-全国卷极坐标与参数方程高考题汇编.doc
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极坐标与参数方程(全国卷高考题)
(2007)坐标系与参数方程:
和的极坐标方程分别为.
(Ⅰ)把和的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求经过,交点的直线的直角坐标方程.
(2008)坐标系与参数方程:
已知曲线C1:
,曲线C2:
。
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线,。
写出,的参数方程。
与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?
说明你的理由。
(2009)已知曲线C1:
(t为参数),C2:
(为参数).
(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线(t为参数)距离的最小值.
(2010)坐标系与参数方程:
已知直线C1:
(t为参数),圆C2:
(θ为参数).
(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
(2011)坐标系与参数方程:
在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为(为参数),M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求.
(2012)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A、B、C、D以逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,)
(Ⅰ)求点A、B、C、D的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围。
(2013课标1)已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。
(Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求与交点的极坐标()。
(2013课标2)已知动点都在曲线(为参数)上,对应参数分别为与(),为的中点。
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点。
(2014课标1)已知曲线,直线(为参数)
(1)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(2)过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线,交于点,求的最大值与最小值.
(2014课标2)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆的极坐标方程为.
(1)求得参数方程;
(2)设点在上,在处的切线与直线垂直,根据
(1)中你得到的参数方程,确定的坐标.
(2015课标1)在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求的极坐标方程.
(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求的面积.
(2015课标2)在直线坐标系xOy中,曲线C1:
(t为参数,t0)其中0α.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
p=2,C3:
p=2。
(I)求C1与C3交点的直角坐标;
(II)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
9.【2015高考新课标1,文23】选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求的极坐标方程.
(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求的面积.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得,的极坐标方程;(Ⅱ)将将代入即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可求出的面积.
试题解析:
(Ⅰ)因为,
∴的极坐标方程为,的极坐标方程为.……5分
(Ⅱ)将代入,得,解得=,=,|MN|=-=,
因为的半径为1,则的面积=.
(23)2014(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线,直线(为参数)
(2)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(3)过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线,交于点,求的最大值与最小值.
解析
(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
d=|4cosθ+3sinθ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,
且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
5.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:
y=x+2垂直,根据
(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解析
(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为
(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cost,sint).
由
(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tant=,t=.
故D的直角坐标为,即.
6.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:
2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析
(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为C上点(x,y),依题意,得
由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.
故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.
例2(2009·辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M、N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
2.解
(1)由ρcos=1得
ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y=2,当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,所以N.
(2)M点的直角坐标为(2,0).
N点的直角坐标为(0,).
所以P点的直角坐标为,
则P点的极坐标为,
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).
变式迁移2(2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆O:
ρ=cosθ+sinθ和直线l:
ρsin(θ-)=,
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
变式迁移2解
(1)圆O:
ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0.
直线l:
ρsin(θ-)=,即ρsinθ-ρcosθ=1,
则直线l的直角坐标方程为y-x=1,
即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,).
9.(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(φ为参数)的右焦点,且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程.
9.解 由题设知,椭圆的长半轴长a=5,短半轴长b=3,从而c==4,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:
x-2y+2=0.(6分)
故所求直线的斜率为,因此其方程为y=(x-4),(8分)
即x-2y-4=0.(12分)
10.(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.
10.解 方法一
(1)ρ=2sinθ,得x2+y2-2y=0,
即x2+(y-)2=5.(4分)
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得
(3-t)2+(t)2=5,即t2-3t+4=0.(6分)
由于Δ=(3)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以
又直线l过点P(3,),
故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.(12分)
方法二
(1)同方法一.
(2)因为圆C的圆心为点(0,),半径r=,直线l的普通方程为y=-x+3+.(8分)
由得x2-3x+2=0.
解得或(10分)
不妨设A(1,2+),B(2,1+),又点P的坐标为(3,),
故|PA|+|PB|=+=3.(12分)
6.【2015高考陕西,文23】选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标版权法吕,直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标方程为.
(I)写出的直角坐标方程;
(II)为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求点的坐标.
【答案】(I);(II).
【解析】
试题分析:
(I)由,得,从而有,所以
(II)设,又,则,故当时,取得最小值,此时点的坐标为.
试题解析:
(I)由,
得,
从而有
所以
(II)设,又,
则,
故当时,取得最小值,
此时点的坐标为.
11.(14分)(2010·课标全国)已知直线C1:
(t为参数),圆C2:
(θ为参数).
(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
11.解
(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1,联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0),(,-).(7分)
(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.
A点坐标为(sin2α,-cosαsinα),
故当α变化时,P点轨迹的参数方程为
(α为参数).(9分)
P点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=.(12分)
故P点轨迹是圆心为(,0),半径为的圆.
(14分)
11
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