数学建模病人候诊问题.docx
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数学建模病人候诊问题
2013年浙江理工大学数学建模竞赛封面
题目:
A(√)B(在相应的题号上打钩)
姓名年级(注1)专业手机号
(注1):
须注明本科生或研究生及年级
浙江理工大学理学院数学建模实践基地
二零一三年三月
精选文库
病人候诊问题
摘要
本文针对病人候诊问题,通过采用服从泊松分布的病人到达率和服从负指数分布的看病时间,建立病人候诊单服务台的排队模型,来分析诊所的工作状态。
针对问题一,我们假设病人到达率服从泊松分布,病人的看病时间服从负指数分布,诊所容量无限,引入排队论原理和“生灭过程”状态方程表达出病人排队看病过程,编写LINGO程序来运算得到该诊所内排队候诊病人的数学期望,病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率,以及排队队长。
同时通过模型分析,给出了最优服务率(即病人看病时间)的求解方程式。
针对问题二,我们在问题一的基础上将模型进行推广,在问题一的基础上限制诊所的容量,通过计算得出了诊所内排队候诊病人的数学期望,病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率,以及排队队长的表达式,将数据代入得到最后的结论。
编写LINGO程序方便求解。
得出最优服务率的方程式。
关键字:
泊松分布,负指数分布,容量,排队论,生灭过程,LINGO,最优服务率。
一、问题的提出
—1
精选文库
某私人诊所只有一位医生,已知来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的,若病人的到达服从泊松分布且每小时有4位病人到来,看病时间服从负指数分布,平均每个病人需要12分钟。
试分析该诊所的工作状况,即求出该诊所内排队候诊病人的数学期望,病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率等。
二、模型的准备
本题是单服务台的排队模型,排队是日常生活中常见的一种现象,其特点
是:
在一个排队服务系统中包含有一个或多个“服务设施”,有许多需要进入服
务系统的“被服务者”或“顾客”,当被服务者进入系统后不能立即得到服务,
也就出现排队现象。
由于“被服务者”到达服务系统的时间不确定,是随即的,
所以排队论又称为“随即服务系统理论”,因此,排队论在实际中有着广泛的应
用。
如:
病人候诊,顾客到商店购物,轮船入港,机器等待修理。
排队论主要研
究的内容是性态问题,最优化问题和排队系统的统计推断。
排队论中的排队系统由下列三部分组成:
(1)输入过程,即顾客来到服务台的概率分布。
在输入过程中要弄清顾客按怎样的规律到达。
(2)排队规则,即顾客排队和等待的规则,排队规则一般有即时制和等待
制两种。
所谓即时制就是当服务台被占用时顾客便随即离去;等待制就是当服务
台被占用时顾客便排队等待服务。
等待制服务的次序规则有先到先服务,随机服
务,有优先权的先服务等。
(3)服务机构,其主要特征为服务台的数目,服务时间的分布。
服务机构可以是没有服务员的,也可以是一个或多个服务员;可以对单独顾客进行服务,
也可以对成批顾客进行服务。
和输入过程一样,多数的服务时间都是随机的,但通常假定服务时间的分布是平稳的。
排队论主要是研究排队系统运行的效率,估计服务质量,确定系统参数的最优值,以决定系统结构是否合理、研究设计改进措施。
因此,研究排队问题,首先要确定用以判断系统运行优劣的基本量化指标,然后求出这些指标的概率分
布和数学特征。
要研究的系统运行指标主要有:
(1)队长指在系统中的顾客数,期望值记作LS;
(2)排队长(队列长)指在系统中等待服务的顾客数,其期望值记作Lq,
即LS=Lq+Ln,其中Ln为正在接受服务的顾客数;
(3)逗留时间指一个顾客在系统中的停留时间,其期望值记作WS;
(4)等待时间指一个顾客在系统中排对等待的时间,其期望值记作Wq,
即WS=Wq+α,其中α为服务时间;
(5)忙期服务机构连续工作的时间长度,记作Tb;
—2
精选文库
(6)损失率由于系统的条件限制,使顾客被拒绝服务而使服务部门受到
损失的概率,用Plost表示;
(7)服务强度绝对通过能力A,表示单位时间内被服务完顾客的均值,或称为平均服务率;相对通过能力Q,表示单位时间内被服务完的顾客数与请求服务的顾客数之比值。
要解决这里的病人候诊问题,只要分析排队论中最简单的单服务台排队问
题即可。
所谓单服务台是指服务机构由一个服务员组成,对顾客进行单独的服务。
下面通过对这类问题的分析和讨论来解决病人候诊问题。
三、模型假设
(1)顾客源无限,顾客单个到来且相互独立,顾客流平稳,不考虑出现高峰期和空闲期的可能性。
(2)排队方式为单一队列的等待制,先到先服务。
队长没有限制。
(3)顾客流满足参数为的泊松分布,其中是单位时间到达顾客的平均
数。
(4)各顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布,其中表示单位时间
内能服务完的顾客的平均数。
(5)顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。
四、模型的分析与建模
确定系统在任意时刻t的状态为n的概率Pn(t)。
由假设知,当t充分小时,在[t,t+t]时间间隔内:
有一个顾客到达的概率为:
t+(t);
没有一个顾客到达的概率为:
1-t+(t);
有一个顾客被服务完的概率为:
μt+(t);
没有一个顾客被服务完的概率为:
1-t+(t);
多于一个顾客到达或被服务完离开的概率为:
(t);
现在考虑在t+t时刻系统中有n个顾客的概率Pn(t+t),可能有四种
情况
A:
时刻t顾客数为nPn(t+t)=Pn(t)(1-t)(1-μt)
B:
时刻t顾客数为n+1Pn(t+t)=Pn1(t)(1-t)t
—3
精选文库
C:
时刻t顾客数为n-1
Pn(t+
t)=Pn1(t)(
t)(1-
t)
D:
时刻t顾客数为n
Pn(t+
t)=Pn(t)(
t)(
t)
这是一个生灭过程,四种情况相互独立,则有Pn(t+
t)=Pn(t)(1-t
-t)+Pn1(t)
t+Pn1(t)
t+
(t),
令t
0,则得
n
t
dp
=
Pn1(t)
+
Pn1(t)-(
+
)Pn(t),
n=1,2,...
dt
当n=0时,类似有
dp
t
P0t
+
P1t.
dt
=-
于是,一般的,有
dp0(t)
p0(t)
p1(t)
dt
dpn(t)
pn1(t)
pn1(t)
(
)pn(t)
dt
n=1,2...
五、模型求解
此方程为差分微分方程,假设
t
,极限存在,于是有
dpn
t
=0,
dt
Pnt=Pn则状态平衡方程为
{
p0
p1
0
pn1
pn1
pn
0,(n1)
令=,它表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例,它
是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志,称为服务强度。
我们的问
—4
精选文库
题求解将在<1的条件下进行,否则系统内排队的长度将无穷增大,永远不能达到稳定状态。
由差分方程
(1),得Pn=
n
P0,
n=0,1,2,
又由概率的性质
n0Pn=1
和
<1,得
p0(
n)1
(1)1
1
n0
1
从而,
pn
n(1
),n
0,1,2,
下面我们就可以计算出系统的一些重要运行指标。
(1)队长
n
;
Ls=n1n(1-)
=
=
1
(2)队列长
Lq=n1
n1Pn=Ls-
=
;
(3)逗留时间
逗留时间服从参数为
的负指数分布,分布函数和
分布密度分别为
FW=1-e
w
fw=(
w
和
)e
所以Ws=EW
1
=
;
(4)等待时间
等待时间=逗留时间-被服务时间,即
Wq=Ws-
1
=
由题意可得
=4
,
5,
4
,
5
从而,该诊所内平均有病人人数为:
Ls=
=4(人)
该诊所内排队候诊病人的平均数为:
Lq=
=3.2(人)
—5
精选文库
看一次病平均所需的时间:
Ws=
1
1(小时)
排队等候看病的平均时间:
Wq==0.8(小时)
诊所的医生空闲的概率,即诊所中没有病人的概率为:
P0
1
5
结论:
由结果可知病人平均等待的概率为0.8,病人平均等待时间0.8h,系统排队长3.2人,病人平均逗留时间为1h,系统队长4人。
六、模型推广
在刚刚的建模中,我们考虑的是顾客源为无限的情形。
在实际情况下,我们常考虑系统容量有限的模型(记之为模型)。
这类模型,可以在模型假设中将原
模型假设中的假设1中“认为顾客源无限”改为“认为排队系统的容量为N,即排队等待的顾客最多为N-1,在某时刻一顾客到达时,如系统中已有N个顾客,那么这个顾客就被拒绝进入系统”,其他假设一样。
p
'(t)
p
(t)
p(t)
0
0
1
pn'(t)
pn1(t)
pn1(t)
(
)pn(t),n
1,2,
N1
当n=N时,由同样的方法得:
pN'(t)
pN1(t)
pN(t)
在稳态情况下,令
,得
p1
p0
pn1
pn1(1
)pn,n1,2,
N
1
pN
pN1
p0
p1
pN
1
1
N
1
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