北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案Word格式.docx
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北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案Word格式.docx
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,∠B=15°
,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于( )
10cm
8cm
5cm
7.(2013•西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°
,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
8.(2013•滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°
,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:
∠CAE=3:
1,则∠C等于( )
28°
25°
°
20°
9.(2013•澄江县一模)若一个等腰三角形至少有一个内角是88°
,则它的顶角是( )
88°
或2°
4°
或86°
或4°
或46°
10.(2012•泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为( )
11.(2011•成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°
,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是( )
1
12.(2006•威海)如图,在△ABC中,∠ACB=100°
,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为( )
30°
40°
二.填空题(共6小题)
13.(2014•长春)如图,在△ABC中,∠C=90°
,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 _________ .
14.(2013•泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°
,DE=1,则BE的长是 _________ .
15.(2013•沈阳模拟)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,若∠BAC=70°
,则∠CAE= _________ .
16.(2012•通辽)如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO= _________ .
17.(2012•广东模拟)在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°
,则∠DCB的度数是 _________ .
18.(2009•临沂)如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°
,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB= _________ 度.
三.解答题(共12小题)
19.(2014•翔安区质检)如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周长.
20.(2014•长春模拟)如图,D为△ABC边BC延长线上一点,且CD=CA,E是AD的中点,CF平分∠ACB交AB于点F.求证:
CE⊥CF.
21.(2014•顺义区一模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°
,∠C=60°
,BC=4,CD=3,求AB的长.
22.(2013•湘西州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
23.(2012•重庆模拟)如图,已知△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°
,E为AB的中点,求证:
CE=DE.
24.(2010•攀枝花)如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:
EF∥BC;
(2)若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.
25.(2009•大连二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,BD=BC,CE⊥BD于点E.
求证:
AD=BE.
26.(2007•宜宾)已知;
如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90度.F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF.
AE=CF;
(2)若∠CAE=30°
,求∠EFC的度数.
27.(2006•韶关)如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.
EF⊥AD;
(2)若DE∥AC,且DE=1,求AD的长.
28.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,∠A=30°
,BD平分∠ABC交AC于点D,求点D到斜边AB的距离.
29.如图,在△ABC中,∠CAB=90°
,AB=3,AC=4,AD是∠CAB的平分线,AD交BC于D,求BD的长.
30.如图,四边形ABCD中,AB=BC,AB∥CD,∠D=90°
,AE⊥BC于点E,求证:
CD=CE.
参考答案与试题解析
考点:
角平分线的性质.优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
解答:
解:
如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴×
4×
2+×
AC×
2=7,
解得AC=3.
故选:
点评:
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有
根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP,再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的内角和等于180°
列出方程求解即可.
∵直线M为∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠CBP.
∵直线L为BC的中垂线,
∴BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°
,
即3∠ABP+60°
+24°
=180°
解得∠ABP=32°
.
本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键.
等腰三角形的性质;
非负数的性质:
偶次方;
算术平方根;
解二元一次方程组;
三角形三边关系.菁优网版权所有
先根据非负数的性质求出a,b的值,再分两种情况确定第三边的长,从而得出三角形的周长.
∵|2a﹣3b+5|+(2a+3b﹣13)2=0,
∴,
解得,
当a为底时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为8;
当b为底时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为7;
综上所述此等腰三角形的周长为7或8.
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组,是基础知识要熟练掌握.
直角三角形斜边上的中线;
勾股定理;
勾股定理的逆定理.菁优网版权所有
连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,∠ACD=∠GCF=45°
,再求出∠ACF=90°
,然后利用勾股定理列式求出AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
如图,连接AC、CF,
∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,
∴AC=,CF=3,
∠ACD=∠GCF=45°
∴∠ACF=90°
由勾股定理得,AF===2,
∵H是AF的中点,
∴CH=AF=×
2=.
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,正方形的性质,勾股定理,熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出△ABD的周长=AB+BC,再求出AC的长,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,
∵AE=4cm,
∴AC=2AE=2×
4=8cm,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm.
故选B.
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键.
线段垂直平分线的性质;
勾股定理.菁优网版权所有
探究型.
连接AD,先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数,再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数,根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数,最后由直角三角形的性质即可求出AC的长.
连接AD,
∵DE是线段AB的垂直平分线,BD=15,∠B=15°
∴AD=BD=10,
∴∠DAB=∠B=15°
∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°
+15°
=30°
∵∠C=90°
∴AC=AD=5cm.
故选C.
本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键.
角平分线的性质;
含30度角的直角三角形;
由OP平分∠AOB,∠AOB=60°
,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°
,又由含30°
角的直角三角形的性质,即可求得PE的值,继而求得OP的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得DM的长.
∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°
∴∠AOP=∠COP=30°
∵CP∥OA,
∴∠AOP=∠CPO,
∴∠COP=∠CPO,
∴OC=CP=2,
∵∠PCE=∠AOB=60°
,PE⊥OB,
∴∠CPE=30°
∴CE=CP=1,
∴PE==,
∴OP=2PE=2,
∵PD⊥OA,点M是OP的中点,
∴DM=OP=.
此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°
直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
计算题.
设∠CAE=x,则∠EAB=3x.根据线段的垂直平分线的性质,得AE=CE,再根据等边对等角,得∠C=∠CAE=x,然后根据三角形的内角和定理列方程求解.
设∠CAE=x,则∠EAB=3x.
∵AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,
∴AE=CE.
∴∠C=∠CAE=x.
根据三角形的内角和定理,得
∠C+∠BAC=180°
﹣∠B,
即x+4x=140°
x=28°
则∠C=28°
故选A.
此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理.
等腰三角形的性质.菁优网版权所有
分88°
内角是顶角和底角两种情况讨论求解.
是顶角时,等腰三角形的顶角为88°
是底角时,顶角为180°
﹣2×
=4°
综上所述,它的顶角是88°
本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质,难点在于要分情况讨论.
矩形的性质.菁优网版权所有
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE,设CE=x,表示出ED的长度,然后在Rt△CDE中,利用勾股定理列式计算即可得解.
∵EO是AC的垂直平分线,
∴AE=CE,
设CE=x,则ED=AD﹣AE=4﹣x,
在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,
即x2=22+(4﹣x)2,
解得x=,
即CE的长为.
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,勾股定理的应用,把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键.
根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°
,再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°
,从而得到∠DBC=∠ACB,然后利用等角对等边的性质求出BD的长度,再根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半求出AD,过点D作DE⊥BC于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.
∵Rt△ABC中,∠ACB=30°
∴∠ABC=60°
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=30°
∴∠DBC=∠ACB,
∴BD=CD=4,
在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°
∴AD=BD=×
4=2,
过点D作DE⊥BC于点E,
则DE=AD=2.
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质,以及等角对等边的性质,小综合题,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.
根据此题的条件,找出等腰三角形,找出相等的边与角度,设出未知量,找出满足条件的方程.
∵AC=AE,BC=BD
∴设∠AEC=∠ACE=x°
,∠BDC=∠BCD=y°
∴∠A=180°
﹣2x°
∠B=180°
﹣2y°
∵∠ACB+∠A+∠B=180°
∴100+(180﹣2x)+(180﹣2y)=180,得x+y=140,
∴∠DCE=180﹣(∠AEC+∠BDC)=180﹣(x+y)=40°
.故选D.
根据题目中的等边关系,找出角的相等关系,再根据三角形内角和180°
的定理,列出方程,解决此题.
,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 15 .
角平分线的性质.菁优网版权所有
要求△ABD的面积,现有AB=7可作为三角形的底,只需求出该底上的高即可,需作DE⊥AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长,即可求解.
作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为×
3×
10=15.
故答案是:
15.
此题主要考查角平分线的性质;
熟练运用角平分线的性质定理,是很重要的,作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.
,DE=1,则BE的长是 2 .
根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°
,则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.
∵∠ACB=90°
,FD⊥AB,
∴∠ACB=∠FDB=90°
∵∠F=30°
∴∠A=∠F=30°
(同角的余角相等).
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E,
∴∠EBA=∠A=30°
∴直角△DBE中,BE=2DE=2.
2.
本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知∠EBA=30°
,则∠CAE= 55°
.
首先过点E作EF⊥BD于点F,作EG⊥AC于点G,作EH⊥BA于点H,由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,易证得AE是∠CAH的平分线,继而求得答案.
过点E作EF⊥BD于点F,作EG⊥AC于点G,作EH⊥BA于点H,
∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,
∴EH=EF,EG=EF,
∴EH=EG,
∴AE是∠CAH的平分线,
∵∠BAC=70°
∴∠CAH=110°
∴∠CAE=∠CAH=55°
故答案为:
55°
此题考查了角平分线的性质与判定.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
S△CAO= 4:
5:
6 .
压轴题.
首先过点O作OD⊥AB
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- 北师大 年级 下册 数学 第一章 三角形 证明 详细 答案