-高三“三角函数”专题复习分析与指导田正式版.doc
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高三“三角函数”专题的复习分析与指导
北京市第一0一中学田媛
一、“三角函数”专题内容分析
(一)“三角函数”专题知识体系的梳理
1、地位与价值
在教学中,三角函数是描述周期现象的重要数学模型,它具有十分重要的地位,由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强,对于提高学生数学素养,培养学生思维能力都有很重要的作用。
从三角函数的起源来看,三角函数起源于生活中的天文学,被广泛应用于解决航海通商问题,此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。
从历年高考的情况来看,三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题,并常与其他交汇以解答题的形式考查,难度适中。
2、知识网络图
3、核心知识
①研究三角函数的概念、图像和性质,其突出特征是具有周期性的函数,尤其是正、余弦函数具有边界和零点;难点是函数的图像变换,
的确定:
;的确定:
;
的确定:
;的确定:
初始角,与平移单位有关.
②三角恒等变换的综合应用,主要应用于两个方面:
一是化简函数与三角函数的性质相结合;二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量,解三角形就是有条件的恒等变换.
(二)“三角函数”专题中研究的核心问题
1、问题类型
①三角函数的图像和性质综合问题,常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等;
②解三角形问题,只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等;
③三角函数性质与解三角形的综合问题,其本质是解决有条件的三角恒等变换问题,因此注意角的范围对变形过程的影响.
2、问题研究与解决
①三角函数求值与化简的常用方法:
弦切互化:
包括“切割化弦”、“齐次式化切”等;
和积互化:
包括“平方关系”、“降幂公式”
和利用进行变形转化;
巧用“1”的变换:
②转化为与三角函数有关的基本类型:
设,转化为一次函数;
借助辅助角公式转化为;
设,转化为二次函数(闭区间内);
设,
则,转化为二次函数;
,设,当时可用均值定理;
③函数的奇偶性、对称性及图像变换
对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定与函数零点有关;
由的图像通过变换得到的图像有两种途径:
“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”,可用“五点法”作为突破口.
④通过三角恒等变换解决三角求值问题,做到三变:
“变角——变名——变式”
给角求值:
关键是转化成特殊角或消去非特殊角;
给值求值:
现变同角再求值;
给值求角:
转化为“给值求值”,注意角的范围.
⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径:
“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系;
“化角为边”通过解方程求边;
都要注意三角函数值的符号与角的范围,防止出现增解、漏解.
(三)“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法
1、学生学习三角函数的主要困难
(1)知识、技能方面:
①解题时存在背景知识与技能的激活障碍;
②解题时多知识点之间的联系存在障碍;
③三角函数核心概念及方法理解有误.
(2)方法、策略方面:
①不能正确识别模式;
②缺乏公式导致解题步骤增加,使可用的解题策略减少;
③数形之间无法结合.
(3)心理、习惯、态度方面:
①解题差错无法自主发现;
②方法知道但计算不对.
2、三角函数知识的核心观点
张景中院士认为,在数学课程中三角函数至关重要,它是几何与代数的一座桥梁,沟通初等数学与高等数学的一条通道,函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关,大量实际问题的解决要用到三角知识.
①强调三角函数中的函数思想,三角函数已经不仅仅是解三角形的工具,而是一个重要的函数模型;
②数形结合解决三角函数的图形变换;
③加强三角函数的应用意识,特别是用于解三角形问题.
3、核心思想方法与核心技能
“三种思想”+“三个技能”:
函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想;
运算技能:
对三角函数解析式的恒等变形以及转化为型函数的运算,正余弦定理公式的合理选择和化简运算等;
作图技能:
根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象,五点法画图等;
推理技能:
依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向,以及对三角形形状的判断
二、“三角函数”专题的典型考题结构
(一)近年北京高考题中三角函数考察的内容
年份
理科
文科
2016
第7题:
三角函数的图像和性质
第15题:
三角形中余弦定理、三角恒等变换
第13题:
三角形中正弦定理
第16题:
三角恒等变换、三角函数的性质
2015
第12题:
三角形中三角函数
第15题:
正弦型函数性质
第11题:
解三角形
第15题:
正弦型函数性质
2014
第14题:
正弦型函数图象性质
第15题:
解三角形
第12题:
解三角形
第14题:
正弦型函数图象性质
2013
第3题:
正弦型函数图象性质
第15题:
解三角形
第5题:
解三角形
第15题:
恒等变形、正弦型函数图象性质、特殊角的函数值
2012
第11题:
解三角形
第15题:
恒等变形、正弦型函数图象性质
第11题:
解三角形(姊妹题)
第15题:
同理科15
2011
第9题:
解三角形
第15题:
恒等变形、正弦型函数图象性质
第9题:
解三角形(姊妹题)
第15题:
同理科15
试题特点:
试题总体比较平稳,不管是位置还是考察的知识点和难度都是比较稳定的,高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考察,回归到双基和通性通法的考察上,文科基本小题考察解三角形,大题就是用三角公式变形为正弦型函数,在讨论它的性质(特殊值、周期、值域)。
理科2013、2014、2016年考察有些求变;小题考图象性质(灵活性增强)而大题考察解三角形,2011、2012、2015年考察双基和通性通法上。
(二)海淀区三次统考中三角函数考察的内容
第二次
第三次
第四次
14、新定义、理解与应用三角函数的性质“友好”三角形
7、分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦
4、同角三角函数关系、三角恒等变换
15、三角恒等变换(求周期)、三角函数的性质、运算能力(提斜公式)
15、正弦定理、余弦定理、诱导公式、数学计算能力、等价转化能力
15、三角恒等变换、三角函数的性质、运算能力、分析问题解决问题的能力
(三)典型考题举例(近年北京高考文、理科真题)
1、(2016北京理7)将函数y=sin(2x)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( A )
A.t=,s的最小值为 B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为 D.t=,s的最小值为
2、(2016北京理15)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(Ⅰ)求∠B的大小;(B=)
(Ⅱ)求cosA+cosC的最大值.
(1)
3、(2016北京文13)在△ABC中,,a=c,则=___1______.
4、(2016北京文16)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;()
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.(的单调递增区间为())
5、(2015年北京文11)在中,,,,则.()
6、(2015年北京文15)已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;()
(Ⅱ)求在区间上的最小值.()
7、(2015年北京理科12)在中,,,,则 .
(1)
8、(2015年北京理科15)已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;()
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
9、(2014年北京文16)函数f(x)=3sin的部分图像如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
10、(2014·北京文12)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c=________;sinA=________.
11、(2014·北京理14)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且,则f(x)的最小正周期为_______.
12、(2014·北京理15)如图12,在△ABC中,∠B=,AB=8,
点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
13、(2013北京文5)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=( )
A.B.C.D.1
14、(2013北京文15)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(2)若α∈,且f(α)=,求α的值.
15、(2013北京理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
16、(2013北京理15)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(1)求cosA的值;
(2)求c的值.
三、“三角函数”专题的教学目标的分析与定位
(一)高考考试要求
考试内容
要求层次
A
B
C
三角函数、
三角恒等
变换、
解三角形
三角函数
任意角的概念和弧度制
√
弧度与角度的互化◇
√
任意角的正弦、余弦、正切的定义
√
用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切
√
诱导公式
√
同角三角函数的基本关系式
√
周期函数的定义、三角函数的周期性
√
函数,,的图象和性质
√
函数的图象
√
用三角函数解决一些简单的实际问题◇
√
三角
恒等
变换
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
√
二倍角的正弦、余弦、正切公式
√
简单的恒等变换
√
解三角形
正弦定理、余弦定理
√
解三角形
√
(二)数学核心素养的培养
1、同角关系下的函数名的转化——“齐次式”化切的训练
例1、已知为三角形的内角,且,则
探究1:
求
探究2:
求
探究3:
求
探究4:
求
2、运用函数思想解决三角问题
例2、①若,,则(C)
A.B.C.D.
②若,则与的大小关系(D)
A.B.C.D.与的取值有关
③已知函数,则的值为1
④若函数的图像上存在两点,使函数的图像在这两点处的切线互相垂直,
则称具有T性质,下列函数具有T性质的是(A)
A.B.C.D.
⑤若函数,时单增,则的取值范围是(C)
A.B.C.D.
3、关注相位变换,研究的图像与性质
例3、①若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图像
的对称轴为
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