2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.doc
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2017年湖南省普通高中学业水平考试
数学(真题)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分100分。
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体可以是()
A、正方体B、圆柱C、三棱柱D、球
2.已知集合A=,B=,则中元素的个数为()
A、1B、2C、3D、4
3.已知向量a=(x,1),b=(4,2),c=(6,3).若c=a+b,则x=()
A、-10B、10C、-2D、2
4.执行如图2所示的程序框图,若输入x的值为-2,则输出的y=()
A、-2
否
是
B、0
C、2
D、4
5.在等差数列中,已知,,
则公差d=()
A、4B、5C、6D、7
6.既在函数的图像上,又在函数
的图像上的点是()
A、(0,0)B、(1,1)C、(2,)D、(,2)
7.如图3所示,四面体ABCD中,E,F分别为AC,AD的中点,
则直线CD跟平面BEF的位置关系是()
A、平行
B、在平面内
C、相交但不垂直
D、相交且垂直
8.已知,则=()
A、B、C、D、
9.已知,则()
A、B、C、D、
图4
10、如图4所示,正方形的面积为1.在正方形内随机撒
1000粒豆子,恰好有600粒豆子落在阴影部分内,
则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为()
A、B、
C、D、
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分。
11.已知函数(其中)的最小正周期为,则
12.某班有男生30人,女生20人,用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务,则抽出的学生中男生比女生多人。
13.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=4,b=3,,则的面积为。
14.已知点A(1,m)在不等式组表示的平面区域内,则实数m的取值范围为。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图所示,则该圆柱的体积为。
三、解答题:
本大题共有5小题,共40分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分6分)
已知定义在区间上的函数的部分函数图象如图所示。
(1)将函数的图像补充完整;
(2)写出函数的单调递增区间.
17.(本小题满分8分)已知数列满足,且.
(1)求及;
(2)设,求数列的前n项和.
18.(本小题满分8分)为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析,得到如图7所示的频率分布直方图,
(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;
(2)从成绩不低于80分的两组学生中任选2人,求选出的两人来自同一组的概率.
19.(本小题满分8分)
已知函数
(1)若m=-1,求和的值,并判断函数在区间(0,1)内是否有零点;
(2)若函数的值域为[-2,),求实数m的值.
20.(本小题满分10分)
已知O为坐标原点,点P(1,)在圆M:
上,
(1)求实数的值;
(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;
(3)过点O作互相垂直的直线,与圆M交于A,B两点,与圆M交于C,D两点,求的最大值.
2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分,满分40分)
1.A2.C3.D4.B5.D6.B7.A8.C9.A10.B
二 、填空题(每小题4分,满分20分)
11.212.113.614.(0,3)15.
三 、解答题(满分40分)
16、(6分)解析:
(1)对函数
的图像补充如下图所示:
…………3分
(2)由图可得函数的单调递增区间为:
………………………………6分
17、(8分)解析:
(1)因为且
所以………………2分
所以数列是首项为2,公比为3的等比数列
所以……………………………………4分
(2)由
(1)知,故…………5分
所以的前项和为:
18、(8分)解析:
(1)根据频率分布直方图可估计本次测试成绩的众数为:
……………………4分
(2)根据已知条件可得在抽取的20名学生中,
成绩在区间的人数为:
,这3人分别记为a,b,c
成绩在区间的人数为:
这2人分别记为d,e
若从成绩不低于80分的两组学生中任选2人,其所有情况有:
ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10个基本事件,
其中两人来自同一组所含基本事件有:
ab,ac,bc,de共4个。
所以选出的两人来自同一组的概率为:
……………………8分
19、(8分)解析:
(1)因为
所以…………………………2分
又因为时是连续函数且
所以在区间内必有零点……………………4分
(2)因为当时,,此时;
当时,………………6分
而的值域为,所以…………8分
20、(10分)
(1)因为点P(1,)在圆M:
上
所以
………………3分
(2)因为直线OP的斜率为,圆M的圆心为
所以过圆心M且与直线OP平行的直线的方程为:
即…………6分
(3)因为圆M的标准方程为:
,故直线的斜率均存在。
设直线的方程为,则的方程为
于是圆心M到直线的距离为
于是
圆心M到直线的距离为
所以
又由可得的取值范围是
这时
当且仅当即时取等号
所以的最大值为4
7
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