数学建模大赛货物运输问题文档格式.docx

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2、每辆车在运输途中可随时掉头，假如要使得本钱最小，货运公司怎么安排车辆数？

应如何调度？

3、

（1）如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？

（2）当各个公司间都有或者局部有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法（可结合实际情况深入分析）。

图１　唯一的运输路线图和里程数

公司

材料

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

A

4

1

2

3

5

B

C

表１　　各公司所需要的货物量

二、模型假设

1）港口的容量足够大，多辆运输车同时到达港口时不会发生阻塞现象；

2）多辆运输车可以在港口同时装车，不必等待；

3）双向道路上没有塞车现象；

4）8个公司之间没有优先级别，货运公司只要满足他们的需求量就可以；

货车完成他们日常的送货任务之后，回到港口。

5）假设运输车不会因天气状况，而影响其行驶速度，和装载、卸载时间。

6）运输路不会影响运输车行驶速度。

7）运输车正常出车。

三、问题分析

运输过程的最大特点是三种原料重量不同，分为大小件，当大小件同车，卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，要区别对待运输途中是否可以调头的费用。

在问题一中，运输途中不能调头，整个送货路线是一个环形闭合回路，如果沿着某一方向同时给多家公司送货时，运输车必须为距离港口近的公司卸下小件，为距离港口远的公司运送大件；

而在问题二中，运输途中可以调头，可以首先为远处公司运送小件，在返回途中为距离较近的公司卸下大件。

从外表上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。

但我们通过分析，在此题中，载重调头运输并不能降低费用。

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定本钱、从港口出车本钱、载重费用和空载费用。

建立模型时，要注意以下几方面的问题：

目标层：

如果将调度车数、车次以与每车次的载重和卸货点都设为变量，模型中变量过多，不易求解。

由于各辆运输车之间相互独立，可以将目标转化为两个阶段的求解过程，第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；

第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。

约束层：

（1）运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，要考虑不同方向时的载重用；

（2）大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；

（3）每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；

（4）满足各公司当日需求。

四、符号说明和名词约定

符号

含义

单位

备注

S1（n）

从港口到各个公司的货运最短里程集

公里

n=1、2、…、8；

S2（n）

卸载后返回港口的最短空载里程集

Q（i）（n）

n公司对货物i的实时需求量集

单位/天

n=1、2、…、8;

i=A、B、C；

W（j）（n）

第j批运至第n公司货物的重量集

吨

j=1、2；

Times（j）（n）

第j批运至第n公司次数集

次

j=1、2

Yj（n）

第j批运至第n公司的费用集

元

Y（d）

第d问中组合运输的费用集

d=1、2、3；

Charge（d）

第d问中所有的运输费用集

TT（d）

第d问中组合运输的耗时集

小时

Time（d）

第d问中所有的运输耗时集

五、建立模型

一、问题一

i.车次规划模型的分析

车次规划阶段只涉与到载重费用、空载费用和港口出车费用。

运输途中不能掉头，所以每车次都是沿闭合回路绕圈行驶。

1）运输途中不能掉头，所以为某些公司送货时，运输车从港口出发，按顺时针方向沿闭合回路绕行，为其它公司送货时，按逆时针方向沿闭合回路绕行。

公司和港口之间存在顺时针距离和逆时针距离，如下表：

公司编号

顺时针距离

8

15

24

29

37

45

49

55

逆时针距离

52

36

31

23

11

由表可知，运输过程中不可以掉头，为使得货运费用最低，我们按照问题分析中给出的最优运输路径进展货物的分配运输。

即假如港口按顺时针和逆时针两个不同方向出发，根据货运里程短，④点为顺时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点，根据货运里程短，⑤点为逆时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点。

结论：

在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最优方案，⑤~⑧公司逆时针送货最优方案。

如如下图所示：

2）根据3种原料的重量和运输车的最大运载量可以看出，A和C可以搭配运输，B和C可以搭配运输，而A与B不能同车运输。

不论是以顺时针方向送货还是以逆时针方向送货，当大小件搭配运输时，必须首先卸下小件，在后续公司卸下大件。

我们把这种特点总结如下：

1、假如在第j个公司卸下的是大件A，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C〔A与B不能同车运输，更不可能有B〕；

2、假如在第j个公司卸下的是B，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C。

ii.模型建立

基于以上约束条件建立如下模型：

第一步：

根据车载重相对最大化的根本思想。

可以分为两小步：

分为两种满载方案：

第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；

第2种是每个车次装载2个单位B。

并使每一车次在同一公司卸货。

满载运载方案如下表1：

表1

车辆

车次数

货物

时间〔小时〕

运费〔元〕

各车工作时间〔小时〕

A,2C

180

6

7

.4

9

10

2B

12

13

14

16

76

对于剩下各公司所需要货物单位数量如下表：

材料

第二步：

我们采用批次运输方案：

第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输；

第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位；

第三批次运输剩下所需的货物。

具体运输方式：

首先优先考虑A货物的处理方法，可知1公司还需1个车次的1A和一个车次的1A1C，4公司还需要2个车次的1A，8公司还需要4个车次的1A和1个车次的1A1C；

接着处理B货物，1公司和2公司共需要1个车次的2B,8公司和4公司共需要1个车次的2B;

最后处理C货物，5、6、7公司共需要1个车次的6C。

由此可知共出车28次。

如下表2：

表2

17

A,C

67

18

58

19

20

21

22

1，2

25

26

27

7,6，5

6C

28

8，4

206

2）根据1〕和2〕的结论与方法，不记派车本钱和出车本钱的28车次方案所需运费与时间如下表3：

表3

7，6，5

总

4464

模型中变量

对应的数值

n=1、2、…、8；

{81524292315115}

{5245363137454955}

{41231025；

15012423；

52424351}

Wj（n）

n=1、2、…8；

{2161214601221；

0120061266}

02001211}

（d）

ttd=1

{5.0832}

）

yd=1

{565.2}

iii.目标分析

最后经过模型的计算得到最少费用为：

4840.6元，最少耗时为：

40.4999小时。

二、问题二

两个定理的证明

定理一、车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头

途中允许调头，运输车可以先为较远的公司送去小件原料，然后调头，为比拟近的公司送去大件。

证明过程如下：

在上图中，记O点为港口，N、M为两公司。

M到港口的距离是S1，NM两个公司之间的距离为S2。

假设将两种货物a和b〔重量分别为x吨、y吨〕，分别运往N和M两公司，现有两种运输方案：

1.假如先运货a、b到N，将a卸到N，调头返回，将货物b运往M，那么a必为C原料〔x＝1〕，b为A或B〔

〕，记运费用为f1

2.假如先单独运送货物a到N，返回港口后，再次出车，将货物b运往M，即出车两次，记运费用为f2。

Ø

两种方案需要的车辆一样时，

为比拟两种运输方式费用的大小，两种运输的种类质量均一样，记：

假如f>

0恒成立，如此载重调头送货不节省费用，通过数据处理提取函数：

因为

并且N、M两公司在此题中的最小距离

代入到f中，化简得到

令

得到

而港口到所有公司最短路的最大值为29公里，所以

恒成立。

说明前一种花费较高。

方案二比方案一需要的车辆多时

第二种方案是出车两次，运输时间较长，在8小时的工作时间，可能会比调头载重运输时多安排车辆，派车费用增加。

我们考虑一种最差情况，因多运一次而增派一辆车，此时有

因为港口到所有公司的最短路径

所以

综上，载重调头运输花费较高。

证明了以运费用最小为目标时，车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头。

定理一的推论：

运载里程与空载里程一样〔表四中的第28车次例外〕，且每次出车均不绕圈工作。

定理二、车辆载重行程是各公司到港口的最短路，且载重费用固定不变

在定理一的根底上，车辆当且仅当运完最后一件货才调头，且每次出车均不绕圈工作，那么每一单位的原料都可以由最短路径运至需货公司。

我们变换视角，从宏观的角度看去，对8个公司所需货物的数量分别乘以公司和港口的最短距离和载重单价〔1.8元/吨公里〕就是将货物运至公司的载重费用，载重费用因子：

货物的数量、公司和港口的最短距离、载重单价都是定值，因此，载重费用是固定不变的。

运输途中可以掉头，即货车可以送完货沿原路返回港口。

根据问题一约束条件：

此结论也可以适用货车可以掉头的情况。

加上上面两个定理，数学模型与问题一几乎一样，只是空载路径不同。

故同样分为两步骤：

第一步分为两种满载方案：

第二步我们采用批次运输方案：

第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，C与A搭配满足载重相对最大化方法运输；

第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于2个单位；

第三批次运输剩下的货物。

最终车次运载方案如下表4：

表4

车次

运费

168

56

47

38

总

由表4得知，第二问的总费用charge

（2）

总时间Time

（2）

三、问题三

1）第一小问：

这次运货不需要使用4吨货车。

只使用6吨、8吨货车搭配运输即可。

i.模型建立

我们经过上述论证，排除了4吨货车的使用。

我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。

根据上述条件我们建模如下：

第一步，使8吨车次满载并运往同一公司；

第二步，使6吨位车次满载并运往同一公司；

运载方案如下表5：

表5

第一辆8吨车

2A

B,5C

A,B,C

第二辆8吨车

2B,2C

第一辆6吨车

B,3C

第三步，从上表可知只剩下2,3,4,6,7公司需要C货物10吨，必须要用至少两个车次来运。

我们已经论证排除了4吨货车的使用，为了使费用降低，我们决定用2个6吨车次来运货，具体运载方案如下表6：

表6

2，3，4

1C，4C，1C

7,6　

3C,1C　

1.0833　

第四步，上述三个步骤，不记派车本钱和出车本钱的21车次方案所需运费与时间如下表7：

表7

7，6

3C，1C

ii.目标建立

由表3得知，

总时间Time（d）

九、附录

程序一：

求解出问题一的答案

>

s1=[8,15,24,29,23,15,11,5];

s2=[52,45,36,21,37,45,49,55];

q=[41231025;

15012423;

52424351;

];

w=[2161214601221;

0120061266;

times=[41231025;

02001211;

ttd=5.0832;

yd=565.2;

sum1=0;