高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第6节二次函数与幂函数课时训练理Word格式文档下载.docx
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4ac,
因为(a+c)2=a2+c2+2ac≥4ac,
所以(a+c)2>
b2,又a,b,c>
0,
所以a+c>
b>
0,所以>
1,
所以的取值范围是(1,+∞),故选D.
5.(xx吉安质检)若幂函数f(x)的图象经过点(3,),则函数g(x)=+f(x)在[,3上的值域为( A )
(A)[2,](B)[2,]
(C)(0,](D)[0,+∞)
设f(x)=xα,
因为f(x)的图象过点(3,),
所以3α=,
解得α=-,
所以f(x)=,
所以函数g(x)=+f(x)=+=+,
当x∈[,3]时,在x=1时,g(x)取得最小值g
(1)=2,
在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=+=,
所以函数g(x)在x∈[,3]上的值域是[2,].
6.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( D )
(A)[-3,0)(B)(-∞,-3]
(C)[-2,0](D)[-3,0]
当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,
故a=0时满足题意.
当a≠0时,要使f(x)在[-1,+∞)上是减函数,
则有
解得-3≤a<
0.
综上可知a的取值范围是[-3,0].
7.若(a+1<
(3-2a,则a的取值范围是( B )
(A)(,+∞)(B)(,)
(C)(1,)(D)(,1)
因为f(x)=的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数,
所以原不等式等价于
即
所以<
a<
.
8.(xx合肥模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .
由题意知解得
所以f(x)=x2+2x+1.
答案:
x2+2x+1
9.若y=是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,则整数a的值是 .
因为函数在(0,+∞)内是减函数,
所以a2-4a-5<
所以-1<
5,则整数a=0,1,2,3,4.
又函数是偶函数,
所以a2-4a-5是偶数,
所以整数a的值可以是1,3.
1或3
10.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).
解:
因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1.
所以对称轴为直线x=1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论.
当-2<
1时,函数在[-2,a]上单调递减.
则当x=a时,ymin=a2-2a;
当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,
则当x=1时,ymin=-1.
综上,g(a)=
能力提升练((时间:
15分钟)
11.设abc>
0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( D )
对于选项A,C都有
所以abc<
0,故排除A,C;
对于选项B,D,都有->
即ab<
0,则当c<
0时,abc>
0.选D.
12.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:
①b2>
4ac;
②2a-b=1;
③a-b+c=0;
④5a<
b.
其中正确的是( B )
(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③
因为图象与x轴交于两点,
所以b2-4ac>
即b2>
4ac,①正确;
对称轴为x=-1,
即-=-1,2a-b=0,②错误;
结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>
0,③错误;
由对称轴为x=-1知,b=2a,
又函数图象开口向下,
所以a<
所以5a<
2a,
即5a<
b,④正确.
13.(xx陕西质检)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则的取值范围是 .
令f(x)=x2+ax+2b,
因为方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,
所以所以
根据该约束条件作出可行域(如图),表示可行域内点(a,b)与点(1,2)的连线的斜率,可知<
1.
(,1)
14.已知幂函数y=xα,α∈{-1,,1,2,3}的图象过定点A,且点A在直线+=1(m>
0,n>
0)上,则log2(+)= .
由幂函数的图象知y=xα,α∈{-1,,1,2,3}的图象恒过定点A(1,1),
又点A在直线+=1(m>
0)上,
所以+=1.
所以log2(+)=log2[2(+)]=log22=1.
1
15.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.
f(x)=a(x+1)2+1-a,
①当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
②当a>
0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f
(2)=8a+1=4,解得a=;
③当a<
0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.
综上a=或a=-3.
16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,
F(x)=
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值
范围;
(3)设m·
n<
0,m+n>
0,a>
0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>
(1)解:
因为f(-1)=0,
所以a-b+1=0,a=b-1.
又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),
所以
所以b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,
所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
所以F(x)=
(2)解:
g(x)=f(x)-kx
=x2+2x+1-kx
=x2+(2-k)x+1,
当≥2或≤-2时,
即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.
故所求实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
(3)证明:
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)=ax2+1,F(x)=
因为m·
0,不妨设m>
n,
则n<
又m+n>
0,m>
-n>
所以m2>
n2,
又a>
所以F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1
=a(m2-n2)>
命题得证.
精彩5分钟
1.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()等于( C )
(A)3(B)-3(C)(D)-
解题关键:
待定系数法求出函数的解析式.
设f(x)=xn,
则==2n=3,
所以f()=()n==.
2.已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a<
b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是( C )
(A)8(B)6(C)4(D)2
数形结合思想的应用.
由f(x)=x2+1=5,得x2=4,即x=±
2.
故根据题意结合函数f(x)=x2+1的图象得a,b满足:
-2<
a≤0且b=2或a=-2且0≤b≤2,
所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形如图,面积为4.
3.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>
0,1<
β<
2,则实数m的取值范围是 .
先用β将m表示出来,再用函数的单调性求出实数m的取值范围.
因为
所以m=β+,
因为β∈(1,2)且函数m=β+在(1,2)上是增函数,
所以1+1<
2+,
即m∈(2,).
(2,)
2019-2020年高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第7节函数的图象课时训练理
函数图象的识别
2,3,4,6,11
知图选式或选性质
1,7,8,9
函数图象的应用
5,10,12,13,14,15
1.为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象上所有的点( A )
(A)向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
(B)向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
(C)向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
(D)向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
y=2xy=2x-3
y=2x-3-1.故选A.
2.(xx龙岩模拟)已知a>
0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是( C )
当a>
1时,y=logax与y=a2都是增函数,且直线y=x+a在y轴上的截距大于1,排除A,B.
当0<
1时,y=logax与y=ax都是减函数,且直线y=x+a在y轴上的截距小于1,
排除D.
3.(xx西宁模拟)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·
g(x)的图象可能是( A )
法一 因为函数y=f(x)·
g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),图象不经过坐标原点,故可以排除C,D.由于当x为很小的正数时f(x)>
0且g(x)<
0,故f(x)·
g(x)<
0.故选A.
法二 由函数f(x),g(x)的图象可知,f(x),g(x)分别是偶函数、奇函数,则f(x)·
g(x)是奇函数,可排除B.
又因为函数y=f(x)·
g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),图象不经过坐标原点,可以排除C,D,故选A.
4.(xx济南高考模拟)函数y=f(x)=ln()的图象大致是( A )
因为函数y=ln(),
所以x+sinx≠0,所以x≠0,故函数的定义域为{x|x≠0}.
再根据y=f(x)的解析式可得f(-x)=ln()=ln()=f(x),
故函数f(x)为偶函数,故函数的图象关于y轴对称,排除B,D.
当x∈(0,1)时,因为0<
sinx<
x<
所以0<
所以函数y=ln()<
0,故排除C,只有A满足条件,故选A.
5.(xx高考北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( C )
(A){x|-1<
x≤0}
(B){x|-1≤x≤1}
(C){x|-1<
x≤1}
(D){x|-1<
x≤2}
作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示.
其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),结合图象可知f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<
x≤1},故选C.
6.(xx泉州质检)函数f(x)=sin2x+eln|x|的图象的大致形状是( B )
函数f(x)=sin2x+|x|是非奇非偶函数,排除选项A,C.当x=-时,f(-)=sin(-)+=-1+<
0.故排除D.故选B.
7.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是 .
当f(x)>
0时,
函数g(x)=logf(x)有意义,
由函数f(x)的图象知满足f(x)>
0的x∈(2,8].
(2,8]
8.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为 .
当-1≤x≤0时,
设解析式为y=kx+b,
则
得
所以y=x+1.
当x>
0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,
因为图象过点(4,0),
所以0=a(4-2)2-1,
得a=,所以y=(x-2)2-1.
f(x)=
9.设函数y=,关于该函数图象的命题如下:
①一定存在两点,这两点的连线平行于x轴;
②任意两点的连线都不平行于y轴;
③关于直线y=x对称;
④关于原点中心对称.
其中正确的是 .
y=
=
=2+,
图象如图所示.
可知②③正确.
②③
10.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求实数m的值;
(2)作出函数f(x)的图象;
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;
(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.
(1)因为f(4)=0,
所以4|m-4|=0,
即m=4.
(2)f(x)=x|x-4|
f(x)的图象如图所示.
(3)f(x)的单调递减区间是[2,4].
(4)从f(x)的图象可知,当a>
4或a<
0时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,方程f(x)=a只有一个实数根,即a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
能力提升练(时间:
11.(xx滨州期末)已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直,M为线段CD上的动点(不与端点C,D重合),过M作MH∥DE交CE于H,作MG∥AD交BD于G,连接GH.设CM=x(0<
3),则下面四个图象中大致描绘了三棱锥CGHM的体积y与变量x之间变化关系的是( A )
如图,三棱锥CGHM的体积y与变量x之间的关系为
y=x·
·
x(3-x),
即y=x2-x3(0<
3),
由y′=x-x2>
0得0<
2,
即y在(0,2)上为增函数,
由y′=x-x2<
0得2<
3,
即y在(2,3)上为减函数,
与选项A符合.故选A.
12.(xx山东日照模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:
f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为( C )
(A)-5(B)-6(C)-7(D)-8
由题意知g(x)===2+,函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的图象如图所示.
由图形可知函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为-3,若设C的横坐标为t(0<
t<
1),则点A的横坐标为-4-t,所以方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实数根之和为-3+(-4-t)+t=-7.
13.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为 .
依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
即函数f(x)是以2为周期的函数.
g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1,3]内有4个零点,
即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1,3]内有4个不同的交点.
在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示),注意到直线y=k(x+1)恒过点(-1,0),
可知当k∈(0,]时,
相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1,3]内有4个不同的交点,故实数k的取值范围是(0,].
(0,]
14.已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .
函数图象如图实线部分所示,
结合图象知k∈(0,1)∪(1,2).
(0,1)∪(1,2)
15.已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,
即2-y=-x-+2,
所以y=x+(x≠0).
即f(x)=x+(x≠0).
(2)g(x)=f(x)+=x+,
g′(x)=1-.
因为g(x)在(0,2]上为减函数,
所以1-≤0在(0,2]上恒成立,
即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,
所以a+1≥4,即a≥3.
所以a的取值范围是[3,+∞).
1.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是( C )
(A)[-1,1+2](B)[1-2,1+2]
(C)[1-2,3](D)[1-,3]
先将曲线方程y=3-变形为(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),然后数形结合求出b的取值范围.
由y=3-,
得(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3).
所以曲线y=3-表示半圆,如图中实线所示.
当直线y=x+b与半圆相切时,
=2.
所以b=1±
由图可知b=1-2.
所以b的取值范围是[1-2,3].
2.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
数形结合思想的运用.
f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.
令x+2=10-x,得x=4.
当x=4时,f(x)取最大值,f(4)=6.
6
3.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 .
y=作出图象,如图所示.
此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a-,
要使y=1与其有四个交点,只需a-<
1<
a,
所以1<
(1,)
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