-江苏省南通市海安县高一上期末数学试卷解析版.doc
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2015-2016学年江苏省南通市海安县高一(上)期末数学试卷
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合A={1,3},B={3,4},则A∪B= {1,3,4} .
解:
∵集合A={1,3},B={3,4},∴A∪B={1,3,4},
2.计算sin150°+2cos240°+3tan315°后,所得结果的值为 ﹣3.5 .
解:
原式=sin(180°﹣30°)+2cos(180°+60°)+3tan(360°﹣45°)
=sin30°﹣2cos60°﹣3tan45°=﹣1﹣3=﹣3.5,
3.函数y=lg(3﹣x)(2x﹣1)的定义域为 (0,3) .
解:
∵函数y=lg(3﹣x)(2x﹣1),∴(3﹣x)(2x﹣1)>0,
即,或;解得0<x<3,∴函数y的定义域为(0,3).
4.在平面直角坐标系中,已知点A(0,0),B(1,1),C(2,﹣1),则∠BAC的余弦值为 .
解:
|AB|==,|AC|=,|BC|=.
∴cos∠BAC===.
5.已知函数f(x)=,则f(﹣)的值为 1+ .
解:
f(﹣)=f(﹣+1)+1=f()+1=cos+1=1+;
6.已知点P在线段AB上,且|=4||,设=λ,则实数λ的值为 ﹣3 .
解:
∵点P在线段AB上,且||=4||,=λ,
∴=3,且与方向相反,∴λ=﹣3.
7.定义运算=ad﹣bc,若函数f(x)=在(﹣∞,m)上是单调减函数,则实数m的最大值是 ﹣2 .
解:
由定义得函数f(x)==(x﹣1)(x+3)+2x=x2+4x﹣3,
函数的对称轴为x=﹣2,在函数在(﹣∞,﹣2]上单调递减,
若函数f(x)在(﹣∞,m)上是单调减函数,则m≤﹣2,
故实数m的最大值是﹣2,
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω,0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(π)的值为 3 .
解:
由函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω,0,|φ|<)的部分图象,
可得A+B=4,﹣A+B=0,=﹣,
求得B=2,A=2,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ)+2.
再根据图象过点(,2),可得sin(2+φ)=0,∴φ=,
f(x)=2sin(2x+)+2,∴f(π)=2sin(2π+)+2=3,
9.设,,是同一平面内的单位向量,且⊥,则(﹣)(﹣2)的最大值为 1 .
解:
;∴;
又;
∴=
===;
∴的最大值为.
10.函数f(x)=的最小正周期为 2π .
解:
∵f(x)==,又y=|sinx|的周期为π,cosx的周期为2π,
作出其图象如下:
∴可得函数f(x)==的最小正周期为2π.
11.如图,点C是半径为2的圆的劣弧的中点,连接AC并延长到点D,使得CD=AC,连接DB并延长交圆于点E,若AC=2,则的值为 4 .
解:
如图,连接CE,∵;∴∠AEC=∠DEC;∴CE为∠AED的角平分线;
又C是AD中点,即CE为△ADE底边AD的中线;
∴AE=DE;∴CE⊥AD;∴∠ACE=90°;∴AE为圆的直径;∴AE=4,DE=4;
又AD=4;∴∠EAC=60°;∴.
12.在平面直角坐标系中,横纵坐标均为整数的点为整点,若函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数,有下列函数:
①f(x)=sinx;②g(x)=x2;③h(x)=()x;④φ(x)=lnx,其中一阶整点函数的是 ①④ .
解:
对于函数f(x)=sin2x,它只通过一个整点(0,0),故它是一阶整点函数;
对于函数g(x)=x2,当x∈Z时,一定有g(x)=x3∈Z,即函数g(x)=x3通过无数个整点,它不是一阶整点函数;对于函数h(x)=,当x=0,﹣1,﹣2,时,h(x)都是整数,故函数h(x)通过无数个整点,它不是一阶整点函数;对于函数φ(x)=lnx,它只通过一个整点(1,0),故它是一阶整点函数,
故答案为:
①④.
13.若函数f(x)=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点,则实数a的取值范围是 a=2﹣2或a≤﹣1 .
解:
f(x)=4x+a2x+a+1=(2x)2+a2x+a+1,
设t=2x,则t>0,
则函数等价为y=t2+at+a+1,若函数f(x)=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点,等价为y=t2+at+a+1=0,只有一个正根,
若判别式△=0,则a2﹣4(a+1)=0,且t=﹣>0,
即a2﹣4a﹣4=0,且a<0,得a=2+2(舍)或a=2﹣2,
若判别式△>0,设h(t)=t2+at+a+1,则满足或,
即①或,②
①无解,②得a≤﹣1,综上a=2﹣2或a≤﹣1,
14.某同学研究相关资料,得到两种求sin18°的方法,两种方法的思路如下:
思路一:
作顶角A为36°的等腰三角形ABC,底角B的平分线交腰AC于D;
思路二:
由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1,可知cos2α可表示为cosα的二次多项式,推测cos3α也可以用cosα的三次多项式表示,再结合cos54°=sin36°.
请你按某一种思路:
计算得sin18°的精确值为 .
解:
设α=18°,则5α=90°,从而3α=90°﹣2α,
于是cos3α=cos(90°﹣2α),
即cos3α=sin2α,展开得4cos3α﹣3cosα=2sinαcosα,∵cosα=cos18°≠0,
∴4cos2α﹣3=2sinα,化简得4sin2α+2sinα﹣1=0,解得sinα=,或sinα=(舍去),
二、解答题:
本大题共6小题,满分90分
15.已知A={x|﹣x2+3x﹣2>0},B={x|x2﹣(a+1)x﹣a≤0}.
(1)化简集合B;
(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.
解:
(1)原不等式可化为(x﹣a)(x﹣1)≤0.
①当a>1时,1≤x≤a,∴B=[1,a];②当a=1时,x=1,∴B={1};
③当a<1时,a≤x≤1,∴B=[a,1].
(2)∵A=(1,2),A⊆B,∴a≥2.
16.设α为锐角,且cos(α+)=,tan(α+β)=.
(1)求sin(2α+)的值;
(2)求tan(2β﹣)的值.
解:
(1)∵α为锐角,且cos(α+)=,tan(α+β)=,
∴sin(α+)==,
sin2(α+)=2sin(α+)cos(α+)=2=,
∴cos2(α+)=1﹣2=,
故sin(2α+)=sin[2(α+)﹣]=sin2(α+)cos﹣cos2(α+)sin
=﹣=.
(2)由
(1)可得,tan(α+)==,
tan(β﹣)=tan[(α+β)﹣(α+)]===,∴tan(2β﹣)=tan2(β﹣)==.
17.设函数f(x)=是奇函数,且f
(1)=5.
(1)求a和b的值;
(2)求证:
当x∈(0,+∞)时,f(x)≥4.
解:
(1)函数f(x)=的定义域为{x|x≠﹣b},即f(﹣b)不存在,
若b≠0,则f(b)有意义,这与f(x)为奇函数矛盾,故b=0.
∵f
(1)=5,∴,解得a=1;
(2)证明:
设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则x1x2>0,x1﹣x2<0,
=.
①若x1,x2∈(0,2],则x1x2<4,于是x1x2﹣4<0,从而f(x1)﹣f(x2)>0;
②若x1,x2∈[2,+∞),则x1x2>4,于是x1x2﹣4>0,从而f(x1)﹣f(x2)<0.
由①②知,函数f(x)在(0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.
∴f(x)在(0,+∞)上的最小值为f
(2)=.∴f(x)≥4.
18.在△ABC中,AB=3,AC=4,N是AB的中点,M是边AC(含端点)上的动点.
(1)若∠BAC=60°,求||的值;
(2)若⊥,求cosA的取值范围.
解:
(1)利用余弦定理可得:
=32+42﹣2×3×4cos60°=13,解得=.
(2)设=t(0≤t≤1).==﹣,==﹣.
∴=(﹣)(﹣)=+﹣.
∵,∴=+﹣=0.
化为:
﹣16t+12cos∠BAC﹣=0,
整理可得:
cos∠BAC===f(t),(0≤t≤1).
由于f(t)是[0,1]是的单调递增函数,
∴f(0)≤f(t)≤f
(1),即≤f(t)≤,即≤cosA≤,∵A∈(0,π),
∴cosA<1,∴cosA的取值范围是.
19.某工厂制作如图所示的一种标识,在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形,“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成,两个横距形全等且成是竖矩形长的倍,设O为圆心,∠AOB=2α,“工”字图形的面积记为S.
(1)将S表示为α的函数;
(2)为了突出“工”字图形,设计时应使S尽可能大,则当α为何值时,S最大?
解:
(1)连接CD,取AB的中点M,连接OM,交CD于N,
由∠AOB=2α,可得∠BOM=α,α∈(0,),
且BM=Rsinα,OM=Rcosα,由题意可得ON=BM=Rsinα,
BC=MN=OM﹣ON=R(cosα﹣sinα),由BC>0,可得α∈(0,),
则S=2ABBC+ABBC=(4+)R2(sinαcosα﹣sin2α),(α∈(0,));
(2)S=(4+)R2(sinαcosα﹣sin2α)
=(4+)R2(sin2α+cos2α﹣)
=(4+)R2(sin2α+cos2α)﹣(4+)R2
=(4+)R2sin(2α+)﹣(4+)R2
由α∈(0,),可得<2α+<,
即有2α+=,即α=时,S取得最大值R2.
20.设a为实数,函数f(x)=x2+|x﹣a|﹣1,x∈R
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
解:
(1)当a=0时,函数f(﹣x)=(﹣x)2+|﹣x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(﹣a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(﹣a),f(a)≠﹣f(﹣a),
此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2+|x﹣a|﹣1=x2﹣x+a﹣1=(x﹣)2+a﹣,
当a≤时,函数f(x)在(﹣∞,a]上单调递减,从而函数f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为f(a)=a2﹣1.
若a,则函数f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为f()=a﹣.
②当x≥a时,函数f(x)=x2+|x﹣a|﹣1=x2+x﹣a﹣1=(x+)2﹣a﹣,
若a≤﹣时,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(﹣)=﹣a﹣.
若a>﹣,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2﹣1.
综上,当a≤﹣时,函数f(x)的最小值为﹣a﹣,﹣时,函数f(x)的最小值为a2﹣1,
当a时,函数f(x)的最小值为a﹣.
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