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理科数学
2016—2017学年度郑州市下期期末考试
高中二年级数学(理科)参考答案
一、选择题:
1.C.2.B.3.A.4.D.5.D.6.B.7.D8.D.9.B.10.B.11.C.12.A.
二、填空题:
13.60;14.15.16.
三、解答题:
17.证明:
由于,因此方程至少有一个实根..................2分
假设方程不只一个实根,不妨设是它的两个不同的实根,
即,.两式相减得. ..................6分
因为,所以,所以应有,这与已知矛盾,故假设错误...................8分
所以,当,方程有且只有一个根..................10分
18.解:
(I)由
所以的系数为.................6分
(II)因为
..................10分
所以除以8的余数为1..................12分
19.解:
(I)由题意,K2=≈0.65<0.708,........3分
∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关;.................4分
(II)从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法,比例为3:
2,选出5人赠送营养面膜1份,所抽取的5人中“微信控”有3人,“非微信控”的人数有2人;........6分
由题知X=1,2,3,则.................7分
P(X=1)==0.3,P(X=2)==0.6,P(X=3)==0.1..................10分
X的分布列为:
X
1
2
3
P
0.3
0.6
0.1
.................11分
随机变量X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8..................12分
20.解:
(I)当时,..................2分
因为在处取得极值,所以,解得..................3分
经验证满足题意,所以..................5分
(II)由题意知的图像上存在两点关于原点对称,即
图象上存在一点,使得
在的图象上
消去,得,化简得.
..................8分
则由题意关于的方程在上有解.
设,令,得,
当时,,在为增函数;
当时,,在为减函数...................10分
所以,即的值域为.
所以当时,方程在上有解.
即当时,函数的图像上存在两点关于原点对称...................12分
21.解:
(Ⅰ)...............3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想,..................4分
下用数学归纳法证明之
证明:
(1)当时,猜想成立.
(2)假设时,猜想成立,即
那么,
,..................6分
得,即.
由
(1)
(2)知猜想正确,...................8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,..................10分
所以
所以................12分
22解:
(I)由,则,................1分
若,则,故在上单调递增;,................3分
若,令,解得;令,解得,所以单调递增区间为,单调递减区间为.................5分
(II)(i)由题意:
由
(1)可知,当时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去;
时,令,解得,此时;时,,因此会有两个零点,符合题意.
综上:
实数的取值范围是................8分
(ii)由
(2)可知:
时,此时且
因此由,相除后得到
两边取对数得,
令即,
要证,即证..................10分
令构造函数
由,单调递增,则,
故不等式成立,综上即原不等式成立..................12分
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