高考第二轮复习理数专题十 不等式Word文档下载推荐.docx
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0,>
,故A项错误;
B项,由a<
0,得b(a-b)>
b2,故B项错误;
C项,由a<
0,得a(a-b)>
0,a2>
ab,即-ab>
-a2,故C项错误;
D项,由a<
0,得a-b<
0,故--=<
0,-<
-成立.故D项正确.
方法二(特殊值法):
令a=-2,b=-1,则=->
-1=,ab=2>
1=b2,-ab=-2>
-4=-a2,-=<
1=-.故A,B,C项错误,D项正确.
5.(2011·
上海,15,易)若a,b∈R,且ab>
0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>
2abB.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
5.D A项,当a=b=1时,满足ab>
0,但a2+b2=2ab,所以A错误;
B,C项,当a=b=-1时,满足ab>
0,但a+b<
0,+<
0,而2>
0,显然B,C错误;
D项,当ab>
0时,由基本不等式得+≥2=2,所以D正确.
6.(2011·
浙江,7,易)若a,b为实数,则“0<
ab<
1”是“a<
或b>
”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.A 当0<
1时,若b>
0,则有a<
;
若b<
0,则a<
0,从而有b>
,故“0<
或b>
”的充分条件.反之,取b=1,a=-2,则有a<
,但ab<
0,故选A.
不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容,高考中主要以客观题形式呈现,难度不大,分值5分,复习时注意不等式的等价变形,特别是不等式两边同乘以或同除以一个数时,不等式的方向变化.
(1)(2016·
北京平谷区质检,6)已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:
①若ab>0,bc-ad>0,则->0;
②若ab>0,->0,则bc-ad>0;
③若bc-ad>0,->0,则ab>0.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
(2)(2014·
课标Ⅰ,9)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1:
∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:
∃(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:
∀(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:
∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( )
A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3
【解析】
(1)对于①,∵ab>0,bc-ad>0,∴-=>0,∴①正确;
对于②,∵ab>0,又->0,即>0,∴bc-ad>0,∴②正确;
对于③,∵bc-ad>0,又->0,即>0,∴ab>0,∴③正确.
(2)设x+2y=m(x+y)+n(x-2y),
则解得
∵∴(x+y)≥,-(x-2y)≥-,
∴x+2y=(x+y)-(x-2y)≥0.
故命题p1,p2正确,p3,p4错误.
【答案】
(1)D
(2)B
题
(1)实质为ab>0,bc-ad>0,->0三个结论之间的轮换,知二推一,利用不等式的性质判断.
(2)利用不等式组求x+2y的范围,注意性质应用的条件,以免扩大取值范围.
判断关于不等式的命题真假的三种方法
(1)直接运用不等式的性质:
把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断.
(2)利用函数的单调性:
当直接利用不等式性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.
(3)特殊值验证法:
给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值,然后进行比较、判断.
利用不等式的性质求取值范围的方法
由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.
1.(2014·
四川·
4)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.>B.<
C.>D.<
1.D 方法一:
c<
d<
0⇒cd>
0⇒<
<
0⇒⇒>
⇒<
.
方法二:
依题意取a=2,b=1时,c=-2,d=-1,代入验证得A,B,C均错,只有D正确.
2.(2016·
江苏镇江模拟,14)设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是________.
2.【解析】 方法一:
由题意知,实数x,y均为正数,则条件可化为lg3≤lgx+2lgy≤lg8,lg4≤2lgx-lgy≤lg9.
令lgx=a,lgy=b,
则有设t=,则lgt=3lgx-4lgy=3a-4b.令3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b),解得m=-1,n=2,故lgt=-(a+2b)+2(2a-b)≤-lg3+4lg3=lg27.所以的最大值为27.
将4≤≤9两边平方,得
16≤≤81.①
由3≤xy2≤8,得≤≤.②
由①②,得2≤≤27,即的最大值是27.
【答案】 27,
河北衡水一模,5)设a,b为实数,命题甲:
ab>b2,命题乙:
<<0,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
1.B 命题甲:
ab>b2,不能推出命题乙:
<<0,比如取a=2,b=1,虽然满足甲,但推不出乙;
若命题乙:
<<0成立,则可得a,b均为负值,且a<b,由不等式的性质两边同乘b可得ab>b2,即甲成立,故甲是乙的必要不充分条件,故选B.
湖北荆门模拟,8)已知a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( )
A.a>ab>ab2B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2D.ab>ab2>a
2.D 由-1<b<0,得b<b2<1.又∵a<0,∴ab>ab2>a.
3.(2015·
河北衡水二模,5)已知0<
a<
1,则( )
A.>
B.<
C.(lga)2<
(lgb)2D.>
3.D 因为0<
1,
所以-=<
0.
可得<
,>
,(lga)2>
(lgb)2,lga<
lgb<
由lga<
0得>
,因此只有D项正确.
利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解.
4.(2016·
安徽合肥质检,6)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为( )
A.(1,+∞)B.(0,2)C.(1,3)D.(0,3)
4.B 由已知及三角形三边关系得∴
∴两式相加得,
0<2×
<4,
∴的取值范围为(0,2),故选B.
5.(2016·
浙江宁波模拟,5)对于0<a<1,给出下列四个不等式:
①loga(1+a)<loga;
②loga(1+a)>loga;
③a1+a<a1+;
④a1+a>a1+.
其中成立的是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
5.D 因为0<a<1,所以(1+a)-=<0,则1+a<1+,可知②④成立.
6.(2016·
广东汕头一模,10)已知实数x,y满足则4x+2y的取值范围是________.
6.【解析】 方法一:
∵1≤x+y≤3,①
-1≤x-y≤1,②
由①+②,得0≤2x≤4,③
③×
2得0≤4x≤8,④
由①-②,得2≤2y≤2,⑤
由④+⑤得2≤4x+2y≤10.
令4x+2y=m(x+y)+n(x-y),
即4x+2y=3(x+y)+(x-y),
∵1≤x+y≤3,
∴3≤3(x+y)≤9,
又∵-1≤x-y≤1,
∴2≤3(x+y)+(x-y)≤10.
∴2≤4x+2y≤10.
【答案】 [2,10]
课标Ⅰ,1,易)设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
A.B.
C.D.
1.D [考向1]本题考查集合的运算以及不等式的解法.A={x|1<
x<
3},B=.所以A∩B=.
课标Ⅲ,1,易)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>
0},则S∩T=( )
A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)
2.D [考向1]S={x|x≤2或x≥3},T={x|x>
0},∴S∩T=(0,2]∪[3,+∞).
天津,4,易)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )
3.A [考向1]由|x-2|<1⇔-1<x-2<1⇔1<x<3.
由x2+x-2>0⇔x<-2或x>1.
而(1,3)(-∞,-2)∪(1,+∞),
所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件,故选A.
安徽,6,中)已知一元二次不等式f(x)<
0的解集为,则f(10x)>
0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
4.D [考向1]∵f(x)<
0的解集为
,
∴f(x)>
0的解集为.
∴由f(10x)>
0得,-1<
10x<
,解得x<
-lg2.
5.(2013·
陕西,9,中)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:
m)的取值范围是( )
A.[15,20]B.[12,25]
C.[10,30]D.[20,30]
5.C [考向1]设矩形另一边长为y,则由相似三角形得,=,且40>x>0,40>y>0,故其邻边长y=(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300得-x2+40x≥300,解得10≤x≤30.
6.(2013·
天津,8,难)已知函数f(x)=x(1+a|x|),设关于x的不等式f(x+a)<
f(x)的解集为A.若⊆A,则实数a的取值范围是( )
C.∪
6.A [考向2]由题意可得0∈A,即f(a)<
f(0)=0,所以a(1+a|a|)<
0,当a>
0时无解,所以a<
0,此时1-a2>
0,所以-1<
0.抛物线的对称轴x=,x=-之间的距离大于1,而[x+a,x]的区间长度小于1,所以不等式f(x+a)<
f(x)的解集是,所以
⊆,
所以
即
解得<
,又-1<
0,
所以实数a的取值范围是.
7.(2012·
浙江,17,难)设a∈R,若x>0,均有[(a-1)x-1]·
(x2-ax-1)≥0,则a=________.
7.[考向3]【解析】
(1)当a=1时,不等式可化为对∀x,x>
0时均有x2-x-1≤0,由二次函数的图象知,显然不成立,
∴a≠1.
(2)当a<
1时,∵x>
0,∴(a-1)x-1<
0,则不等式可化为x>
0时均有x2-ax-1≤0.
∵二次函数y=x2-ax-1的图象开口向上,∴不等式x2-ax-1≤0在x∈(0,+∞)上不能恒成立,∴a<
1不成立.
(3)当a>
1时,令f(x)=(a-1)x-1,g(x)=x2-ax-1,两函数的图象均过定点(0,-1).∵a>
1,∴f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,且与x轴交点为,即当x∈时,f(x)<
0,当x∈时,f(x)>
又∵二次函数g(x)=x2-ax-1的对称轴为x=>
0,则只需g(x)=x2-ax-1与x轴的右交点与点重合,
如图所示,
则命题成立,即在g(x)图象上,所以有--1=0,整理得2a2-3a=0,解得a=,a=0(舍去).
综上可知a=.
【答案】
解一元二次不等式及分式不等式一般为容易题,主要以选择题、填空题出现.常与集合的交、并、补结合,难度不大.
在平时复习中应熟练掌握图象法解一元二次不等式的方法,注重分式不等式、绝对值不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程,书写时注意解集写成集合或区间的形式.
1
(1)(2012·
重庆,2)不等式≤0的解集为( )
C.∪[1,+∞)
D.∪[1,+∞)
(2)(2015·
广东文,11)不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)
(3)(2013·
江苏,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.
【解析】
(1)不等式≤0⇔
解得-<x≤1,
∴不等式的解集为.
(2)由-x2-3x+4>0得x2+3x-4<0,
即(x+4)(x-1)<0,解得-4<x<1.
(3)当x>0时,f(x)=x2-4x,
令x<0,则-x>0,
∴f(-x)=x2+4x.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=x2+4x,即x<0时,f(x)=-x2-4x.
f(x)>x,即或或
解得-5<x<0或x>5,
∴不等式f(x)>x的解集为(-5,0)∪(5,+∞).
【答案】
(1)A
(2)(-4,1) (3)(-5,0)∪(5,+∞),
解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形,使不等号一端二次项系数大于0,另一端为0,即化为ax2+bx+c>
0(a>
0)或ax2+bx+c<
0)的形式;
(2)计算相应的判别式;
(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;
(4)根据对应的二次函数的图象,写出不等式的解集.
分式不等式的解法
(1)>0(<
0)
⇔f(x)·
g(x)>0(<
0);
(2)≥0(≤0)
⇔
注意:
求解分式不等式,关键是对原不等式进行恒等变形,转化为整式不等式(组)求解.解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后,及时去掉分母等于0的情形.
含参数的一元二次不等式问题是高考的热点,主要出现在综合题中,常与函数、导数联系在一起,难度较大,复习时要加强此知识点的强化训练.
2
(1)(2013·
重庆,7)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )
A. B.C. D.
(2)(2016·
河南中原名校联考,5)已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<m的解集为(n,n+10),则实数m的值为( )
A.25B.-25C.50D.-50
【解析】
(1)方法一:
由条件知,x1和x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,所以(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2=152.又a>0,所以a=.
由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0.
因为a>0,所以不等式的解集为(-2a,4a).又不等式的解集为(x1,x2),所以x1=-2a,x2=4a,从而x2-x1=6a=15,解得a=.
(2)由函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞)知,Δ=b2-8c=0,所以c=.不等式f(x)<m即2x2+bx+<m,即2x2+bx+-m<0的解集为(n,n+10).设方程2x2+bx+-m=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=-,所以|x1-x2|===.
由题意知|x1-x2|=|n+10-n|=10,所以m=50.
【答案】
(1)A
(2)C,
(1)方法一利用不等式的解集以及根与系数的关系得到两根关系式,然后与已知条件化简求解a的值;
方法二注意因式分解的恰当应用会给解题带来意想不到的效果.
(2)二次函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞)等价于Δ=0;
f(x)<m的解集为(n,n+10)转化为两交点间的距离|x1-x2|=10.
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.
(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
一元二次不等式恒成立问题也是高考的一个考点,主要考查根据一元二次不等式的恒成立求参数的范围、求最值等,一般以选择题或填空题的形式出现,试题难度不大.
3
(1)(2014·
江苏,10)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.
山东,15)已知函数y=f(x)(x∈R).对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:
对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>
g(x)恒成立,则实数b的取值范围为________.
【解析】
(1)要满足f(x)=x2+mx-1<
0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需即
解得-<
m<
(2)由已知得=3x+b,
所以h(x)=6x+2b-.
因为h(x)>
g(x)恒成立,所以6x+2b->
即3x+b>
恒成立.
在同一坐标系中画出y=3x+b及半圆y=的图象,如图所示.
当直线3x-y+b=0与半圆相切时,d==2,此时,b=2.
结合图象可知,b的取值范围为(2,+∞).
【答案】
(1)
(2)(2,+∞)
(1)结合二次函数的图象及性质只需满足f(m)<0且f(m+1)<0即可;
(2)先根据“对称函数”的定义,求出h(x),然后在同一坐标系下,画出整理后的两个函数的图象,利用数形结合的思想求解.
一元二次不等式恒成立问题的解题方法
(1)图象法:
对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;
恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
(2)更换主元法:
如果不等式中含有多个变量,这时选准“主元”往往是解题的关键,即需要确定合适的变量或参数,能使函数关系更加清晰明朗.一般思路为:
将已知范围的量视为变量,而待求范围的量看作是参数,然后借助函数的单调性或其他方法进行求解.
(3)分离参数法:
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边,那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.
(2015·
河北石家庄一模,13)对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是________.
【解析】 因为对任意k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k>
0恒成立,
所以一次函数g(k)=k(x-2)+x2-4x+4>
0在[-1,1]上恒成立,
解得x<
1或x>
3,
所以x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
【答案】 (-∞,1)∪(3,+∞),
河北张家口质检,3)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2)B.(-∞,2]
C.(-2,2)D.(-2,2]
1.D [考向3]当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;
当a-2≠0时,则
解得-2<a<2,
∴-2<a≤2.
故选D.
天津河东一模,7)在R上定义运算⊗:
x⊗y=x(1-y),若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,7]B.(-∞,3]
C.(-∞,7]D.(-∞,-1]∪[7,+∞)
2.C [考向3]由题意可知,不等式(x-a)⊗x≤a+2可化为(x-a)(1-x)≤a+2,即x-x2-a+ax≤a+2,则a≤对x>2都成立,即a≤(x∈(2,+∞)),
由于=(x-2)++3
≥2+3=7(x>2),
当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立,
∴a≤7,故选C.
3.(2016·
安徽合肥模拟,6)“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),解关于x的不等式cx2+bx+a>0.”给出如下的一种解法:
解:
由ax2+bx+c>0的解集为(1,2),得a+b+c>0的解集为,即关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为.
参考上述解法:
若关于x的不等式+<0的解集为∪,则关于x的不等式->0的解集为( )
A.(-1,1)
B.∪
D.∪
3.B [考向1]根据题意,
由+<0的解集为
∪,
得+<0的解集为
即->0的解集为
∪.
故选B.
江苏苏州一模,11)已知函数f(x)=则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是________.
4.[考向1]【解析】 当x=-1时,无解.
当-1<x<0时,1-x2>0,f(1-x2)>f(2x)化为(1-x2)2+1>1,恒成立.
当0≤x≤1时,1-x2≥0,2x≥0,f(1-x2)>f(2x)化为(1-x2)2+1>(2x)2+1,即1-x2>2x,(x+1)2<2,∴0≤x<-1.
当1-x2<0时,无解.
综
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