1991全国高考理科数学试题.doc
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1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学
(理工农医类)
考生注意:
这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分
一、选择题:
本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
(1)已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tgα的值等于 ()
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 ()
(A)y2=8(x+1)
(B)y2=-8(x+1)
(C)y2=8(x-1)
(D)y2=-8(x-1)
(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是 ()
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 ()
(A)12对
(B)24对
(C)36对
(D)48对
(5)函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ()
(A)x=-
(B)x=-
(C)
(D)
(6)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的 ()
(A)垂心
(B)重心
(C)外心
(D)内心
(7)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 ()
(A)5
(B)10
(C)15
(D)20
(8)如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=,那么它的焦点的极坐标为 ()
(A)(0,0),(6,π)
(B)(-3,0),(3,0)
(C)(0,0),(3,0)
(D)(0,0),(6,0)
(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有 ()
(A)140种
(B)84种
(C)70种
(D)35种
(10)如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ()
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 ()
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件
(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
(12)…(1-)]的值等于 ()
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是 ()
(A)增函数且最小值为-5
(B)增函数且最大值为-5
(C)减函数且最小值为-5
(D)减函数且最大值为-5
(14)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ()
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},那么集合
{x|f(x)g(x)=0}等于 ()
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:
本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.
(16)arctg+arctg的值是____________
(17)不等式<1的解集是___________
(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于
(19)(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a>1,那么a=
(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a.那么这个球面的面积是
三、解答题:
本大题共6小题;共60分.
(21)(本小题满分8分)
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
(22)(本小题满分8分)
已知复数z=1+i,求复数的模和辐角的主值.
(23)(本小题满分10分)
已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.
(24)(本小题满分10分)
根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
(25)(本小题满分12分)
已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式
logax-logx+12logx+…+n(n-2)logx>log(x2-a)
(26)(本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.
1991年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.
二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.
三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.
四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
五、只给整数分数.
一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.
(1)A
(2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A (8)D
(9)C(10)C(11)A(12)C(13)B (14)C(15)D
二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分15分.
(16)(17){x|-2 三、解答题 (21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分. 解: y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x——1分 =1sin2x(1+cos2x)——3分 =2+sin2x+cos2x =2+sin(2x+).——5分 当sin(2x+)=-1时y取得最小值2-.——6分 使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ-π,k∈Z}.——8分 (22)本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分. 解: = =——2分 =1-i.——4分 1-i的模r==. 因为1-i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=-1,所以辐角的主值 θ=π.——8分 (23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分. 解: 如图,连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O.因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点. BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾. 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.——4分 ∵BD⊥AC, ∴EF⊥HC. ∵GC⊥平面ABCD, ∴EF⊥GC, ∴EF⊥平面HCG. ∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.——6分 作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.——8分 ∵正方形ABCD的边长为4,GC=2, ∴AC=4,HO=,HC=3. ∴在Rt△HCG中,HG=. 由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG. ∴OK=. 即点B到平面EFG的距离为.——10分 注: 未证明“BD不在平面EFG上”不扣分. (24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.满分10分. 证法一: 在(-∞,+∞)上任取x1,x2且x1 则f(x2)-f(x1)==(x1-x2)()——3分 ∵x1 ∴x1-x2<0.——4分 当x1x2<0时,有=(x1+x2)2-x1x2>0;——6分 当x1x2≥0时,有>0; ∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)()<0.——8分 即f(x2) 所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.——10分 证法二: 在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1 则f(x2)-f(x1)=x-x=(x1-x2)().——3分 ∵x1 ∴x1-x2<0.——4分 ∵x1,x2不同时为零, ∴x+x>0. 又∵x+x>(x+x)≥|x1x2|≥-x1x2 ∴>0, ∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)
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