完整版新版线性代数习题及答案复旦版主编周勇朱砾docxWord格式文档下载.docx

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（1）

（i1i2i3i4）a

a

，其中i1,i2,i3,i4分不同列中元素的行下，

D4展

i1

i

2i

3i4

i1i2i3i4

开式中含x3

有

（1）（2134）

x1x2x

（

1）（4231）

xx32x3

（3x3）5x3

D4展开式中含x4有

（1）（1234）2xxx2x10x4.

5.用定算下列各行列式.

（1）

；

（2）

.

5

【解】

（1）D=（

1）τ（2314）4!

=24;

（2）D=12.

6.算下列各行列式.

（3）

ab

ac

ae

（2）bd

cd

de；

bf

cf

ef

6

b

c

（4）

d

r

1r23

【解】

（1）D

0;

（2）D

abcdef

4abcdef;

abc

（3）D

a1

1）20

cd1

abcd

ad

1;

10

c1c210341r2r1011

3r32r2011

160.

（4）D

r3r1

02

r4r2

00

44

c1c3

cc

1041

2r

7.证明下列各式.

a2

b2

（1）2a

ab

2b（ab）2；

（a

1）2

（a

2）2

3）2

（b

0；

（c

（c

c2

d2

（d

a3

（3）1

b3

（ab

bc

ca）1

c3

O

N

（4）D2n

（adbc）n；

1a1

L

n

ai.

（5）

M

ai

an

【证明】

（1）

b）（ab）

b（a

b）

左端

2（a

2b

b）（a

（ab）2

（ab）3

右端.

2a

4a

6a

9

c2-c1

4b

6b

（2）左端

2c

4c

6c

c1

2d

4d

6d

c3-2c2

c43c2

（3）首先考虑4阶范德蒙行列式:

x2

（x

a）（x

b）（x

c）（a

b）（ac）（b

c）

（*）

f（x）

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式

f（x）的x的系数为

ac）（ab）（a

c）（b

bcac）1

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

1a2a3

1123

（1）1bb,

（4）对D2n按第一行展开，得

D2n

据此递推下去，可得

D2（n1）

bcD2（n1）

（ad

bc）D2（n1）,

D2n（ad

bc）D2（n1）

（ad

bc）2D2（n2）

（adbc）n

1D2

（adbc）n1（adbc）

bc）n

D2n（adbc）n.

（5）对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的

1阶行列式结论成立，进而证明阶数为

n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把

Dn拆成两个n阶行列式相加：

a1

1a2

1a2L

Dn

1an1

a1a2Lan1

anDn1.

但由归纳假设

n1

Dn1a1a2Lan11

从而有

Dna1a2Lan1ana1a2Lan11

a1a2Lan1an1

i1ai

aii1

8.计算下列n阶行列式.

Dn

Dn2

2；

MM

y

（3）D

.（4）D

其中a

j（i,j1,2,L,n）；

ij

MMM

【解】

（1）

各行都加到第一行，再从第一行提出

x+（n1）,得

[x

（n

1）]

将第一行乘（

1）后分别加到其余各行，得

x1

1）（x

1）n1.

Lx

r2

r11

按第二行展开

2（n2）!

r3

Mr1

rnr1MMMM

n2

（3）行列式按第一列展开后，得

y0

y00

xy0

DnxMM

y

（1）n10xy

L0

000

Lxy

x（n

1）

y（

1）（n1）

y（n1）

xn

1）n1yn.

（4）由题意，知

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

an1

an2

ann

后一行减去前一行

自第三行起后一行减去前一行

n2n

按第一列展开

按第n-1列展开（

1）n1（n

（1）n1（n

1）2n

0020

0012

01

（5）Dn

0001

MMMMM

2100

10

21

1200

20

12

2Dn

Dn2.

即有DnDn1Dn1Dn2LD2D11

由

DnDn1

Dn1

LD2

D1

n1得

n1,Dn

n12n1.

9.计算n阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出

ai，得

1a3L

1an

将第一行乘

（1）后加到其余各行，得

001L01

10.计算n阶行列式（其中ai

0,i

1,2,L

n）.

a1n1

a2n1

a3n1

ann1