A01-2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷(带解析).doc
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2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷
一、填空题
1.已知集合,集合,则.
2.命题“”的否定是.
3.已知复数满足(为虚数单位),则.
4.下图是某算法的流程图,其输出值是.
5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为.
6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积为.
7.已知点在不等式表示的平面区域上运动,则的最大值是.
8.曲线在点处的切线方程是.
9.在等差数列中,,则数列的前项和.
10.如图,在中,、分别为边、的中点.为边上的点,且,若,,则的值为.
11.设函数是定义在上的偶函数,当时,.若,则实数的值为.
12.已知四边形是矩形,,,是线段上的动点,是的中点.若为钝角,则线段长度的取值范围是.
13.如图,已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点,交椭圆于点,若是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为.
14.已知函数,若存在实数、、、,满足,其中,则的取值范围是.
二、解答题
15.在锐角中,、、所对的边分别为、、.已知向量,
,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
16.如图,四棱锥的底面为平行四边形,平面,为中点.
(1)求证:
平面;
(2)若,求证:
平面.
17.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?
并求出其最大面积.
18.已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为,离心率为.若直线与椭圆交于不同的两点、,以线段为直径作圆.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若圆与轴相切,求圆被直线截得的线段长.
19.已知无穷数列中,、、、构成首项为2,公差为-2的等差数列,、、、,构成首项为,公比为的等比数列,其中,.
(1)当,,时,求数列的通项公式;
(2)若对任意的,都有成立.
①当时,求的值;
②记数列的前项和为.判断是否存在,使得成立?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20.已知函数(为常数).
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)若,且对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
21.如图,、是圆的半径,且,是半径上一点:
延长交圆于点,过作圆的切线交的延长线于点.求证:
.
22.在平面直角坐标系中,直线在矩阵对应的变换作用下得到直线,求实数、的值.
23.在极坐标系中,求圆上的点到直线的距离的最大值.
24.解不等式.
25.在底面边长为2,高为1的正四棱柱中,、分别为、的中点.
(1)求异面直线、所成的角;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
26.将编号为1,2,3,4的四个小球,分别放入编号为1,2,3,4的四个盒子,每个盒子中有且仅有一个小球.若小球的编号与盒子的编号相同,得1分,否则得0分.记为四个小球得分总和.
(1)求时的概率;
(2)求的概率分布及数学期望.
试卷第3页,总3页
2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案
1.或
【解析】,,.
考点:
集合的交集运算
2.
【解析】由全称命题的否定知,命题“”的否定是“”.考点:
命题的否定
3..
【解析】,,.
考点:
复数的除法运算、复数的模
4.
【解析】第一次循环,,不成立,执行第二次循环;,不成立,执行第三次循环;第三次循环,,不成立,执行第四次循环;第四次循环,,成立,跳出循环体,输出的值为.
考点:
算法与程序框图
5.
【解析】利用、表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号,用表示其中一个基本事件,则事件总体所包含的基本事件有:
,,,,,,共个;事件“取出的两个球的编号大于”所包含的基本事件有:
,,共个,所以事件“取出的两个球的编号大于”发生的概率.
考点:
古典概型
6.
【解析】设圆柱的底面半径为,高为,底面积为,体积为,则有,故底面面积,故圆柱的体积.
考点:
圆柱的体积
7.
【解析】如下图所示,不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分表示,在直线方程,令,解得,得点的坐标为,作直线,其中可视为直线在轴上的截距,当直线经过区域中的点时,直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.
考点:
线性规划
8.或
【解析】,,当时,,故曲线在点处的切线方程是,即或.
考点:
利用导数求函数图象的切线方程
9.
【解析】设等差数列的首项与公差的方程组,则有,解得,故.
考点:
等差数列的前项和
10.
【解析】为的中点,,,,,.考点:
平面向量的基底表示
11.
【解析】当时,,解得;当时,,由于函数是偶函数,,解得,综上所述,.
考点:
函数的奇偶性
12.
【解析】法一:
如下图所示,设,则,由勾股定理易得,,,,,由于为钝角,则,则有,即,即,解得;
法二:
如下图所示,设,则,以点为坐标原点,、所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系,则,,,,,是钝角,则,即,整理得,解得,且、、三点不共线,故有,解得.
考点:
余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积
13.
【解析】由于为等腰三角形,且,故有,则点的坐标为,设点的坐标为,,,
,则有,解得,即点的坐标为,将点的坐标代入椭圆的方程得,解得,即,,.考点:
共线向量、椭圆的离心率
14.
【解析】如下图所示,
由图形易知,,则,,,,,令,即,解得或,而二次函数的图象的对称轴为直线,由图象知,,,点和点均在二次函数的图象上,故有,,由于,当时,,,,,,,由于函数在上单调递减,且,,,,,,即.
考点:
函数的图象、对数函数、二次函数的单调性
15.
(1);
(2).
【解析】
(1)先根据平面向量垂直的等价条件得到等式,再利用弦化切的思想求出的值,最终在求出角的值;
(2)解法一:
在角的大小确定的前提下,利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出和,并利用结合和角公式求出的值,最后利用面积公式求出的面积;解法二:
利用余弦定理求出的值,并对的值进行检验,然后面积公式求出的面积.
(1)因为,所以,则,4分
因为,所以,则,所以7分
(2)解法一:
由正弦定理得,又,,,
则,因为为锐角三角形,所以,9分
因为,12分
所以14分
解法二:
因为,,,
所以由余弦定理可知,,即,解得或,
当时,,所以,不合乎题意;
当时,,所以,合乎题意;
所以14分
考点:
正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式
16.
(1)详见解析;
(2)详见解析.
【解析】
(1)根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接,找到与的交点为的中点,利用三角形的中位线平行于底边证明,最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面;
(2)先证明平面,得到,再由已知条件证明,最终利用直线与平面垂直的判定定理证明平面.
试题解析:
(1)连接交于点,连接,
因为底面是平行四边形,所以点为的中点,
又为的中点,所以,4分
因为平面,平面,所以平面6分
(2)因为平面,平面,所以,8分
因为,,平面,平面,所以平面,
因为平面,所以,10分
因为平面,平面,所以,12分
又因为,,平面,平面,
所以平面14分
考点:
直线与平面平行、直线与平面垂直
17.当休闲广场的长为米,宽为米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为平方米.
【解析】先将休闲广场的长度设为米,并将宽度也用进行表示,并将绿化区域的面积表示成的函数表达式,利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值,但是要注意基本不等式适用的三个条件.
试题解析:
设休闲广场的长为米,则宽为米,绿化区域的总面积为平方米,
6分
,8分
因为,所以,
当且仅当,即时取等号12分
此时取得最大值,最大值为.
答:
当休闲广场的长为米,宽为米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为平方米.14分
考点:
矩形的面积、基本不等式
18.
(1);
(2).
【解析】
(1)先根据题中的条件确定、的值,然后利用求出的值,从而确定椭圆的方程;
(2)先确定点的坐标,求出圆的方程,然后利用点(圆心)到直线的距离求出弦心距,最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.
试题解析:
(1)设椭圆的方程为,由题意知,,解得,
则,,故椭圆的标准方程为5分
(2)由题意可知,点为线段的中点,且位于轴正半轴,
又圆与轴相切,故点的坐标为,
不妨设点位于第一象限,因为,所以,7分
代入椭圆的方程,可得,因为,解得,10分
所以圆的圆心为,半径为,其方程为12分
因为圆心到直线的距离14分
故圆被直线截得的线段长为16分
考点:
椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理
19.
(1)数列的通项公式为;
(2)①的值为或;②详见解析.
【解析】
(1)根据数列的定义求出当时数列的通项公式,注意根据的取值利用分段数列的形式表示数列的通项;
(2)①先确定是等差数列部分还是等比数列部分中的项,然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出的值;②在
(1)的基础上,先将数列的前项和求出,然后利用周期性即可求出,构造,利用定义法求出的最大值,从而确定和的最大值,进而可以确定是否存在,使得.
试题解析:
(1)当时,由题意得,2分
当时,由题意得,4分
故数列的通项公式为5分
(2)①因为无解,所以必不在等差数列内,
因为,所以必在等比数列内,且等比数列部分至少有项,
则数列的一个周期至少有项,7分
所以第项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内,
若时,则,得,
若,则,得,
故的值为或9分
②因为,,
所以,12分
记,则,
因为,所以,即,14分
故时,取最大,最大值为,
从而的最大值为,不可能有成立,故不存在满足条件的实数16分
考点:
等差数列和等比数列的通项公式及前项和、数列的周期性、数列的单调性
20.
(1)函数的单调递减区间为;
(2)实数的取值范围是.
【解析】
(1)将代入函数解析式并求出相应的导数,利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的
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