直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案_精品文档.doc
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直线、平面平行的判定及其性质
1.下列命题中,正确命题的是④.
①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥;
②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行;
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
2.下列条件中,不能判断两个平面平行的是(填序号).
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③
3.对于平面和共面的直线m、n,下列命题中假命题是(填序号).
①若m⊥,m⊥n,则n∥
②若m∥,n∥,则m∥n
③若m,n∥,则m∥n
④若m、n与所成的角相等,则m∥n答案①②④
4.已知直线a,b,平面,则以下三个命题:
①若a∥b,b,则a∥;
②若a∥b,a∥,则b∥;
③若a∥,b∥,则a∥b.
其中真命题的个数是.答案0
5.直线a//平面M,直线bM,那么a//b是b//M的条件.
A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.不充分也不必要
6.能保证直线a与平面平行的条件是
A.B.
C.
D.且
7.如果直线a平行于平面,则
A.平面内有且只有一直线与a平行B.平面内无数条直线与a平行
C.平面内不存在与a平行的直线D.平面内的任意直线与直线a都平行
8.如果两直线a∥b,且a∥平面,则b与的位置关系
A.相交B.C.D.或
9.下列命题正确的个数是
10.
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
(2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
(4)若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥α
A.0个B.1个C.2个D.3个
11.b是平面α外的一条直线,下列条件中可得出b∥α是
A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交
12.已知两条相交直线a、b,a∥平面α,则b与α的位置关系
A.b∥αB.b与α相交C.bαD.b∥α或b与α相交
13.如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明.
解SG∥平面DEF,证明如下:
方法一:
三角形中位线连接CG交DE于点H,如图所示.
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB.
在△ACG中,D是AC的中点,
且DH∥AG.
∴H为CG的中点.
∴FH是△SCG的中位线,
∴FH∥SG.
又SG平面DEF,FH平面DEF,
∴SG∥平面DEF.
方法二:
平面平行的性质
∵EF为△SBC的中位线,∴EF∥SB.
∵EF平面SAB,SB平面SAB,
∴EF∥平面SAB.
同理可证,DF∥平面SAB,EF∩DF=F,
∴平面SAB∥平面DEF,又SG平面SAB,∴SG∥平面DEF.
14.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是BC、CC1、
C1D1、A1A的中点.求证:
(1)BF∥HD1;
(2)EG∥平面BB1D1D;
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明平行四边形的性质,平行线的传递性
(1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1.
又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OEDC,
又D1GDC,∴OED1G,
∴四边形OEGD1是平行四边形,∴GE∥D1O.
又D1O平面BB1D1D,∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由
(1)知D1H∥BF,又BD∥B1D1,B1D1、HD1平面HB1D1,BF、BD平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H.
15.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,M、N分别是BC和A1B1的中点.
求证:
MN∥平面AA1C1C.
证明方法一:
平行四边形的性质
设A1C1中点为F,连接NF,FC,
∵N为A1B1中点,
∴NF∥B1C1,且NF=B1C1,
又由棱柱性质知B1C1BC,
又M是BC的中点,
∴NFMC,
∴四边形NFCM为平行四边形.
∴MN∥CF,又CF平面AA1C1,MN平面AA1C1,∴MN∥平面AA1C1C.
方法二:
三角形中位线的性质
连接AM交C1C于点P,连接A1P,
∵M是BC的中点,且MC∥B1C1,
∴M是B1P的中点,
又∵N为A1B1中点,
∴MN∥A1P,又A1P平面AA1C1,MN平面AA1C1,∴MN∥平面AA1C1C.
方法三:
平面平行的性质
设B1C1中点为Q,连接NQ,MQ,
∵M、Q是BC、B1C1的中点,
∴MQCC1,又CC1平面AA1C1C,MQ平面AA1C1C,
∴MQ∥平面AA1C1C.
∵N、Q是A1B1、B1C1的中点,
∴NQA1C1,又A1C1平面AA1C1C,NQ平面AA1C1C,
∴NQ∥平面AA1C1C.
又∵MQ∩NQ=B,∴平面MNQ∥平面AA1C1C,
又MN平面MNQ∴MN∥平面AA1C1C.
16.如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有两点E,F,且B1E=C1F.
求证:
EF∥平面ABCD.
方法一:
平行四边形的性质
过E作ES∥BB1交AB于S,过F作FT∥BB1交BC于T,
连接ST,则,且
∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴AE=BF
∴,∴ES=FT
又∵ES∥B1B∥FT,∴四边形EFTS为平行四边形.
∴EF∥ST,又ST平面ABCD,EF平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.
方法二:
相似三角形的性质
连接B1F交BC于点Q,连接AQ,
∵B1C1∥BC,∴
∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴
∴EF∥AQ,又AQ平面ABCD,EF平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.
方法三:
平面平行的性质
过E作EG∥AB交BB1于G,
连接GF,则,
∵B1E=C1F,B1A=C1B,
∴,∴FG∥B1C1∥BC,
又EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD,而EF平面EFG,
∴EF∥平面ABCD.
17.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解面面平行的判定
当Q为CC1的中点时,
平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.
∵P、O为DD1、DB的中点,∴D1B∥PO.
又PO∩PA=P,D1B∩QB=B,
D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,
∴平面D1BQ∥平面PAO.
直线与平面平行的性质定理
18.如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.
(1)求证:
AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
(1)证明∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥HG.
∵HG平面ABD,∴EF∥平面ABD.
∵EF平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,
∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.
同理可证,CD∥平面EFGH.
(2)解设EF=x(0<x<4),由于四边形EFGH为平行四边形,
∴.则===1-.从而FG=6-.∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0<x<4,则有8<l<12,∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).
19.如图所示,平面∥平面,点A∈,C∈,点B∈,D∈,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.
(1)求证:
EF∥;
(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.
(1)证明两个平行平面同时与第三个平面相交,则交线平行;平行线分线段成比例
方法①当AB,CD在同一平面内时,
由∥,平面∩平面ABDC=AC,
平面∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD,
∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,
又EF,BD,∴EF∥.
方法②当AB与CD异面时,
设平面ACD∩=DH,且DH=AC.
∵∥,∩平面ACDH=AC,
∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形,
在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,
又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH,
又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面.
∵EF平面EFG,∴EF∥.综上,EF∥.
(2)解三角形中位线
如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴ME∥BD,MF∥AC,
且ME=BD=3,MF=AC=2,
∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角),
∴∠EMF=60°或120°,
∴在△EFM中由余弦定理得,
EF===,
即EF=或EF=.
20.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.
求证:
PQ∥平面BCE.
证明方法一:
平行四边形的性质如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD.
又∵AP=DQ,∴PE=QB,
又∵PM∥AB∥QN,
∴,,,∴PMQN,
∴四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN.
又MN平面BCE,PQ平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
方法二:
相似三角形的性质如图所示,连接AQ,并延长交BC于K,连接EK,
∵AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
∴= ①
又∵AD∥BK,∴= ②
由①②得=,∴PQ∥EK.
又PQ平面BCE,EK平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
方法三:
平面平行的性质如图所示,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,
连接QM.
∵PM∥BE,PM平面BCE,
即PM∥平面BCE,
∴= ①
又∵AP=DQ,∴PE=BQ,
∴= ②
由①②得=,∴MQ∥AD,
∴MQ∥BC,又∵MQ平面BCE,∴MQ∥平面BCE.
又∵PM∩MQ=M,∴平面PMQ∥平面BCE,
PQ平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
21.如图所示,正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13,M,N分别为PA,BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
(1)求证:
直线MN∥平面PBC;
(2)求线段MN的长.
(1)证明:
方法一:
相似三角形的性质
连接AN并延长交BC于Q,
连接PQ,如图所示.
∵AD∥BQ,∴△AND∽△QNB,
∴===,
又∵==,
∴==,∴MN∥PQ,
又∵PQ
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