学年高中数学 第二章 统计1备考学案 新人教A版必修3doc.docx

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2019-2020学年高中数学第二章统计1备考学案新人教A版必修3

一、随机抽样

1．简单随机抽样

设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．

（1）抽签法

制签→抽签→成样

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法．

（2）随机数表法

编号→数数→成样结论：

①用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；

②基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；

③简单随机抽样的特点：

它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样．

2．系统抽样

当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）．

系统抽样的步骤可概括为：

编号→分段→确定起始的个体编号→抽取样本

按照先确定的规则（常将加上间隔）抽取样本：

．

3．分层抽样

当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层．

结论：

（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的．用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于；

（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛．

例1：

在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（　　）．

A．与第几次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些

B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些

D．每个个体被抽中的可能性无法确定

例2：

假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60颗进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号________．

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

8442175331　5724550688　77047447672176335025　8392120676

6301637859　1695556719　98105071751286735807　4439523879

3321123429　7864560782　52420744381551001342　9966027954

例3：

某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（　　）．

A．11B．12C．13D．14

例4：

某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

二、用样本估计总体

1．频率分布的概念：

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．其一般步骤为：

（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；

（2）决定组距与组数；

（3）将数据分组；

（4）列频率分布表；

（5）画频率分布直方图．

2．茎叶图

制作方法：

将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）．

3．众数、中位数、平均数

（1）众数：

一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，反映了该组数据的集中程度．

（2）中位数：

一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．

（3）平均数：

一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为

n＝．

4．方差、标准差

（1）方差s2=，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．

（2）标准差s＝．

若数据组x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b（a，b为常数）的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为as．

例1：

在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下

10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17．

在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：

27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22．

（1）画出两组数据的茎叶图；

（2）比较分析两组数据，能得出什么结论？

例2：

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示．

分组

频数

频率

[10,15）

10

0.25

[15,20）

24

n

[20,25）

m

p

[25,30]

2

0.05

合计

M

1

（1）求出表中M，p及图中a的值；

（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15）内的人数；

（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．

例3：

某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（　　）．

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

三、频率分布折线图、总体密度曲线

1．频率分布折线图

定义：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

2．总体密度曲线

定义：

在样本频率分布直方图中，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．它能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比，给我们提供更加精细的信息．

四、变量间的相关关系

1．相关关系：

当一个变量取一定的数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化．变量间的这种相互关系，称为两变量的相关关系．

2．散点图：

将有相关关系的两变量的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中表示出来，所得到的图称之为散点图．散点图直观上是一些分散的点．

正相关：

散点散布在从左下角到右上角的区域时，这样的两变量的相关关系，称为正相关；

负相关：

散点散布在从左上角到右下角的区域时，这样的两变量的相关关系，称为负相关．

3．线性相关：

如果散点图中各点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线称之为回归直线，直线的方程称之为回归直线方程．

4．最小二乘法求回归直线方程：

，其中，回归直线必过一个定点：

．当一个变量已知时，由回归直线方程可以估算出另一个变量的近似值．

5．线性相关系数r：

r为正时，表明正相关；r为负时，表明负相关．

例1：

由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到的回归直线方程＝bx＋a，那么下面说法不正确的是（　　）．

A．直线＝bx＋a必经过点（，）

B．直线＝bx＋a至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点

C．直线＝bx＋a的斜率为

D．直线＝bx＋a和各点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的偏差yi－（bxi＋a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线

例2：

下列说法正确的是（　　）．

A．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小

B．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小

C．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小

D．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大

例3：

某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：

千元）的数据如下表

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代号

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用

（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，附：

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝－．

本章整合

参考答案：

一、随机抽样

例1：

【答案】B

【解析】在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．

例2：

【答案】301，637，169，555

【解析】第8行第2列的数3开始向右读第一个小于850的数字是301，

第二个数字是637，也符合题意，

第三个数字是859，大于850，舍去，

第四个数字是169，符合题意，

第五个数字是555，符合题意，

故答案为：

301，637，169，555．

例3：

【答案】B

【解析】根据系统抽样的等可能性可知，每人入选的可能性都是，由题设可知区间[481,720]的人数为240，所以编号落入区间[481,720]的人数为×240＝12．

例4：

【答案】37　20

【解析】由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第8组抽出的号码为22＋（8－5）×5＝37．

二、用样本估计总体

例1：

解：

（1）依题意，画出茎叶图如下图所示

（2）电脑杂志文章中每个句子的字数集中在10～30之间，中位数为22.5，

而报纸文章中每个句子的字数集中在20～40之间，中位数为27.5．

还可以看出，电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少．

这与电脑杂志作为科普读物需要简明、通俗易懂的要求相吻合．

例2：

解：

（1）由分组[10,15）内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40．

因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝＝＝0.10．

因为a是对应分组[15,20）的频率与组距的商，所以a＝＝0.12．

（2）因为该校高三学生有240人，分组在[10,15）内的频率是0.25．

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60．

（3）估计