高中数学必修4三角函数的图像与性质文档格式.docx
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π
0<
x<
2或π≤x≤
x≤4,
kπ≤x<
kπ+2,k∈Z,
4,所以函数的定义域是0,π2∪[π,4].
2sin(cosx)≥00≤cosx≤12kπ-2≤xπ
≤2kπ+2,k∈Z,所以函数的定义域是ππ
x2kπ-2≤x≤2kπ+2,k∈Z.
3由sin(cosx)>
02kπ<
cosx<
2kπ+πk(∈Z),
又∵-1≤cosx≤1,∴0<
cosx≤1,∴所求定
ππ
义域为2kπ-2,2kπ+2,k∈Z.
(2)0≤cosx<
12kπ-2≤x≤2kπ+2,且
x≠2kπ(k∈Z),
∴所求函数的定义域为2kπ-2,2kπ∪(2k
ππ,2kπ+2],k∈Z.考点2求三角函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间:
1π2x
sinx+4
(1)y=12sinπ4-23x;
(2)y=-
π2xπ3π9π
由2kπ+2≤3-4≤2kπ+23kπ+8
21π
≤x≤3kπ+8(k∈Z),
3π
即函数的单调递减区间为[3kπ-8,3kπ+
9π9π
8](k∈Z),单调递增区间为[3kπ+8,3kπ+
(2)作出函数y=-sinx+π4的简图(如图所示),由图象得函数的单调递增区间为kπ+4π,kπ+34π(k∈Z),单调递减区间为kπ-4π,kπ+π4(k∈Z).
考点3求三角函数的最小正周期、最值(值域)【例3】
(1)求下列函数的值域。
①y=cos(x+6),x∈[0,2];
②y=-sin2x-3cosx
(2)已知f(x)=Asin(ωx+φ)+π
1x∈R,其中A>
0,ω>
0,0<
φ<
2的周期为2
π,且图象上一个最低点为M3π,-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈0,12时,求f(x)的值域.
2π
2)、
(1)因为函数的周期为π,所以有T=ω
π,所以ω=2,因为函数图象上一个最低点为
M3π,-1,所以-A+1=-1,所以A=2,并
2π2π
且-1=2sin2×
3+φ+1,可得sin2×
3+φ
2sin2x+π+1∈[2,1+3],
6
所以f(x)的值域为[2,1+3].
考点4三角函数的奇偶性、对称性的应用
【例4】
(1)求函数y=3sin(2x+π6)的对称轴和对称中心。
(2)若函数?
(x)=sinx+3φ(φ∈[0,2π)是]偶函数,则φ=。
(3)已知函数fx=sinωx+6(ω>
0,)若函数fx图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最π
小值为3,则ω的值为.
(2)因为?
(x)是偶函数,所以x+3φ=π2+kπ(k∈Z),φ=2π+3π(k∈Z),
又φ∈[0,2π,]所以φ=32π;
考点5正切函数的图像与性质
【例5】
(1)判断函数?
(x)=lgttaannxx-+11的奇偶性。
(2)设函数?
(x)=tan(x2-π3).①求函数?
(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心;
②求不等式-1≤?
(x)≤√3的解集。
解析:
(1)由ttaannxx-+11>
0得tanx<
-1或tanx>
1
解析
(1)由—≠-^-+Aτr得x≠-y-+2Λπ(A∈Z),
由-专+加<
<
—÷
Aπ(A∈Z)J⅜-y+2⅛π<
^+
2E(k∈Z).λ函数/(兀)的单调递增区间是(晋+2加罟+2TgZ),无单调递减区间.
由—=⅛A∈Z),得归卄?
K,故函数/(兀)的对称2323
中心是(ATr十彳5,0),AeZ.
X
TT
2
3丿
(2)由-IWtan
Z-XeZTrIXTTTr
≤√3jf-τ÷
⅛π≤τ-y≤y÷
Tr4xτr
kn(k∈Z),解得—+2Aπ≤x≤—+2Azτr(k∈Z).
63
•••不等式一1≤/(X)≤√3的解集
Ir4τr
—+2Azπ,≤x≤—+2⅛πtk∈Z
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