初中数学三角函数难题Word文件下载.docx
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7.如果α是锐角,且sin
2α十cos235°
=1,那么α=度.
8.因为cos30°
=,cos210°
=﹣,所以cos210°
=co(s180°
+30°
)=﹣cos30°
﹣;
因为cos45°
=,cos225°
=﹣,所以cos225°
=cos(180°
+45°
)=﹣cos45°
猜想:
一般地,当a为锐角时,有cos(180°
+a)=﹣cosa,由此可知cos240°
的值等于.
9.在△ABC中,已知sinA=,cosB=,则∠C=.
10.在△ABC中,(tanC﹣1)2+|﹣2cosB|=0,则∠A=.
11.若α、β均为锐角,则以下有4个命题:
①若sinα<sinβ,则α<β;
②若α+β=90°
,则sinα=cosβ;
③存在一个角α,使sinα=1.02;
④tanα=
.其中正确命题的序号是.(多填或错填得0分,少填的酌情给
分)
12.附加题:
如图,在Rt△ABC中,BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c,则
sinA=,cosA=,tanA=.我们不难发现:
sin
260°
+cos260°
=1,⋯试探求sinA、
cosA、tanA之间存在的一般关系,并说明理由.
13.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:
sinα=sin(180°
﹣α),cosα=﹣cos(180°
﹣α)
(1)求sin120°
,cos120°
,sin150°
的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1:
1:
4,A,B是这个三角形的两个顶点,
2
sinA,cosB是方程4x﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B
的大小.
14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,AB=4,∠B=45°
.动点M
从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;
动点N同时从
C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t
秒.
(1)求BC的长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:
t为何值时,△MNC为等腰三角形.
15.如图,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°
和60度.如
果这时气球的高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上,求建筑物A、B间
的距离.
16.钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土,为维护国家主权和海洋权利,我国海
监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图,某日在我国钓鱼岛
附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B,B船在A船的正东方向,且两船保
持20海里的距离,某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向,B的北偏东15°
方向有一我国渔政执法船C,求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号
【解答】解:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=6°
0.
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角,
∴∠ADB=6°
∴sin∠ADB=sin60°
=.
故选C.
2.(2013?
崇明县一模)在Rt△ABC中,∠C=90°
,BD是△ABC的角平分线,将
△BCD沿着直线BD折叠,点C落在点C1处,如果AB=5,AC=4,那么sin∠ADC1
的值是.
∵∠C=90°
,BD是△ABC的角平分线,
∵将△BCD沿着直线BD折叠,
∴C1点恰好在斜边AB上,
∴∠DC1A=90°
,
∴∠ADC1=∠ABC,
∵AB=5,AC=4,
∴sin∠ADC1=.
故答案为:
.
3.(2012?
衡阳)观察下列等式
﹣a)=1.
由题意得,sin
230°
+sin2(90°
﹣30°
)=1;
245°
﹣45°
﹣60°
故可得sin
1.
4.(2010?
防城港)有四个命题:
其中正确命题的序号是①④(注:
①因为sin45°
=,再结合锐角三角函数的变化规律,故
此选项正确;
②不一定能够判定两个三角形全等,故此选项错误;
③根据根与系数的关系,得x1+x2=﹣,x1x2=.
∴x1+x2+x1x2=,是正数.
故此选项错误;
4
④根据题意,得2小时它由1个分裂2
个,即16个,故此选项正确.
故正确的有①④.
5.(2011?
莆田)如图,一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上点C反射后
经过点B(1,0),则光线从点A到点B经过的路径长为5.
如图所示,
延长AC交x轴于B′.则点B、B′关于y轴对称,CB=C′B.
作AD⊥x轴于D点.则AD=3,DB′=3+1=4.
∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5.
即光线从点A到点B经过的路径长为5.
6.(2007?
眉山)在Rt△ABC中,∠C=90°
∵Rt△ABC中,∠C=90°
4,
∴设BC=3x,则AC=4x,
∴AB=5x,
∴cosA===.
7.(2002?
西城区)如果α是锐角,且sin
235°
=1,那么α=35度.
α十cos
∵sin
=1,
∴α=35°
8(.2010?
湛江)因为cos30°
)
=﹣cos30°
=﹣;
的值等于﹣.
∵当a为锐角时,有cos(180°
+a)=﹣cosa,
∴cos240°
+60°
)=﹣cos60°
=﹣.
9.(2013?
邵阳模拟)在△ABC中,已知sinA=,cosB=,则∠C=105°
∵sinA=,cosB=,
∴∠A=30°
,∠B=45°
∴∠C=180°
=105°
105°
10.(2012?
海南模拟)在△ABC中,(tanC﹣1)2+|﹣2cosB|=0,则∠A=105°
∵(tanC﹣1)
2+|﹣2cosB|=0,
∴tanC﹣1=0,﹣2cosB=0,
即tanC=1,cosB=,
又∵B、C在同一个三角形中,
∴B=30°
,C=45°
∴A=180°
故答案是105°
11.(2011?
九江模拟)若α、β均为锐角,则以下有4个命题:
①若sinα<
sinβ,则α<β;
③存在一个角α,使
sinα=1.02;
④tanα=.其中正确命题的序号是①②④.(多填或错
填得0分,少填的酌情给分)
∵sinα<sinβ,则α<β;
故此选项正确;
,则sinα=cos(90°
﹣α)=cosβ,
∴故此选项正确;
③存在一个角α,sinα=,
∴sinα≤1,
∴sinα=1.02,故此选项错误;
④tanα=.根据对应边之间关系得出,
故此选项正确.
①②④.
12.(2008?
庆阳)附加题:
如图,在Rt△ABC中,BC、AC、AB三边的长分别为
a、b、c,则sinA=,cosA=,tanA=.我们不难发现:
=1,⋯
试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系,并说明理由.
存在的一般关系有:
(1)sin
2A+cos2A=1;
(2)tanA=.
证明:
(1)∵sinA=,cosA=,
a2+b2=c2,
∴sin
2A+cos2A==1.
(2)∵sinA=,cosA=,
∴tanA==,
13.(2013?
大庆)对于钝角α,定义它的三角函数值如下:
(1)由题意得,
sin120°
=sin(180°
﹣120°
)=sin60°
=,
cos120°
=﹣cos(180°
=﹣,
sin150°
﹣150°
)=sin30°
;
(2)∵三角形的三个内角的比是1:
∴三个内角分别为30°
,30°
,120°
①当∠A=30°
,∠B=120°
时,方程的两根为,﹣,
将代入方程得:
4×
()
﹣m×
﹣1=0,
解得:
m=0,
经检验﹣是方程4x﹣1=0的根,
∴m=0符合题意;
②当∠A=120°
,∠B=30°
时,两根为,,不符合题意;
③当∠A=30°
时,两根为,,
经检验不是方程4x﹣1=0的根.
综上所述:
m=0,∠A=30°
14.(2010?
密云县)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,AB=4,
∠B=45°
.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;
动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设
运动的时间为t秒.
(1)如图①,过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H,则四边形
ADHK是矩形.
∴KH=AD=.3
在Rt△ABK中,AK=AB?
sin45°
=4?
=4,BK=AB?
cos4°
5=4=4.
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC==3.
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3.=10
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=.3
∴GC=10﹣3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=1﹣02t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC∠=DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴,
即.
解得,.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10﹣2t,
∴.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得:
EC=MC=(10﹣2t)=5﹣t.
在Rt△CEN中,cosC==,
又在Rt△DHC中,cosC=,
解得t=.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC∠=NEC=9°
0,
∴△NEC∽△DHC.
∴t=.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=NC=t.
(方法同②中解法一),
解得.
∵∠C=∠C,∠MFC∠=DHC=9°
∴△MFC∽△DHC.
即,
综上所述,当t=、t=或t=时,△MNC为等腰三角形.
15.(2015?
甘南州)如图,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为
30°
和60度.如果这时气球的高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上,求
建筑物A、B间的距离.
由已知,得∠ECA=3°
0,∠FCB=60°
,CD=90,
EF∥AB,CD⊥AB于点D.
∴∠A=∠ECA=3°
0,∠B=∠FCB=60°
在Rt△ACD中,∠CDA=9°
0,tanA=,
∴AD==90×
=90.
在Rt△BCD中,∠CDB=9°
0,tanB=,
∴DB==30.
∴AB=AD+BD=90+30=120.
答:
建筑物A、B间的距离为120米.
16.(2013?
遂宁)钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土,为维护国家主权和海
洋权利,我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图,某
日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B,B船在A船的正东
方向,且两船保持20海里的距离,某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向,
B的北偏东15°
方向有一我国渔政执法船C,求此时船C与船B的距离是多少.(结
果保留根号)
过点B作BD⊥AC于D.
由题意可知,∠BAC=4°
5,∠ABC=9°
0+15°
∴∠ACB=18°
0﹣∠BAC﹣∠ABC=3°
在Rt△ABD中,BD=AB?
sin∠BAD=20×
=10(海里),
在Rt△BCD中,BC===20(海里).
此时船C与船B的距离是20海里.
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