《导数及其应用》单元测试题(理科).doc
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《导数及其应用》单元测试题(理科)
(满分150分时间:
120分钟)
一、选择题(本大题共8小题,共40分,只有一个答案正确)
1.函数的导数是()
(A)(B)(C)(D)
2.函数的一个单调递增区间是()
(A)(B)(C)(D)
3.已知对任意实数,有,且时,,则时()
A. B.
C. D.
4.()
(A)(B)(C)(D)
5.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A. B. C. D.
6.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
7.已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为()
A.B.C.D.
8.设在内单调递增,,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二.填空题(本大题共6小题,共30分)
9.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,则该长方体的长、宽、高各为时,其体积最大.
10.将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体
的体积等于
11.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则__.
12.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是
13.点P在曲线上移动,设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是
14.已知函数
(1)若函数在总是单调函数,则的取值范围是.
(2)若函数在上总是单调函数,则的取值范围.
(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数的取值范围是.
三.解答题(本大题共6小题,共12+12+14+14+14+14=80分)
15.设函数.
(1)证明:
的导数;
(2)若对所有都有,求的取值范围.
16.设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点,.求
(1)求点的坐标;
(2)求动点的轨迹方程.
17.已知函数(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数。
(1)试确定a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x>0,不等式恒成立,求c的取值范围。
18.已知
(1)当时,求函数的单调区间。
(2)当时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数,使,函数有最小值-3?
19.已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
20.已知函数,,其中.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
理科测试解答
一、选择题
1.;
或(理科要求:
复合函数求导)
2.,选(A)
或
3.(B)数形结合
4.(D)
5.(D)
6.(D)
7.(C)
8.(B)
二、填空题
9.2cm,1cm,1.5cm;设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.
10..(图略)
11.32
12.,令x=0,求出切线与y轴交点的纵坐标为,所以,则数列的前n项和
13.
14.
(1)
三、解答题
15.解:
(1)的导数.
由于,故.
(当且仅当时,等号成立).
(2)令,则
,
(ⅰ)若,当时,,
故在上为增函数,
所以,时,,即.
(ⅱ)若,方程的正根为,
此时,若,则,故在该区间为减函数.
所以,时,,即,与题设相矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是.
16.解:
(1)由题意知,因此,从而.
又对求导得
.
由题意,因此,解得.
(2)由(I)知(),令,解得.
当时,,此时为减函数;
当时,,此时为增函数.
因此的单调递减区间为,而的单调递增区间为.
(3)由(II)知,在处取得极小值,此极小值也是最小值,要使()恒成立,只需.
即,从而,
解得或.
所以的取值范围为
17.解:
(1)令解得
当时,,当时,,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以,点A、B的坐标为.
(2)设,,
,所以,又PQ的中点在上,所以
消去得.
另法:
点P的轨迹方程为其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆;设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由,得a=8,b=-2
18
(1)或递减;递增;
(2)1、当
递增;2、当递增;3、当或递增;当递增;当或递增;(3)因由②分两类(依据:
单调性,极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”:
1、当递增,,解得
2、当由单调性知:
,化简得:
,解得
不合要求;综上,为所求。
19.解
(1)………………………2分
∴曲线在处的切线方程为,即;………4分
(2)过点向曲线作切线,设切点为
则
则切线方程为………………………………………6分
整理得
∵过点可作曲线的三条切线
∴方程(*)有三个不同实数根.
记
令或1.…………………………………………………………10分
则的变化情况如下表
极大
极小
当有极大值有极小值.………………………12分
由的简图知,当且仅当
即时,
函数有三个不同零点,过点可作三条不同切线.
所以若过点可作曲线的三条不同切线,的范围是.…………14分
20.
(1)解法1:
∵,其定义域为,
∴.
∵是函数的极值点,∴,即.
∵,∴.
经检验当时,是函数的极值点,
∴.
解法2:
∵,其定义域为,
∴.
令,即,整理,得.
∵,
∴的两个实根(舍去),,
当变化时,,的变化情况如下表:
—
0
+
极小值
依题意,,即,
∵,∴.
(2)解:
对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥.
当[1,]时,.
∴函数在上是增函数.
∴.
∵,且,.
①当且[1,]时,,
∴函数在[1,]上是增函数,
∴.
由≥,得≥,
又,∴不合题意.
②当1≤≤时,
若1≤<,则,
若<≤,则.
∴函数在上是减函数,在上是增函数.
∴.
由≥,得≥,
又1≤≤,∴≤≤.
③当且[1,]时,,
∴函数在上是减函数.
∴.
由≥,得≥,
又,∴.
综上所述,的取值范围为.
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- 导数及其应用 导数 及其 应用 单元测试 理科