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2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编
【2011新课标】21.已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(1)求、的值;
(2)证明:
当,且时,
【解析】
(1)
由于直线的斜率为,且过点,
故即 解得,。
(2)由
(1)知f(x)=,所以,
考虑函数,则,
所以x≠1时h′(x)<0,而h
(1)=0
故时,h(x)>0可得,时,h(x)<0可得,
从而当,且时,.
【2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2
(1)求f(x)的单调区间
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f´(x)+x+1>0,求k的最大值
【解析】
(1)的定义域为,,
若,则,所以在单调递增.
若,则当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.
(2)由于,所以.
故当时,等价于.
令,则.
由
(1)知,函数在单调递增,而,,
所以,在存在唯一的零,故在存在唯一的零点.
设此零点为,则.
当时,;当时,.
所以在的最小值为.又由,可得,所以.由于①式等价于,故整数的最大值为2
【2013新课标1】20.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
【解析】
(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f′(0)=4.
故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.
(2)由
(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·.
令f′(x)=0得,x=-ln2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
【2013新课标2】21.已知函数f(x)=x2e-x.
(1)求f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
【解析】
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=-e-xx(x-2).①
当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;当x∈(0,2)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.
故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;
当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f
(2)=4e-2.
(2)设切点为(t,f(t)),则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t).
所以l在x轴上的截距为m(t)=.
由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
令h(x)=(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[,+∞);
当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞].
综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞].
【2014新课标1】21.设函数,曲线处的切线斜率为0
(1)求b;
(2)若存在使得,求a的取值范围。
【解析】
(1),由题设知,解得b=1
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由
(1)知,,
(i)若,则,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以,存在≥1,使得的充要条件为,即
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