-新课标全国卷2理科数学试题分类汇编14.坐标系与参数方程.doc
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2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
14.坐标系与参数方程
(2018·22)[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为
(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
(2017·22)[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.
(2016·23)【选修4-4:
坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中,圆C的方程为.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,,求l的斜率.
(2015·23)在直角坐标系中,曲线C1:
(t为参数,t≠0)其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
,C3:
.
(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
(2014·23)在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
(2013·23)已知动点,都在曲线(为参数)上,对应参数分别为与,为的中点.
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.
(2012·23)已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(Ⅰ)点A,B,C,D的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
(2011·23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为(为参数),M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
14.坐标系与参数方程(逐题解析版)
(2018·22)【解析】
(1)曲线的直角坐标方程为.
当时,的直角坐标方程为,
当时,的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.
又由①得,故,于是直线的斜率.
(2017·22)[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.
(2017·22)解析:
(1)解法一:
设点在极坐标下坐标为
由可得点的坐标为,代入曲线的极坐标方程,得:
,即,两边同乘以,化成直角坐标方程为:
,由题意知,所以检验得.
解法二:
设点在直角坐标系下坐标为,曲线的直角坐标方程为,因为三点共线,所以点的坐标为,代入条件得:
,因为,化简得:
.
(2)解法一:
由
(1)知曲线的极坐标方程为,故可设点坐标为,,由得,即最大值为.
解法二:
在直角坐标系中,点坐标为,直线的方程为.
设点点坐标,则点到直线的距离,
所以,又因为点坐标满足方程,由柯西不等式得:
,即,
即,
由得,.
(2016·23)【选修4-4:
坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中,圆C的方程为.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,,求l的斜率.
(2016·23)解析:
⑴整理圆的方程得,由可知,圆的极坐标方程为.
(2)记直线的斜率为,则直线的方程为,由垂径定理及点到直线距离公式知:
,即,整理得,则.
(2015·23)在直角坐标系中,曲线C1:
(t为参数,t≠0)其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
,C3:
.
(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
(2015·23)解析:
(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.联立,解得或,所以与交点的直角坐标为和.
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为,其中,因此A的极坐标为,B的极坐标为,所以,
当时,取得最大值,最大值为4.
(2014·23)在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
(2014·23)解析:
(Ⅰ)设点M(x,y)是曲线C上任意一点,∵,∴,
即:
,∴C的参数方程为(为参数,).
(Ⅱ)设点D(1+cosφ,sinφ),∵C在D处的切线与直线l:
垂直,∴直线CD和l的斜率相同,∴,∵,,∴,
∴点的坐标为.
(2013·23)已知动点,都在曲线(为参数)上,对应参数分别为与,为的中点.
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.
(2013·23)解析:
(Ⅰ)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(Ⅱ)M点到坐标原点的距离(0<α<2π).当α=π时,d=0,
故M的轨迹过坐标原点.
(2012·23)已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(Ⅰ)点A,B,C,D的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
(2012·23)解析:
(Ⅰ)依题意,点A,B,C,D的极坐标分别为.
所以点A,B,C,D的直角坐标分别为、、、.
(Ⅱ)设,则
.
所以的取值范围为.
(2011·23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为(为参数),M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
(2011·23)解析:
(I)设P(x,y),则由条件知.由于M点在C1上,所以,
即,从而C2的参数方程为(为参数).
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为.射线与C1的交点A的极径为,射线与C2的交点B的极径为.
所以.
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- 关 键 词:
- 新课 全国卷 理科 数学试题 分类 汇编 14. 坐标系 参数 方程