有4种口味,今麦郎有2种,统一有3种,则买一包泡面不同的选择方式有:
4+2+3=9(种)
总结:
加法分类,类类独立。
②乘法原理
做一件事需要分成几步,每一步不能独立完成任务,但互相关联,缺一不可,只要将每一步的选择数依次相乘,即可得到总的选择数。
肯德基买一份套餐可以享受优惠,套餐包含一个汉堡,一份小吃,一份饮料;
共有3种汉堡,5种小吃,4种饮料,则共有不同的套餐选择数:
3×
5×
4=60(种)
乘法分步,步步相关。
四、典型问题解决----先分类,后分步
例(路线问题)小明要从A地去C地,从A直接到C有2条不同的线路;
也可以从A地先到B地,再由B地到C地,从A到B有4条不同的线路,从B到C有2条不同的线路。
则从A地到C地不同的选择数共有:
2+2×
4=10(种)
加乘原理类问题,可按四个步骤进行思考:
1)需要做什么事情
2)怎样才算完成任务
3)需要分类还是分步
4)用加法还是用乘法
1、组数问题
需考虑如下几个方面:
(1)要组一个几位数(几位就是几步)
(2)组数时是否要求数字不重复(要求不重复时后面的选择数变少)
(3)组数时有无特殊位置,如首位不为零或要求组奇数、偶数(优先考虑特殊位置)
(4)当既要求组奇数,又要考虑首位不为零时,先考虑个位,再考虑首位。
特别地,当要组偶数,又要考虑首位不为零时,要进行分类,分为个位是零和个位不是零两种情况去考虑。
例用0,1,2,3,4可以组成多少个无重复数字的三位偶数?
首先进行分类:
⏹个位为零时
个位只有1种选择,首位有4种选择,十位剩3种选择,则有1×
4×
3=12(个);
⏹个位不为零时
个位有2种选择,首位有3种选择,十位剩3种选择,则有2×
3=18(个);
总共有12+18=30(个)
2、染色问题(要求相邻两块不能染成同色)
⏹对于直线型如下图所示,我们按从一端染色到另一端即可。
例:
共四种不同颜色的染料
⏹对于复杂型如下图,要先染相邻最多的那一块,然后按顺时针或逆时针的次序染色。
共四种不同颜色染料
3、填数问题
先分析特殊位置上的数该填多少,有多种填法可分成几类;
每一类中剩下的数填时可应用乘法原理分步相乘得出。
从1,2,3,4,5中选出4个填入下面四个格中,要求左比右小,上比下小。
先填左上和右下两格,可以有三种填法:
(1)左上1,右下4,则剩下两格有2×
1=2(种)填法
(2)左上2,右下5,则剩下两格有2×
(3)左上1,右下5,则剩下两格有3×
2=6(种)填法
总共2+2+6=10(种)
4.旗帜问题
1)如果红、黄两种颜色的旗子各2面,用任意两面旗子来表示一种信号。
若采用分类的方法进行统计可以有的信号数,则可分两类:
一种颜色:
红红、黄黄共2种;
两种颜色:
红黄、黄红共2种;
总共2+2=4(种)
若采用分步的方法进行统计,则每面旗都有2种颜色可选:
2×
2=4(种)也可以得到结果。
►【拓】若只有1面红旗,2面黄旗,则只有一种颜色的“红红”是无法摆出的信号,故这时可以有的信号种数为
4-1=3(种)
2)如果有3面红旗,3面黄旗,3面蓝旗,用任意三面旗子来表示一种信号。
若采用分类的方法进行统计可以有的信号数,可分为三类:
红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝共3种;
红红黄、红红蓝、黄黄红、黄黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、红黄黄、红蓝蓝、黄红红、黄蓝蓝、蓝红红、蓝黄黄、红黄红、红蓝红、黄红黄、黄蓝黄、蓝红蓝、蓝黄蓝共18种;
(太多了!
最好用分步的方法去算出来。
可以看成先选一种主色(就是有两面旗的)有3种选法,再选一种辅色(就是一面旗的啦!
)有2种选法,而主辅两色可以有3种不同顺序(我只画红为主色黄为辅色的见下图),则共有3×
3=18(种))
三种颜色:
红蓝黄、红黄蓝、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红共6种;
总计:
3+18+6=27(种)
若采用分步的方法进行统计,则每一面旗子都有3种颜色可选:
3=27(种)也可以得到结果。
►【拓】若只有2面红旗,2面黄旗,3面蓝旗则只有一种颜色的“红红红”和“黄黄黄”是无法摆出的信号,故这时可以有的信号种数为
27-2=25(种)
3)红、黄、蓝、白四种不同颜色的小旗,分别有2、2、3、3面,任取三面排成一行表示一种信号,共可以表示几种信息?
白旗不打头的信号共有几种?
解题过程:
1)共可以表示几种信号:
⏹取一种颜色,即三面旗同色。
只能是蓝色和白色,故2种
⏹取两种颜色,2面相同颜色+1面其它颜色,首先选出一种颜色的旗拿出2面,有4种选择;
再从剩下的三种颜色中拿1面,有3种选择;
3面旗因为顺序不同有3种情况(即单色可以在最前面、中间、最后面三种情况);
所以共有4x3x3=36种
⏹取三种颜色,4×
2=24种
⏹共有2+36+24=62
2)白色打头的情况:
2.1一种思路是分组:
⏹三个白色:
1种
⏹两个白色:
白色+白色+其它色3种,白色+其它色+白色3种,3+3=6种
⏹一个白色:
白色+其它两种色1×
3=9种
2.2一种思路不分组,分步做
⏹第一次只能取白色,第二次四种颜色都可以取,第三次四种颜色依然都可以取。
1×
4=16
3)白色不打头的情况:
⏹62-(1+6+9)=62-16=46种
4)红、黄、蓝、白四种不同颜色的小旗,分别有2、3、3、3面,任取三面排成一行表示一种信号,共可以表示几种信息?
共可以表示几种信号:
可能是黄色、蓝色和白色,故3种
⏹共有3+36+24=63
5)红、黄、蓝、白四种不同颜色的小旗,分别有3、3、3、3面,任取三面排成一行表示一种信号,共可以表示几种信息?
可能是红色、黄色、蓝色和白色,故4种
⏹共有4+36+24=64
还有一种做法,直接分步做:
4=64
6)甲乙丙丁四人各有一本作业本混放在一起,四人没人随便拿了一本,
⏹则甲拿到自己作业本的拿法有几种?
⏹只有一人拿到自己作业本的拿法有几种?
⏹
⏹至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有几种?
⏹谁也没有拿到自己作业本的拿法有几种?
⏹甲拿自己的,乙丙丁随便,种数1×
1=6种。
⏹假设甲拿到自己的,则乙只能有两个选择(丙或丁),而丙丁只有1种选择,所以共2种,一共4个人,所以是8种。
⏹至少有一个人没拿到自己的反面就是都拿到自己的,只有1种情况。
而总共的情况为4*3*2*1=24种,所以符合条件为24-1=23种。
⏹对于第一个拿的人有3种选择,而第二个拿的人只有2种选择,剩下两个只有1种选择,所以共3×
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