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这就是所列不等式组的解集。
即答案为:
大约需要40到50分钟才能将污水抽完。
概括:
几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组,其步骤通常为:
(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集;
(2)在数轴上把它们的解集表示出来;
(3)找出解集的公共部分,即不等式组的解集。
2.练习巩固,促进迁移
(1)例题:
解不等式组
解:
解不等式①,得x>2
解不等式②,得x>4
在数轴上表示出①②的解集
∴原不等式组的解集为x>4
(要让学生认识到准确、熟练得解不等式是解不等式组的基础,而运用数轴表示(找公共部分)是关键。
让学生再次体会数形结合思想的魅力。
)
(2)
练习:
(3)问题探讨:
从练习的情况来看,请同学们认真观察它与下面几种图示的关系:
①当不等号的方向一致时(称同向不等式),即:
对这类不等式组可按“同大取大;
同小取小”的法则,即取公共部分为它的解(如图).
②当不等号的方向相反时(称异向不等式),即:
则若未知数的取值比大数小,比小数大时,不等式组的解集在两数之间,取公共部分(如图);
③若未知数的取值比大数还大,比小数还小,不等式组的解集是空集,即没有公共部分(如图3).
(先让学生通过练习,从感性上了解不等式组解集的基本情况;
其次引导学生通过“练习解答的形式与所给图示”的对比,引发出不等式组解集的四种基本情况;
从而加深学生对不等式组解集的理解,更重要的是学生区分出这四种不同的情况后,在结合图形能更快更准地找出不等式组的解集。
3.巩固应用,拓展研究
(1)找出下列不关x的公共部分。
(2)解不等式组
(3)求不等式组
的整数解
(巩固应用的设计突出一个层次性,满足不同基础水平的同学的需要。
其中第1题主要训练学生的定向思维,巩固不等式组解集的四种情况;
第2题则是以训练学生解不等式组的方法。
第3题则以发散思维为主,其目的是让优生吃得饱。
在挑战难题的过程中,培养学生学习的意志力。
4.回顾联系,形成结构
通过本节课的学习,你有哪些收获?
(学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。
启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识,从而培养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力。
通过学生自我总结使之进一步理解一元一次不等式组的概念,并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的内在联系。
促进学生对数学知识的记忆,并把所学知识结构化系统化。
5.课外作业与拓展
课外作业:
课本第26页“习题1.8”
第二课时
1、一元一次不等式组的解集的表示,尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。
2、让学生理解一元一次不等式组及其解的意义。
利用不等式来解决实际问题,让学生进一步感受数形结合的作用。
3、让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。
掌握一元一次不等式组的解法;
会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况.教学难点:
不等式组解集几种情况的灵活应用。
1.基础运用,
例1.
解不等式组
,并将解集标在数轴上.
(解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分,在解的过程中各个不等式彼此之间无关系,是独立的,在每一个不等式的解集都求出之后,才从“组”的角度去求“组”的解集,在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。
步骤:
解:
解不等式
(1)得x>
解不等式
(2)得x≤4
∴
(利用数轴确定不等式组的解集)
∴ 原不等式组的解集为
<
x≤4
∴
(1)分别解不等式组的每一个不等式
(2)求组的解集
(借助数轴找公共部分)
(3)写出不等式组解集
(4)将解集标在数轴上
例2.解不等式组
-1,
解不等式
(2)得x≤1,
解不等式(3)得x<
2,
∴
∵在数轴上表示出各个解为:
∴原不等式组解集为-1<
x≤1
(注意:
借助数轴找公共解时,应选图中阴影部分,解集应用小于号连接,由小到大排列,解集不包括-1而包括1在内,找公共解的图为图
(1),若标出解集应按图
(2)来画。
例3.求不等式组
的正整数解。
步骤:
解不等式3x-2>
4x-5得:
x<
3,
解不等式
≤1得x≤2,
∴原不等式组解集为x≤2,
∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2
1、先求出不等式组的解集。
2、在解集中找出它所要求的特殊解,正整数解。
例4.m为何整数时,方程组
的解是非负数?
(本题综合性较强,注意审题,理解方程组解为非负数概念,即
。
先解方程组用m的代数式表示x,y,再运用“转化思想”,依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围,最后切勿忘记确定m的整数值。
)
解方程组
得
∵方程组
的解是非负数,∴
即
解不等式组
∴此不等式组解集为
又∵m为整数,∴m=3或m=4。
例5.解不等式
0。
(由”
“这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。
两个数的商为负数,这两个数异号,进行分类讨论,可有两种情况。
(1)
或
(2)
因此,本题可转化为解两个不等式组。
)
例6.解不等式-3≤3x-1<
5。
解法
(1):
原不等式相当于不等式组
解不等式组得-
≤x<
2,∴原不等式解集为-
2。
解法
(2):
将原不等式的两边和中间都加上1,得-2≤3x<
6,
将这个不等式的两边和中间都除以3得,
-
2,∴原不等式解集为-
(1)解一元一次不等式组的步骤:
①分别求出不等式组中各个不等式的解集;
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
(2)已知一次不等式(组)的解集(特解),求其中参数的取值范围,以及解含方程与不等式的混合组中参变量(参数)取值范围,近年在各地中考卷中都有出现。
求解这类问题综合性强,灵活性大,蕴含着不少的技能技巧。
下面举例介绍常用的五种技巧方法。
课本第30页“习题1.9”
第三课时
一、教学目标
能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式组解决简单的实际问题,并能根据具体问题的意义,检验结果是否合理。
①培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学创造性思维能力。
②体会不等式与方程之间的内在联系。
③通过数学建模,初步培养学生的数学建模能力。
3.情感目标:
①体会运用不等式解决简单实际问题的过程,提高学生的学习热情.。
②通过实际问题的解决,使学生体会数学知识在生活实际中的应用,激发学习兴趣。
二、教学重难点
教学重点:
如何构建不等式组模型。
教学难点:
如何将实际问题转化为不等式组问题。
三、教学工具:
多媒体教学平台。
四、教学过程设计
1.创设情景,导出问题
(师用多媒体展示问题,然后由学生自主探究。
一堆玩具发给若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件;
若前面每人分4件,则最后一人得到的玩具不足3件.求小朋友的人数与玩具数。
(待学生解决问题后,再让几个学生说出他们思考问题的过程。
2.探索思考,形成模型
(师用多媒体展示问题,再由学生分组自主合作探究,教师巡视并给予指导)
(1)一群女生住若干间宿舍,每间住4人,剩19人无房住;
每间住6人,有一间宿舍住不满。
①设有x间宿舍,请写出x应满足的不等式组:
。
②可能有多少间宿舍、多少名学生?
(2)做一做:
甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼,2h后,乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲.根据他们两人的约定,乙最快不早于1h追上甲,最慢不晚于1h15min追上甲。
乙骑自行车的速度应当控制在什么范围?
(师用多媒体课件展示动态的问题过程,然后要求学生用两种解法解,以体会不等式与方程之间的内在联系。
3.交流反思,评价结论
请各组学生代表上讲台说出各组解决问题的各种方法与过程,教师及时给予评价。
然后再通过实例引导学生归纳出解决实际问题的数学思想方法(师用多媒体投影下图):
4.练习巩固,促进迁移
(师用多媒体展示问题,学生自主探究.):
(通过对如下两个问题的探究,使学生学会运用所获得的数学方法解决新的问题。
(1)有一个两位数,它的十位数字比个位数字大1,并且这个两位数大于30且小于42,求这个两位数。
(2)某公司经过市场调研,决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”,要求这两种产品全年共新增产量20件,这20件的总产值p(万元)满足:
1100﹤p﹤1200.已知有关数据如下表所示,那么该公司明年应怎样安排甲、乙两种产品的生产量?
产品
每件产品的产值
甲
45万元
乙
75万元
5.回顾联系,形成结构
①列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤:
审题——设元——列不等式(组)——求解——检验——作答。
②数学建模的思想方法。
③注意:
要根据实际问题的意义确定数学模型的解。
(通过小结,进一步培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学建模的能力。
6.巩固应用,拓展研究
让学生解决如下两个现实生活中的实际问题,以培养学生的创新精神和实践能力。
(师用多媒体展示问题,学生自主探究.学生可根据自己的实际情况选作下列的问题。
(1)暑假期间,柳城县实验中学两位教师计划带若干名学生去桂林旅游,他们联系了报价都为每人500元的两家旅行社。
经协商,甲旅行社的优惠条件是:
两名教师全额收费,学生都按七折收费;
乙旅行社的优惠条件是:
教师、学生都按八折收费。
假设这两位教师带x名学生去桂林旅游,他们应该选择哪家旅行社?
(2)在举国上下众志成城,共同抗击“非典”的非常时期,南宁某医药器械厂接受了一批高质量医用口罩的生产任务,要求在8天之内(含8天)生产A型和B型两种型号的口罩共5万只,其中A型口罩不得少于1.8万只,该厂的生产能力是:
若生产A型口罩每天能生产0.6万只,若生产B型口罩每天能生产0.8万只。
已知生产一只A型口罩可获利0.5元,生产一只B型口罩可获利0.3元。
设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只,问:
⑴该厂生产A型口罩可获得利润万元,生产B型口罩可获得利润万元。
⑵设该厂这次生产口罩的总利润是y万元,试写出y关于x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围。
⑶如果你是该厂厂长:
①在完成任务的前提下,你如何安排生产A型口罩和B型口罩的只数,使获得的总利润最大?
最大利润是多少?
②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数?
最短时间是几天?
(3)试一试:
请你设计一道关于一元一次不等式(组)的实际应用问题。
(注:
如时间不够,问题2,3可让学生在课外继续自主研究。
通过以上练习,使学生把当堂知识运用并巩固起来。
7.课外作业与拓展
课本第32页“习题1.10”
回顾与思考
●教学目标
(一)教学知识点
1.不等式的基本性质.
2.解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集.
3.利用一元一次不等式解决实际问题.
4.一元一次不等式与一次函数.
5.一元一次不等式组及其应用.
(二)能力训练要求
通过回顾本章内容,培养学生归纳总结能力,以及用数学知识解决实际问题的能力.
(三)情感与价值观要求
利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题,让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进学生对数学的理解和学好数学的信心.
●教学重点
掌握本章所有知识.
●教学难点
利用本章知识解决实际问题.
●教学方法
教师指导学生自己归纳总结法.
●教具准备
投影片五张
第一张:
(记作§
1.7A)
第二张:
1.7B)
第三张:
1.7C)
第四张:
1.7D)
第五张:
1.7E)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们已经学完了本章的全部内容,这节课大家一起来进行回顾.
Ⅱ.新课讲授
[师]1.首先,大家来简要概括一下本章的知识点有哪些?
[生]由现实生活中的不等关系推导出不等式的意义,并能根据条件列出不等式;
类比等式的性质,推导不等式的有关性质以及等式性质与不等式性质的异同;
根据不等式的性质求解不等式,并能利用不等式解决实际问题;
一元一次不等式与一次函数;
一元一次不等式组及其应用.
[师]很好.这位同学对本章知识掌握得如此熟悉,大家应该向他学习.下面我们分别详细地回顾总结.
2.重点知识讲解
(1)不等式的基本性质:
[生]不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.
不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
[师]不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点?
[生]不等式的基本性质有三条,等式的基本性质有两条;
两个性质中在两边都加上(或都减去)同一个整式时,结果相似;
在两边都乘以(或除以)同一个正数时,结果相似;
在两边都乘以(或除以)同一个负数时,结果不同.
[师]很好.两个性质可以对比如下:
投影片(§
等式
不等式
两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式
两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为0),所得结果仍是等式
两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
例题讲解
下列方程或不等式的解法对不对?
为什么?
(1)-x=6,两边都乘以-1,得x=-6
(2)-x>6,两边都乘以-1,得x>-6
(3)-x≤6,两边都乘以-1,得x≤-6
[解]
(1)正确.因为符合等式的性质.
(2)、(3)错误.根据不等式的基本性质3,在不等式两边都乘以-1,不等号的方向要改变,而
(2)、(3)都没改变,所以错误.
(2)解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同?
[师]解一元一次不等式的步骤有哪些?
[生]解一元一次不等式的步骤有:
去分母;
去括号;
移项;
合并同类项;
系数化成1.
[师]很好.下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同.
解一元一次方程
解一元一次不等式
解法步骤
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)系数化成1
在上面的步骤
(1)和(5)中,要注意不等式号方向是否改变
解的情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式的解集含有无限多个数
[例题]下面不等式的解法对不对?
(1)7x+5>8x+6
7x-8x>6-5
-x>1
∴x>-1
(2)6x-3<4x-4
6x-4x<-4+3
2x<-1
∴x>
.
(1)不对.在不等式两边都乘以-1时,不等号的方向应改变.应为x<-1.
(2)不对.在不等式的两边都除以2时,不等号的方向不变,且不能丢掉“-”号,应为
∴x<-
(3)举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式(组)的解集.
解下列不等式或不等式组,并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)2(x-3)>4;
(2)2x-3≤5(x-3);
(3)
(4)
(1)去括号,得2x-6>4
移项、合并同类项,得2x>10
两边都除以2,得x>5.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
图1-43
(2)去括号,得2x-3≤5x-15
移项、合并同类项,得-3x≤-12
两边都除以-3,得x≥4.
图1-44
解不等式
(1),得x<1
解不等式
(2),得x>-2
在同一条数轴上表示不等式
(1)、
(2)的解集:
图1-45
所以,原不等式组的解集为-2<x<1.
解不等式
(2),得x>2.
图1-46
所以,原不等式组的解集为无解.
[师]解一元一次不等式组求公共部分时要记住:
“同大取大,同小取小,
大于小数小于大数居中间,
大于大数小于小数无解”
(4)说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.
[师]大家还可以用类比的方法,比较列方程解应用题的步骤,猜想出用不等式解决实际问题的步骤.
暑假期间,两名家长计划带领若干名学生去旅游,他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社,经协商,甲旅行社的优惠条件是:
两名家长全额收费,学生都按七折收费;
乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游,他们应该选择哪家旅行社?
设选择甲旅行社所需费用为y1元,选择乙旅行社所需费用为y2元,则
y1=500×
2+70%×
500x=350x+1000
y2=80%×
500(x+2)=400(x+2)=400x+800
当y1=y2时,350x+1000=400x+800
解得x=4;
当y1>y2时,350x+1000>400x+800
解得x<4;
当y1<y2时,350x+1000<400x+800
解得x>4.
所以,当学生人数为4人时,甲、乙两家旅行社的收费相同;
当学生人数少于4人时,选择乙旅行社;
当学生人数多于4人时,选择甲旅行社.
[师]大家能总结一下基本过程吗?
[生]可以.
①审题,设未知数;
②找不等关系;
③列不等式;
④解不等式;
⑤写出答案.
(5)一元一次不等式与一次函数.
[生]如函数y=2x-5,当y>0时,有2x-5>0,当y<0时,有2x-5<0.
Ⅲ.课堂练习
解下列不等式或不等式组:
(1)3(2x+5)>2(4x+3);
(2)10-4(x-3)≤2(x-1);
;
(1)去括号,得6x+15>8x+6
移项、合并同类项,得2x<9
两边都除以2,得x<
(2)去括号,得
10-4x+12≤2x-2
移项、合并同类项,得6x≥24
两边都除以6,得x≥4.
(3)去分母,得5(x-3)>2(x+6)
去括号,得5x-15>2x+12
移项、合并同类项,得3x>27
两边都除以3,得x>9
解不等式
(1),得x<0
解不等式
(2),得x>0
这两个不等式的解集在同一数轴上表示为:
图1-47
Ⅳ.课时小结
回顾本章的知识点,并进行有关练习.
Ⅴ.课后作业
复习题A组
Ⅵ.活动与探究
某化工厂2000年12月在判定2001年某种化肥的生产计划时,收集到了如下信息:
1.生产该种化肥的工人数不超过200人;
2.每个工人全年工作时数不得多于2100个;
3.预计2001年该化肥至少可销售80000袋;
4.每生产一袋该化肥需要工时4个;
5.每袋该化肥需要原料20千克;
6.现库存原料800吨,本月还需用200吨,2001年可以补充1200吨.
请你根据以上数据确定2001年该种化肥的生产袋数的范围.
设2001年可生产该化肥x袋.根据题意得
解得80000≤x≤90000且x为整数.
[答]2001年该化肥产量应确定在8万到9万袋之间.
●板书设计
§
1.7回顾与思考
一、1.简述本章的知识点
(1)不等式的基本性质、以及与等式的基本性质的异同.
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 一元 一次 不等式