K12学习中考数学规律探索性问题复习教育教案及到导学案Word文档格式.docx

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4＝

　　由以上三个等式相加，可得1×

2＋2×

3＋3×

3×

4×

5＝20．

　　读完以上材料，请你计算下列各题：

4＋&

#8226;

&

＋10×

11（写出过程）；

　　2．

＋n×

＝______________；

　　3．

2×

3＋2×

4＋3×

5＋&

＋7×

8×

9＝______________．

仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式

照此方法，同样有公式：

　　．　

　　解：

（1）∵1×

　　，…

　　0×

11＝

　　∴1×

11＝×

10×

11×

12＝440．

（2）．（3）1260．

本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．

　　例3（XX山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？

完成下列填空：

　　已知

　　用“&

lt;

”或“&

gt;

”填空

　　5+2

　　3+1

　　-3-1

　　-5-2

　　-2

　　4+1

　　一般地，如果

　　那么a+c

　　b+d．（用“&

”填空）

　　你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？

可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

＞，＞，＜，＞；

　　证明：

∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．

　　又∵c＞d，∴b＋c＞b＋d，

　　∴a＋c＞b＋

　　d．

本题是一个考查不等式性质的探索规律题，属于中等题．要求学生具有熟练应用不等式的基本性质和传递性进行解题的能力．区分度较好．

　　考点二：

点阵变化规律

　　在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．

　　例1：

如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律、若前n行点数和为930，则n=（　　）

　　A．29

　　B．30

　　c．31

　　D．32

有图个可以看出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。

设前n行的点数和为s．

　　则s=2+4+6+…+2n==n（n+1）．

　　若s=930，则n（n+1）=930．

　　∴（n+31）（n﹣30）=0．

　　∴n=﹣31或30．故选B．

主要考查了学生通过特例，分析从而归纳总结出一般结论的能力．

　　例2观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（　　）

　　A.3n﹣2

　　B.3n﹣1

　　c.4n+1

　　D.4n﹣3

　　考点：

规律型：

图形的变化类。

　　专题：

规律型。

根据所给的数据，不难发现：

第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．

第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．故选D．

此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算．

　　考点三：

循环排列规律

　　循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。

（XX广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第XX个图形是（　　）

　　A．

　　B．

　　c．

　　D．

图形的变化类．

规律型．

本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求XX被4整除后余数是3，从而确定是第3个图形．

根据题意可知笑脸是1，2，3，4即4个一循环．所以XX÷

4=501…3．所以是第3个图形．故选c．

主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．

　　例2：

下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前XX个梅花图案中，共有　

　　　个“”图案．

注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．

观察图形可以发现：

依次是向上、右、下、左4个一循环．所以XX÷

4=503余1，则共有503+1=504个．

　　考点四：

图形生长变化规律

　　探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.

　　例1（XX四川乐川）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°

角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．

　　请解答下列问题：

（1）S1=　

（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn=　

根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．

（1）∵第一个正方形的边长为1，

　　∴正方形的面积为1，

　　又∵直角三角形一个角为30°

，

　　∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是=，

　　∴三角形的面积为×

÷

2=，

　　∴S1=1+；

（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，

　　同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，

　　∴S2=（1+）&

，依此类推，S3═（1+）&

，即S3═（1+）&

　　Sn=（n为整数）．

本题重点考查了勾股定理的运用．

　　例2（XX重庆江津区）如图，四边形ABcD中，Ac＝a，BD＝b，且Ac丄BD，顺次连接四边形ABcD各边中点，得到四边形A1B1c1D1，再顺次连接四边形A1B1c1D1各边中点，得到四边形A2B2c2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBncnDn．下列结论正确的有（　　）

　　①四边形A2B2c2D2是矩形；

　　②四边形A4B4c4D4是菱形；

　　③四边形A5B5c5D5的周长是

　　④四边形AnBncnDn的面积是．

　　A、①②

　　B、②③

　　c、②③④

　　D、①②③④

首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABcD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：

　　①根据矩形的判定与性质作出判断；

　　②根据菱形的判定与性质作出判断；

　　③由四边形的周长公式：

周长＝边长之和，来计算四边形A5B5c5D5

　　的周长；

　　④根据四边形AnBncnDn

　　的面积与四边形ABcD的面积间的数量关系来求其面积．

①连接A1c1，B1D1．

　　∵在四边形ABcD中，顺次连接四边形ABcD各边中点，得到四边形A1B1c1D1

　　∴A1D1∥BD，B1c1∥BD，c1D1∥Ac，A1B1∥Ac；

　　∴A1D1∥B1c1，A1B1∥c1D1，

　　∴四边形ABcD是平行四边形；

　　∴B1D1＝A1c1（平行四边形的两条对角线相等）；

　　∴A2D2＝c2D2＝c2B2＝B2A2（中位线定理），

　　∴四边形A2B2c2D2

　　是菱形；

　　故本选项错误；

　　②由①知，四边形A2B2c2D2是菱形；

　　∴根据中位线定理知，四边形A4B4c4D4是菱形；

故本选项正确；

　　③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×

A1B1＝×

×

AB，B5c5＝B3c3＝×

B1c1＝×

Bc，

　　∴四边形A5B5c5D5的周长是2×

（a+b）＝；

　　④∵四边形ABcD中，Ac＝a，BD＝b，且Ac丄BD，

　　∴S四边形ABcD＝ab；

　　由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

　　四边形AnBncnDn的面积是；

　　综上所述，②③④正确；

　　故选c．

本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．

　　例3：

（XX锦州）图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；

图2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；

图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，…依此规律，当正方形边长为2时，第n个图中所有圆的面积之和Sn＝　

　　　．

先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和．

根据图形发现：

第一个图中，共一个愿，圆的半径是正方形边长的一半，为1，S1=πr2=π；

第二个图中，共4个圆，圆的半径等于正方形边长的，为×

2=；

S2=4πr2=4π（）2=π，依次类推，则第n个图中，共有n2个圆，所有圆的面积之和Sn=n2πr2=n2π（）2=π，即都与第一个图中的圆的面积都相等，即为π．

观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆面积和都相等．

　　考点五：

与坐标有关规律

　　这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号。

最后用n把第n个点的坐标表示出来。

如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．则点AXX的坐标为______．

根据（A1除外）各个点分别位于四个象限的角平分线上，逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点AXX的坐标．

由图形以及叙述可知各个点（除A1点外）分别位于四个象限的角平分线上，

　　第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n－2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

点的坐标为（n,n）.

　　同理第二象限内点的下标是4n－1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

点的坐标为（－n,n）.

　　第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

点的坐标为（－n,－n）.

　　第四象限是1＋4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

点的坐标为（n,－n）.

　　XX＝4n则n＝503，当XX等于4n＋1或4n或4n－2时，不存在这样的n的值．

　　故点AXX在第二象限的角平分线上，即坐标为（－502，502）．

　　故答案填（﹣503，﹣503）．

本题是一个探究规律的问题，正确对图中的所按所在的象限进行分类，找出每类的规律是解答此题的关键点．

（XX湖北仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以oA1为边作正方形oA1B1c1，记作第一个正方形；

然后延长c1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以c1A2为边作正方形c1A2B2c2，记作第二个正方形；

同样延长c2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以c2A3为边作正方形c2A3B3c3，记作第三个正方形；

…，依此类推，则第n个正方形的边长为_________．

解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律．

根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1，

　　那么：

n＝1时，第1个正方形的边长为：

1＝20

　　n＝2时，第2个正方形的边长为：

2＝21

　　n＝3时，第3个正方形的边长为：

4＝22…

　　第n个正方形的边长为：

2n－1

解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

　　考点六：

高中知识衔接型——数列求和

　　本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求

　　例题：

（XX广东汕头）阅读下列材料：

　　由以上三个等式相加，可得

　　4．

　　5．

　　6．

　　…

（2）．

　　（3）1260．

．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．

　　四．真题演练

　　题目1．（XX福建三明大田县）观察分析下列数据，寻找规律：

0，，，3，2，，3，…那么第10个数据应是　

　　题目2、（XX山东日照分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数XX应标在（　　）

　　A．第502个正方形的左下角

　　B．第502个正方形的右下角

　　c．第503个正方形的左上角

　　D．第503个正方形的右下角

　　题目3：

（XX&

德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（　　）

　　A、2n

　　B、4n

　　c、2n+1

　　D、2n+2

　　第二部分练习部分

　　练习

　　、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由　3n+1　个基础图形组成．

　　2、（XX山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数XX应标在（　　）

　　3.如图，已知△ABc的周长为1，连接△ABc三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（　　）

　　4、（XX&

无锡）探索规律：

根据下图中箭头指向的规律，从XX到XX再到XX，箭头的方向是（　　）

　　B．c．

　　5、（XX甘肃定西）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为　

　　6、（XX广东梅州）如图，已知△ABc的周长为m，分别连接AB，Bc，cA的中点A1，B1，c1得△A1B1c1，再连接A1B1，B1c1，c1A1的中点A2，B2，c2得△A2B2c2，再连接A2B2，B2c2，c2A2的中点A3，B3，c3得△A3B3c3，…，这样延续下去，最后得△AnBncn．设△A1B1c1的周长为l1，△A2B2c2的周长为l2，△A3B3c3的周长为l3，…，△AnBncn的周长为ln，则ln=　

　　7、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖　　块，第n个图形中需要黑色瓷砖　

　　　块（用含n的代数式表示）．

　　8.已知一列数：

1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：

中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，按照上述规律排上去，那么虚线框中的第7个数是　

　　9.（XX&

恩施州）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于　

　　10.（XX山东东营）观察下表，可以发现:

第_________个图形中的“△”的个数是“○”的个数的5倍．

　　1.（XX&

安徽，9，4分）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：

将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（　　）

　　A．495

　　B．497

　　c．501

　　D．503

　　2.（XX&

江汉区）如图，等腰Rt△ABc的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧Bc1，交斜边Ac于点c1，c1B1⊥AB于点B1，设弧Bc1，c1B1，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1c2，交斜边Ac于点c2，c2B2⊥AB于点B2，设弧B1c2，c2B2，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=

　　3.（XX广西百色）相传古印度一座梵塔圣殿中，铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了三米高的宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘，小盘压着较大的盘子，如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去，移动过程不许以大盘压小盘，不得把盘子放到柱子之外．移动之日，喜马拉雅山将变成一座金山．

　　设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数

　　n=1时，h

（1）=1；

　　n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成．即h

（2）=3；

　　n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱．

　　第二个图案基础图形的个数：

2+1=7；

　　第三个图案基础图形的个数：

3+1=10；

…

　　第n个图案基础图形的个数就应该为：

3n+1．

　　2.分析：

观察发现：

正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2．

通过观察发现：

正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2

　　∵XX÷

4=502…3，

　　∴数XX应标在第503个正方形的左上角．

　　3.分析：

根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．

根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABc的周长×

=1×

=，第三个三角形的周长为=△ABc的周长×

=（）2，第10个三角形的周长=（）9，故选c．

　　4.分析：

本题根据观察图形可知箭头的方向每4次重复一遍，XX=4=501．因此XX所在的位置即为图中的4所在的位置．

依题意得：

图中周期为4，XX÷

4=501为整数．因此从XX到XX再到XX的箭头方向为：

故选A．

　　5.分析：

由图片可知，第2个化合物的结构式比第一个多1个c和2个H，第三个化合物的结构式比第二个也多出1个c和2个H，那么下一个化合物就应该比第三个同样多出1个c和2个H，即为c4H10．

第四种化合物的分子式为c4H10．

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变